高考最值(定值)问题巧解

●陈发志 毛伟民 (杭州市第十一中学 浙江杭州 310013)

高考最值(定值)问题巧解

●陈发志 毛伟民 (杭州市第十一中学 浙江杭州 310013)

近几年来，随着新课改高考的深入实施和不断推进，以能力立意命题的指导思想日益凸显．由于最值(定值)问题的综合性强、解决方法灵活多样，能很好地考查学生运用知识的能力、思维能力和创新意识，因此一直是各省、市高考命题的热点．在考查内容上，最值(定值)问题涉及的知识点非常广泛，涵盖了函数、线性规划、三角函数、向量、立体几何、解析几何等;在解法上，有代数式的变形变换、基本不等式、换元法、构造法等解决方法;在数学思想上，考查学生的分类讨论、数形结合等基本思想．笔者对最值(定值)问题的考试要求、命题走势及典型例题进行分析，例举了几种常见的最值(定值)题的解题策略，供读者参考．

1 考试要求

最值(定值)问题属于能力考查的范畴，在很多章节都有所涉及．因此，新课改高考注重在各部分模块的联结处和在知识网络的交汇处命题．

《考试说明》对最值(定值)问题的考查渗透在以下的知识模块中，体现了将知识、能力、素质融合在一起的考查目标:

(1)新课改教材在“函数的性质”这一章节中增设了最大值和最小值的定义，对学生的思维要求也从“直观理解”提高到“抽象概括”．课程标准一方面严格限定了判断最值的方法;另一方面加强了单调性在求最值问题上的应用，尤其突出了函数最值问题作为所有最值问题的本源地位．

(2)在解析几何中，要求学生能利用直线、圆、圆锥曲线的方程解决一些简单的问题，这些问题最后都回归到最值问题的求解上．

(3)在三角函数的学习中，要求学生能借助图像理解正、余弦函数的性质(单调性、最大和最小值等)，即要求学生具备数形结合的思想方法．

(4)要求学生会用基本不等式解决简单的最值问题，能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，寻求最优解，从而解决简单的函数最值问题．思维训练上要求学生由一元函数最值问题上升到二元一次函数简单的最值问题．

(5)在导数的应用上，更是凸显最值问题的一般求解策略．明确要求会用导数求多项式函数的极大值以及给定区间上函数的最值，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用．

2 考点回顾

翻阅近3年新课改省市的高考试卷，笔者发现最值问题的题型、内容基本相同，其中着重对2010年高考试卷中最值问题进行了汇总统计，整理了部分省市最值问题的考题分析，如表1．

表1 2010年高考最值问题考题分析

由表1不难发现，实行新课改高考以来，数形结合解决向量问题、基本不等式运用于最值问题的求解、线性规划、不等式恒成立等都是热点问题．而函数的综合应用在各省市试卷中的出现，体现了高考命题“重基础知识的同时重能力的考查”．

3 命题走势

2011年是新课改高考深入实施的一年，在命题上将继续在稳定中凸显变化、在变化中追求创新，注重能力的考查和数学思维品质、数学本质的渗透．因此，最值问题作为对学生发散思维和创新思维考查的载体，一些热点问题譬如线性规划、向量运算与几何意义、基本不等式应用、利用导数求最值等仍将是考查的重点．其中运用数形结合的思想解决向量问题，一直是近几年浙江省数学高考的热点问题，应该重点突破;线性规划问题在夯实学生基础的同时，通过变式训练渗透思维品质的训练;而函数最值问题作为最值问题的本源，应当重点训练，尤其是关注函数模型在实际问题中的应用，提高学生的应用创新能力．

4 典例剖析

4．1 利用基本不等式求最值

图1

图2

评析多元函数问题尤其是2个变量的函数最值问题，可通过条件找出变量间的关系，然后利用基本不等式求解．

4．2 利用判别式求最值

4．3 利用曲线的参数方程求最值

分析 本题主要考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算等，联系椭圆的参数方程，可以将动点 P 的坐标用(2cosθ，sinθ)来表示，这样只涉及一个变量，从而可转化为三角函数的最值求解．

评析凡是涉及圆及椭圆上点的最值问题，一般可以转化为参数方程，再结合三角函数求解，这样会比较简洁、巧妙．

4．4 利用线性规划思想求最值

(2009年浙江省数学高考试题)

分析这是一道有关线性规划的问题，其本质为在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题．作出可行域，在可行域内考虑目标函数的最优解．

解作出x，y的可行域，分析知当x=2，y=0时，(2x+3y)min=4．

评析求解线性规划问题的关键是作出可行域．

4．5 巧用换元法求最值

评析换元法在求解多元函数，尤其是形式复杂的多元函数有着特殊的作用．

4．6 利用柯西不等式求最值

评析利用柯西不等式证明的关键是将右边配凑出定值或者能求其最值的表达式．

4．7 利用数形结合思想求最值

(2010年浙江省数学高考试题)

分析动态的向量问题，若能结合图像，则往往能迅速找到突破点．该题若结合图像，则不难发现|α|终点坐标的轨迹为与β起点、终点组成圆周角为60°的圆．

图3

评析向量问题若结合其加减法的几何意义，则可转化为几何问题，从而找到解题的切入点．

4．8 巧消变量得定值

评析解析几何中涉及的变量为定值问题，应着手于巧设变量，通过合理运算化简过程，将问题转化为函数问题解决．

精题集粹

8．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10)．若不建隔热层，则每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式;

(2)问隔热层修建多厚，总费用f(x)达到最小?并求出最小值．

9．已知函数f(x)=x2－x，其图像记为曲线C．

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)证明:若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1，f(x1))处的切线交于另一点P2(x2，f(x2))，曲线 C与其在点P2(x2，f(x2))处的切线交于另一点 P3(x3，f(x3))，线段 P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别为S，S，则为12定值．

参考答案