光滑圆环约束弹簧摆问题研究

杨正波 ，夏清华

(襄樊学院 物理与电子工程学院，湖北 襄樊 441053)

光滑圆环约束弹簧摆问题研究

杨正波 ，夏清华

(襄樊学院 物理与电子工程学院，湖北 襄樊 441053)

通过非线性理论分析，得到光滑圆环约束弹簧摆的动力学方程，讨论不同参数条件下平衡点的类型和稳定性，并通过数值模拟作出特定参数下不同初始条件下系统相轨迹，并分析系统的运动情况.

约束弹簧摆；平衡点；相轨迹

近年来，弹簧摆作为二自由度非线性振动系统倍受关注[1-3].本文通过非线性理论分析，讨论一种约束弹簧摆在不同参数条件下平衡点的类型和稳定性，并通过数值计算作出了特定参数下不同初始条件的相轨迹，从而直观地分析系统的运动情况.

1 系统的动力学方程

如图1所示，一质量为m的小圆环挂在劲度系数为k，原长为R的轻质弹簧上，小圆环被约束在半径为 R的光滑圆环上运动，弹簧的另一端固定于圆环的最高点.

选取弹簧与竖直方向的夹角θ为摆角，最高点为势能零点，则系统的动能为，系统的势能为mg (2R cosθ) cosθ. 所以，系统的拉格朗日函数为

图1 光滑圆环约束弹簧摆系统

根据拉格朗日方程可求出系统的动力学方程为

2 平衡点类型及其稳定性分析

系统的动力学方程(1)等价于二元一阶微分方程组

这是一个单自由度的力学系统，其平衡点存在与否及其稳定性取决于常数m、k、R等的数值.因为，所以当，即时，相平面上只有一个平衡点：；当即时，相平面上有三个平衡点：和.

3 系统运动的数值模拟

图2 不同初始条件下的相轨迹

4 系统的运动情况分析

3) 当满足一定初始条件时，相轨迹为包围F2、F3、F4三个平衡点的闭合曲线(图2中的曲线⑦)，小圆环将在最低点B两侧做等振幅的周期性运动.

[1] 李银山, 树学锋.弹簧摆的内共振和混沌运动[J].太原理工大学学报, 1998, 29(6): 555-559.

[2] 石玉仁, 薛具奎.弹簧摆的混沌行为[J].西北师范大学学报, 2001, 37(3): 91-97.

[3] 李云龙, 倪致祥.弹簧摆振动能变化的数值研究[J].阜阳师范学院学报: 自然科学版, 2009(12): 45-48.

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[5] REICHL L E.统计物理现代教程[M]. 黄 畇, 赵凯华, 译. 北京: 北京大学出版社, 1985.

Spring Pendulum System of the Bound Smooth Ring

YANG Zheng-bo, XIA Qing-hua
(School of Physics and Electronic Engineering, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

In this paper we obtain the kinetic equation of the spring pendulum system of the bound smooth ring by theoretical analysis. The type and stability of equilibrium points under different conditions are discussed, and we draw out phase diagrams of specific parameters with different initial conditions based on numerical calculation. The motion character of the system is also presented.

Constrained spring pendulum; Equilibrium point; Phase diagram

O313

A

1009-2854(2010)05-0033-03

2010-04-14

杨正波(1975－ ), 男, 湖北谷城人, 襄樊学院物理与电子工程学院讲师.

饶 超)