薄壁预应力管复合压电换能器径向振动分析

刘世清

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 前 言

在超声振动切削、超声冷拔丝及拉管等功率超声应用技术领域[1-2]，通常使用大功率纵向复合超声换能器系统.径向振动大功率管(柱)形超声换能器具有辐射面积大、辐射效率高以及径向辐射均匀无指向性等特点，在大容量工业超声清洗、超声波污水处理、生物柴油制备以及超声化学和超声药物成分萃取等液态介质处理领域获得广泛的应用[3-6].

目前,广泛使用的大功率径向振动超声换能器主要有德国Hielscher公司的UIP16000系列大功率柱形超声换能器；美国Crest Group公司的push-pull管形超声换能器等[7].国内一些研究机构对此类换能器振动模态及辐射声场特性也开展了深入的研究[8-9].上述大功率柱形超声换能器主要通过纵-径振动耦合来获得径向振动的能量输出.由于振动耦合的复杂性，常借助于有限元数值方法进行分析与设计.

文献[10]对复合管压电超声换能器振动特性进行了研究.该复合管超声换能器通过直接驱动金属管内部的径向极化压电陶瓷管来产生径向振动，因而具有较高的机电转换及声辐射效率.然而，理论得到的复合管换能器共振及反共振频率方程为含有一阶一类和二类Bessel函数的复杂超越方程，只能得到数值解.由于频率方程涉及特殊函数而且参数多，求解过程相当复杂，必须借助于计算机来完成，工程设计极为不便.

事实上，工程应用中为提高复合管换能器的辐射效率和有效机电耦合系数，其外部金属预应力管通常为薄壁管.为简化这类换能器的工程设计，本文主要从弹性力学理论出发，对这种薄壁预应力管结构复合压电换能器振动特性进行了进一步的分析.依据机电类比原理，建立薄壁预应力管径向复合压电换能器的等效电路模型，得出其共振和反共振频率方程的完全解析式，并进行了实验验证.

图1 径向复合管压电超声换能器示意图

1 预应力管复合压电换能器径向振动分析

图1所示为径向复合管压电换能器，由压电陶瓷圆管与薄壁金属预应力管径向复合而成.其内部的压电陶瓷圆管为径向极化，外部的金属预应力管为压电陶瓷管提供足够大的径向预应力，以增大换能器的功率密度及功率容量.使用中的压电陶瓷管通常为薄壁短圆管，管壁厚度远小于其直径.图1中:r0表示内部压电陶瓷管的平均半径；a，b分别表示外部金属预应力管的外半径和内半径；换能器的高度为h，并甚小于管直径，即换能器径长比较大，因而可不计其径长振动耦合；E3表示径向激励电场.若外部激励电场使换能器达到径向机械谐振状态，则此时换能器管壁厚度及其长度方向的振动可忽略而只认为其作平面径向振动.下面的理论分析均基于上述假设.

图2 薄壁金属圆管径向振动示意图

1.1 薄壁预应力管径向振动机电类比等效电路

(1)

由方程式(1)，并利用关系式Tθ=ESθ及Sθ=ξr/R0，考虑到圆管受到内部压电陶瓷管的简谐驱动力F1=Fmaxexp(jωt)作用，进一步可得管的径向振动方程为

(2)

式(2)中，M=2πR0ρht及CM=R0/(2πhtE)分别为圆管的等效质量及弹性柔性常数.对于简谐振动，径向振动位移可表示为

ξr=ξmaxexp(jωt).

(3)

(4)

图3 薄壁短圆管径向振动机电类比等效电路

图4 薄壁预应力管复合压电超声换能器等效电路

1.2 换能器等效电路

对于薄壁压电短圆管的径向振动等效电路，笔者在文献[10]中进行了研究.不计损耗，利用压电陶瓷管与金属预应力管接触面处径向力与振动速度连续的边界条件，可得径向复合管压电超声换能器的径向振动等效电路如图4所示.

2 换能器频率方程

工程应用中，由于换能器的负载通常难以确定，在设计时便将换能器当作无负载的自由振动处理，相当于换能器机械端短路.由等效电路图4可得复合管压电超声换能器输入导纳为

(5)

式(5)中，ω为换能器径向振动圆频率.换能器共振条件为Im(1/Yin)=0.由式(5)得复合换能器的径向共振频率方程为

(6)

反共振频率方程为

(7)

式(6)～式(7)中：ωr=2πfr;ωa=2πfa;fr,fa分别为换能器的径向共振及反共振频率.

有效机电耦合系数是表征压电换能器机电转换能力的重要参数，其定义为

(8)

式(8)中:fp,fs分别表示压电超声换能器的并联和串连谐振频率；fmax,fmin分别为换能器的最大和最小导纳频率.当换能器的机械品质因素较高、机械损耗较小时，近似地有fmax≈fr及fmin≈fa.

由式(6)～式(8)可得，复合管压电换能器有效机电耦合系数的解析表达式为

(9)

显然，频率方程式(6)、反共振频率方程式(7)以及换能器有效机电耦合系数表达式(9)均为初等代数式，且完全解析.它们反映了换能器的径向共振和反共振频率以及有效机电耦合系数与换能器几何尺寸及材料参数之间的关系，是换能器设计的理论依据.

作为算例，对常用的钢、钛及铝材料预应力管复合换能器径向振动谐振频率及其有效机电耦合系数与预应力管半径比的关系进行了理论计算，结果如图5、图6所示.材料参数分别为：

2) 钢:ρ=7 800 kg/m3,E=2.09×1011N/m2,v=0.28;

3) 铝:ρ=2 700 kg/m3,E=7.15×1010N/m2,v=0.34;

4) 钛:ρ=4 500 kg/m3,E=1.16×1011N/m2,v=0.32.

预应力管内半径b=26 mm，外半径a=γb，γ为半径比，长度均为40 mm.

从图5可以看出，径向复合压电换能器的径向共振频率并非随其外部预应力管壁厚度增加而单调下降，而是存在一共振频率峰.此外，该频率峰对应的半径比值以钢制预应力管复合换能器最大，铝制预应力换能器管最小.这是由于钢的弹性常数较大的缘故.而换能器的有效机电耦合系数随预应力管外壳半径比的增大而单调减小，在同样半径比情况下，铝制预应力管换能器有效机电耦合系数比钛制预应力管换能器高，如图6所示.

图5 换能器径向共振频率与预应力管半径比的关系

图6 换能器有效机电耦合系数与预应力管半径比的关系

3 实 验

为验证本文理论，设计制作了一些不同尺寸的复合管换能器样品.金属预应力管材料均为铝；径向极化压电陶瓷管材料为PZT-4，其高度和内、外径分别为30，42及52 mm.

利用阻抗分析仪PV70A对样品进行扫频，测得复合管换能器径向共振基频如表1所示.表1中：ft1为文献[10]中频率方程算得的结果；ft2为本文频率方程式(6)算得的结果；fmax为实验测量值;Δ=(fmax-ft2)/fmax为本文理论与实验误差.

从表1可以看出，对于薄壁预应力管复合压电换能器，利用本文理论算得的复合管压电换能器径向共振频率与实验结果吻合较好.与利用文献[10]中的频率方程算得的共振频率相比误差更小.误差一方面是由于在理论分析中忽略了径长振动耦合；另一方面材料标准值与实际会有差别.

图7为本文理论与文献[10]的理论计算得到的换能器径向共振基频及测量结果与预应力管半径比的关系.从图7可以发现，当预应力管的半径比γ较小时(此处约小于1.5)，本文理论结果与文献[10]的数值结果差别很小.但随着预应力金属管半径比γ的增大，两者之间的差异逐渐变大，这是因为偏离了薄壁假设条件.

表1 换能器径向共振基频理论与测量结果

图7 换能器共振频率理论与实验对比

4 结 论

建立了薄壁预应力管径向复合压电换能器的径向振动机电类比等效电路模型，给出了换能器径向共振与反共振频率方程以及有效机电耦合系数的表达式，并探讨了换能器共振频率及有效机电耦合系数与其预应力管半径比的关系.所得理论结果是完全解析的，初等的.用于工程设计极为便利.

对于薄壁短圆管弹性振子，其纯径向振动模式时可完全等效为一个集中参数的弹簧质量振动系统模型，即相当于一个径向弹簧.此外，要获得较高的有效机电耦合系数，径向复合换能器的预应力外壳应选用轻金属材料.

理论与实验表明，当换能器的预应力管外径与内径之比小于1.5，即预应力管壁厚小于其半径的1/3时，换能器径向共振频率的实验误差小于5%，满足工程应用需要.

参考文献：

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