关于连续型随机变量的全概公式及其应用

陈敏琼

(中山大学 新华学院，广东 广州 510520)

1 全概公式简介

1.1 事件型全概公式

设A1,A2,…为概率空间(Ω,F,P)的一个划分，则∀B∈F，有全概公式：

(1)

该公式用于当B的发生依赖于多个因素A1,A2,…，且在不同因素Ai下B发生的概率P(B|Ai)(i=1，2，…)易求时采用.

1.2 离散型随机变量的全概公式

对于离散型随机变量X,Y，设X的状态空间为S1={x1,x2,…,xi,…}，Y的状态空间为S2={y1,y2,…,yj,…}，由于∀y∈S2，i=1,2,…,(Y=y),(X=xi)∈F,故有

(2)

称式(2)为关于离散型随机变量的全概公式.

1.3 连续型随机变量的全概公式

为得到关于连续型随机变量的全概公式，先看条件数学期望的定义：

1)设X，Y为离散型随机变量，状态空间分别为S1={x1,x2,…,xi,…},S2={y1,y2,…,yj,…}，定义E(X|Y)为X关于Y的条件期望，满足

i)E(X|Y)为Y的函数；

QPSO算法将三维平面通过坐标投影转化成二维平面坐标来处理，其生成的路径为二维平面上的路径优化问题求得的最优解；而HBA算法可以直接在三维平面上寻求一条最优路径，不但能在二维平面上寻优，而且能够在三维上通过越过障碍物的上方来寻求最优路径。由图6和图7可以看出，QPSO算法所得的路径比HBA所得的路径要长，通过距离比较，HBA所得到的飞行路径最短，故该仿真实验证实了UAV+RFID路径规划的有效性。

ii) 当Y=y时，其取值为

2) 设X，Y为连续型随机变量，其联合概率密度函数为f(x,y)，定义E(X|Y)为X关于Y的条件期望，满足

i)E(X|Y)为Y的函数；

ii) 当Y=y时，其取值为

无论X,Y是离散型还是连续型随机变量，条件数学期望E(X|Y)都有一重要性质：

E[E(X|Y)]=EX[1].

以连续型为例，事实上由于E(X|Y)为随机变量Y的函数，故有

(3)

故∀D⊂R，有公式

(4)

成立，称式(4)为关于连续型随机变量的全概公式.

2 全概公式应用举例

下面举例说明关于连续型随机变量的全概公式在概率求解中的简便应用.

例1[2]19设X,Y为相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)、FY(y)，设Z=X+Y，试求Z的分布.

解设Z的分布函数为FZ(z)，则∀z∈R有

即X+Y的分布函数为X的分布函数与Y的分布函数的卷积.

例2[2]42设X,Y为连续型随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，边缘概率密度分别为fX(x),fY(y)(fX(x),fY(y)>0)，分布函数分别为FX(x)、FY(y)，证明：

f(x,y)=fX(x)·fY(y)⟺∀x,y∈R,P(Y≤y|X=x)=F(y)(F(y)为关于y的单调不减函数)．

析在概率论里面，定义两个连续型随机变量X,Y的独立性，是通过当联合概率密度f(x,y)满足条件

f(x,y)=fX(x)·fY(y)

(①)

来定义，该定义形式上与两事件A,B相互独立条件P(AB)=P(A)P(B)相似，但事件相互独立的条件P(AB)=P(A)P(B)易知与P(B|A)=P(B)条件等价，该等价条件符合笔者对“独立性”的直观理解即事件A的发生对事件B的发生不产生任何影响.在此直观意义下，希望两个连续型随机变量X,Y的独立性条件亦符合直观意义上理解的“独立性”，即Y的分布与X取值无关，写成式子即要求

∀x,y∈R,P(Y≤y|X=x)=F(y)(F(y)为关于y的单调不减函数).

(②)

下证明条件(①)与(②)等价.

②⟹①：由于∀x,y∈R,P(Y≤y|X=x)=F(y)，故由式(4)得

例3(浦丰Buffon问题)[3]在平面上画有平行线束，两条相邻的平行线间的距离均为a，向此平面随机投掷一枚长度为l(l>a)的针，试求此针与某一平行线相交的概率.

解设X为此针下端与其下面最近的平行线之间的距离，则显然X～U(0,a)；又设α为此针与平行线之间的夹角(见图1)，则易知α～U(0,π)，且由于投掷的随机性知X,α相互独立，记事件D={此针与某一平行线相交}，则由式(4)得

图1 浦丰问题示意图

P(D)=P(lsinα>a-X)=

[1] 林元烈．应用随机过程[M]．北京：清华大学出版社，2008：15-23.

[2] 张波，商豪．应用随机过程[M]．2版.北京：中国人民大学出版社，2009．

[3] 汪仁官．概率论引论[M]．北京：北京大学出版社，2000：10-11．