避免分类讨论的策略

杭圣平

分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略，在求解函数、方程、不等式、排列组合，几何等数学问题中有广泛的应用。含有分类因素的题目是不是拿到手就分类讨论呢?不然，有时候分类讨论是解决问题的必须，但它并非都是解决问题的上策或良策，要注意克服动辄加以讨论的思维定势，应结合题目认真而细致地分析，充分挖掘题目中所给的条件，避免不必要的分类讨论，使解题过程简捷明快，现举例说明。

1. 分离参数 在含参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含有参数的解析式，另一端是无参数的主变元函数，从而分离参数，反客为主，往往可以避免繁琐的讨论。

例1. 设函数y = log2(mx²-2x+2)的定义域为A，集合B =[12，2](1)若A = R，求m的取值范围。(2)若 A∩B≠眨求m的取值范围。(3)若log2(mx²-2x+2) > 2在B上恒成立，求m的取值范围。

分析：(2)由于mx²-2x+2>0中m的符号不确定，用一元二次方程的根的分布去讨论明显比较繁琐，若将m分离出来，转变成求函数最值，问题就会变得简单了。(3)去掉对数符号后其做法同(2)，转变成求函数最值问题。

解：(1)略。(2)mx²-2x+2>0在集合B =[12，2]上有解，等价于-m2<1x²-1x在集合B = [12，2]上有解，于是-m2<[1x²-1x]﹎ax，即m > - 4。(3)mx²-2x-2>0在集合B = [12，2]上恒成立，等价于m2>1x²+1x在集合B =(12，2)上恒成立，于是m2>1x²+1x﹎ax，即m>12。

2. 消除参数 有些问题表面上看起来含有参数，但是通过适当的变形，可以将参数消除，这样就回避了对参数的讨论。

例2.设正数a、b、c、d满足(a-1)(b-1)<0<(a-1)(c-1)且log璬a+log璬b=log璬c，则|log璬a|与|log璬b|的大小关系为

分析：一般比较两个数的大小可采用两种方法：(1)作差，(2)作商。若作差，去绝对值符号必定要讨论d的取值，而作商，利用换底公式就可以巧妙地避免对参数的讨论解：由log璬a+log璬b=log璬c可得c=ab，因|log璬alog璬b|=|log璪a|，于是|log璬alog璬b|=|log璪cb|=|log璪c-1|又log璪c <0 |log璪c-1|>1，所以|log璬a|>|log璬b|

3. 数形结合 一些问题中涉及到的函数图象比较熟悉，可以作出它们的图象，研究数形之间的关系，挖掘隐含条件，从而避免讨论，达到化繁为简的作用。

例3.关于实数x的不等式|x-(a+1)²2|≤(a+1)²2与x²-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(其中a∈R)的解集依次为A与B，求使A罛的a的取值范围。

分析：集合A易求，而集合B中的两个根的大小无法判定，需要分类讨论，但毕竟几种情况比较麻烦，数形结合就能回避这些问题。

解：由题意可知A =[2a ，a²+1]，集合B满足：(x-2)[x-(3a+1)]≤0，令f(x)=(x-2)[x-(3a+1)]∵A罛∴A中的元素全属于f(x)≤0的解集，由二次函数的图象得：f(2a)≤0

f(a²+1)≤0 ，即2(a-1)(-a-1)≤0

(a²-1)(a²-3a)≤0 解集为{a|1

4. 巧用解析式 在求圆锥曲线的标准方程时，缺乏定位的条件，可采用方程的变化形式来表示焦点在不同坐标轴上的圆锥曲线，利用待定系数法，就得出了要求的结论，从而避免了讨论。

例4.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过P(-7，62)和Q(27，-3)两点的双曲线方程。

分析：若设标准方程为：x²a²-y²b²=1来解，虽可得到正确答案，但解题过程少了焦点在y轴上的情况，一般圆锥曲线过两个已知点时，其标准方程可设为：ax²-by²=1 (a，b同号)可避免讨论。

解：设双曲线的方程为ax²-by²=1 (a，b同号)有：

由已知双曲线经过P(-7，62)和Q(27，-3)，代入49a-72b=1

28a-9b=1解得a=1/25

b=1/75所以所求的双曲线的标准方程为：x²25- y²75=1

5. 不正则反 有些问题，分类讨论比较麻烦，若考虑问题的对立面，即从结论的反面去思考和探索，得出反面结论，再结合集合性质，可将题目化难为易，避免讨论。

例5、如果二次函数y = mx² + (m - 3)x +1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围。

分析：若从正面求解，必须要对“两交点均在原点右侧”、“一个交点在原点右侧另一个交点在原点左侧”等情况进行分类讨论，比较繁琐；若从反面考虑问题，即先考虑两个交点都在原点左侧(包含原点)时m的取值范围，再用补集来求解问题会变得简单。

解：若方程mx² + (m - 3)x +1=0有两个负根，则：

△=(m-3)² - 4m≥0

3-mm <0

1m≥0 解之得 m≥9或m≤1

m<0或m>3

m>0

即：m≥9

取其补集得m < 9，且必须满足△≥0与m≠0，故m的取值范围为m≤1且m≠0。

总之，法无定法，贵在得法，只要选取的角度适当，就能找到更好的解题途径。

收稿日期：2009-03-02

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