数形结合 化难为易

●张惠民 (柯桥中学 浙江绍兴 312030)

数形结合 化难为易

●张惠民 (柯桥中学 浙江绍兴 312030)

1 考试要求

数形结合是高中数学中的一种重要的思想方法．主要体现在“对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化”上，即既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使代数的精确性与几何的直观性巧妙、和谐地结合，使抽象思维与形象思维有机地相互配合．解析几何和线性规划分别是“以数辅形”和“以形助数”的典型代表，而向量则是数形结合的典范．相对而言，“以形助数”对学生思维品质和化归能力的要求更高，需要把抽象的数学语言、数量关系转化为直观的几何图形与位置关系，把抽象思维转化为形象思维，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的．

2 考点回顾

在每年的高考试题中，考查数形结合思想的试题总占有一席之地．主要表现在:方程解的个数、参数的范围、解不等式、值域与最值、线性规划问题等．而浙江省高考试卷中的向量题则是常出常新，已成为高考特色和亮点之一．

3 命题走势

纵观近几年浙江省的数学高考试题，选择题和填空题的中档题十分强调试题的几何背景．在新课程更加注重形的展示与量的刻画的大背景下，数形结合思想的考查只可能进一步加强，因此必须引起高度的重视．

4 典例剖析

(2008年江苏省数学高考理科试题)

分析记g(x)=ax3，h(x)=3x－1，则 g(x)≥h(x)在［－1，1］上恒成立．

(1)当a=0时，不满足条件;

(2)当a＜0时，由图1知，不满足条件;

(3)当a＞0时，由图2知，在第三象限只需g(－1)≥h(－1)即可，解得 a≤4．在第一象限，若g(x)与 h(x)的图像相切于点(x0，y0)，则

图1

图2

图3

图4

评析本题出现了3个不同的向量α，β和β－α，通过向量减法的三角形法则，可将条件浓缩到一个三角形中．向量的模对应三角形的边长，向量的夹角对应三角形的一个外角，这样很自然地把代数问题转化成了三角形中边长度的范围问题．

图5

图6

精题集粹

1．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x，y)|x+y≤，x≥1，y≥0}，则平面区域 B={(x+y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为 ( )

(2009年浙江省数学高考理科试题)

参考答案

1．B 2．D 3．C

4．a＞6或a＜ －6