一个自治系统的混沌控制与同步

郭利军，褚衍东，张晓刚，翟海峰

(兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州 730070)

一个自治系统的混沌控制与同步

郭利军，褚衍东，张晓刚，翟海峰

(兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州 730070)

对一个新三维混沌自治系统进行研究.根据线性负反馈法和Routh-Hurwitz稳定性条件，得到达到控制目标时负反馈系数所满足的条件.根据Lyapunov稳定性定理，利用Lyapunov直接法在响应系统中构造非线性函数，实现了该系统的完全同步，并证明了该系统同步误差的零点稳定性.最后利用Matlab进行数值仿真，结果表明该方法是可行的、有效的.

自治系统；混沌控制；线性负反馈法

自从1963年美国气象学家Lorenz[1]发现第一个混沌吸引子、1990年美国海军研究实验室的Pecora和Carroll[2]提出混沌同步原理以来，混沌理论、混沌控制和同步就成了非线性领域的研究热点[3-6]，人们先后提出了许多新的混沌系统，如Chen系统、Lü系统、Qi系统、L-S系统等.最近，文献[7]提出了一个新三维自制系统，并对其非线性动力学性质进行了深入分析.本文对文献[7]的新三维自制系统的控制及同步问题进行研究，采用线性负反馈法将混沌控制到目标点，利用Lyapunov直接法在响应系统中构造非线性函数，实现了该系统的完全同步，并利用Matlab数值仿真验证了方法的有效性.

1 混沌系统模型

文献[7]提出的新自治混沌系统的模型如式（1）所示：

式中 (x,y,z)∈R3为控制变量，a和b是正常数，当选取参数a=16，b=4时，系统（1）处于混沌状态，该系统的时间响应图和混沌吸引子如图1所示.

2 系统（1）的混沌控制

利用线性负反馈法把混沌态控制到三维空间中的任意一个点，构造如下受控系统：

图1 系统(1)的时间响应曲线和混沌吸引子

根据Routh-Hurwitz稳定性条件知，当

时，所有的特征值都具有负实部，所以系统（2）将收敛到控制目标P(α,β,)γ.

下面用上述方法把系统的混沌吸引子控制到系统（1）的平衡点处.

2.1 将混沌系统控制到平衡点A(0,0,0)

2.2 将混沌控制到平衡点B(15,15,15)

此时对应的雅可比矩阵为：

2.3 数值实验及结果

当控制参数取a= 16，b= 4时，系统（1）处于混沌态.本文利用线性负反馈法及Routh-Hurwitz稳定性条件将该系统很好地控制到各平衡点.数值模拟图如图2所示.

图2 系统(2)随时间的变化曲线

1）当反馈系数取k1=1,k2=10,k3=5并满足式（5），系统（2）的初始值为x0=−8 ,y0=2,z0=5时，系统（2）很好地被控制到平衡点A(0,0,0).

2）当反馈系数取k1=1,k2=1,k3=1并满足式（7），系统（2）的初始值为x0=−8 ,y0=2,z0=5时，系统（2）很好地被控制到平衡点

3 混沌系统（1）的同步

定义驱动系统为如下形式：

再取如下系统为响应系统：

原系统同步问题可转化为式（10）的稳定性问题，只要将误差系统稳定至状态空间的原点处，则可以达到同步的目的.

定理1 对于系统（8）和系统（9），若系统的控制率取

此时，系统（8）和系统（9）渐进同步，即对于任意的初始值有

证明：将控制函数（11）代入误差系统（10）中，得误差系统为：

4 实验与结果

采用非线性反馈法对一个新三维自治系统的同步问题进行研究.为使系统处于混沌状态，选取控制参数a=16，b=4.下用Matlab进行数值仿真.当控制率选取式（11）时，误差系统（10）的初始值为e1(0) =−1，e2(0)=2，e3(0) = 1，数值仿真图如图3所示.

图3 系统(9)的同步误差

由图3可以看到，在t=5s时加入控制式（12），在非线性控制器作用下，5s后驱动系统和响应系统很快达到了同步，误差稳定到零点.

5 结 语

本文利用线性负反馈法将一个自治系统的混沌态控制到系统的平衡点处，同时基于Lyapunov直接法构造了非线性函数，并对系统（1）设计了一种控制器，实现了混沌系统的同步.最后，借助Matlab数值仿真检验了所给方法的有效性.

[1]Lorenz E N. Deterministic non-periodic flow [J]. J Atmos Sci, 1963, 20: 130-141.

[2]Carroll T L, Pecora L M. Synchronizing chaotic circuits [J]. IEEE Trans Circ Syst, 1991, 38: 453-456.

[3]Li T Y, Yorke J. Period there implies chaos [J]. Amer Math Monthly, 1975, 82: 985-992.

[4]Ott E, Grebogi C, Yorke J A. Controlling chaos [J]. Phys Rew Lett, 1990, 64: 1196-1199.

[5]黄润生, 黄浩. 混沌及其应用[M]. 武汉: 武汉大学出版社, 2005: 318-363.

[6]刘宗华. 混沌动力学基础及其应用[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 102-112.

[7]薛薇, 郭彦岭, 陈增强. 永磁同步电机的混沌分析及其电路实现[J]. 物理学报, 2009, 12: 8146-8151.

Controlling and Synchronizing Chaos in One Autonomous System

GUO Lijun, CHU Yandong, Zhang Xiaogang, Zhai Haifeng
(School of Mathematics, Physics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

In this paper, a new three-dimensional autonomous chaotic system was studied. On the basis of the method of linear negative feedback and Routh-Hurwitz criterion, the needed condition of linear negative feedback coefficient in controlling was obtained. Based on the Lyapunov stability theorem, globally synchronization of the system could be achieved by using the Lyapunov’s direct method to create a nonlinear function in the response system. Then, the zero stability of synchronization error was verified to be existed in the system. At last, the method was proved to be feasible and effective by means of numerical simulation with Matlab.

Autonomous System; Controlling Chaos; Method of Linear Negative Feedback

(编辑：王一芳)

O415.5

A

1674-3563(2011)04-0012-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.04.003 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2010-10-29

甘肃省自然科学基金(3ZS-042-B25-049)

郭利军(1985- )，男，内蒙古凉城人，硕士研究生，研究方向：混沌控制和应用