浅谈可能世界语义学与模态代数语义学

吴 迪

一、语义学简述

给定一个形式语言系统L，关于L的语义解释的理论就是L的语义学。这些由抽象符号构成的系统自身没有意义，而在给定形成规则后，抽象符号就构成了特定的符号串—良构串。良构串中的符号表现出一定的联系和规律，但只是符号在排列组合的规律，没有任何实际意义，于是可以赋予它们任何意义。

L的逻辑解释可以分为直观的逻辑和形式的逻辑两种解释。为了使L中良构串的意义不仅取决于其中单个符号的意义要采用某种方法。论域由直观的对象构成且赋予逻辑常元的意义和方法也是直观的是直观的逻辑解释；论域由抽象的对象构成，确定L的非逻辑符号、逻辑常元与对象相联系的方法都用形式化的规则给出是形式的逻辑解释。

二、可能世界语义学

可能世界语义学是为了解释模态逻辑的形式系统而提出的一种逻辑语义学。二十世纪初，数理逻辑研究进入了现代模态逻辑的阶段，通过符号化和公理化在语法的研究方面取得了重要进展。美国逻辑学家刘易斯，创立了五个严格蕴涵系统S1、S2、S3、S4、S5标志着现代模态逻辑的正式建立。随之而来的是人们对语义解释的要求。这个时期，克里普克在可能世界语义学的研究上取得了很大的成就。

他的模型用有序的三元组来表示。其中W表示所有可能世界的集合；R表示W上的二元关系；V是赋值函数，通过递归的方式给出每个公式在各个可能世界中的真假情况。如果P在ωi中为真，就记作V(P, ωi)=1，如果为假，就表示为V(P, ωi)=0。而一个公式P可能在某个可能世界ωi中为假，在另一个世界中为ωj真。那么，一个公式在所有的相应模型结构的每个可能世界中都是真，它才能是有效的，才具有逻辑必然性，记作V(□P, ωi)=1。事实上，从纯逻辑的角度这种语义模型，对于W是否是一个可能世界的集合已经显得无关紧要，不影响与语义有关的重要逻辑特性的考察和证明。

模态算子“必然”可解释为“知”或“可证”。模态系统S4在两种解释下，既说明了人们在可证性方面的规律和有效推理模式也说明人们认知中的规律和有效推理模式。从而产生认知逻辑和可证性逻辑两种不同的逻辑类型。

三、代数语义学

模态代数语义学是模态形式及其系统的代数解释。由真值表发展而来，实质上真值表也是一种仅以0和1为元素的矩阵。代数语义解释，放弃了古典真值表中的真值联系，值域可以是各种对象，将对象以矩阵化的方法发展了代数表达和处理问题的能力，扩展了应用的范围。如果在一个矩阵中加入用以解释模态算子的运算这样的矩阵则叫做模态矩阵。模态代数矩阵通过设立适用的矩阵，规定矩阵及其性质，然后对系统中的对象进行验证。再规定对象的特指值，通过矩阵对所属的公式进行变换，如果特指值在变换过程中发生变化了，那么不具有该矩阵的性质，反之若特指值不变，则具有该矩阵所代表的性质。

代数语义学利用矩阵的多样性，如果能够确立好恰当的矩阵规定其系统与矩阵相应的性质，那么在验证一个系统的完全性、可靠性、独立性及多个系统的比较等许多方面都能够发挥出巨大的作用。

四、两种模态语义学的比较

（一）可能世界语义学和模态代数语义学同样是对模态逻辑所建立的系统进行语义上的解释。前者是根据莱布尼茨的“可能世界”观念，进一步严格与精确化，通过建立一个有序三元组的方法，加之以不同的可能世界变元，侧重与对模型的直观的表述，与传统的语义解释有着相类似的形式。

模态代数语义学在传统语义学的基础上加入了代数矩阵的方法。重点将整个模型的特征融合在一个矩阵和若干解释中，通常要比前者加入更多的算子。从某中角度上看，实际上代数语义解释的模型也可以算作一个“系统”，我们在模态逻辑中所建立的正规系统都能在这个“系统”中被“验证”和解释。

（二）模态代数语义学的矩阵是从真值表发展而来的，但放弃了元素之间的这种真值联系，仅保留了矩阵的代数形式本身。元素代以各种对象，可以通过定义和规定来进行，所代入的对象当然也可以是真值。而可能世界语义学所注重的仍然是0、1的真假值问题，它的值域就是{0，1}。因此，如果我们将可能世界语义学按照模态代数语义的方法，建立一个仅以{0，1}为元素的矩阵，是可以将这种直观的语义解释转化成形式的语义解释的。

（三）从语义学上的分类来看，可能世界语义学属于直观语义学。立足于人们的日常思维，即在直观解释下，它的逻辑系统符合人们日常思维形式中的推理模式。从这个角度看，如果逻辑学是研究推理的形式，那么逻辑的目的就把有效的推理形式从各种推理形式中提取。

代数语义学没有对其建立的模型进行直观解释。它在证明系统的可靠性和完全性等必要的性质中具有直观的语义不能取代的重要性，但是它不能把一定范围内的有效推理形式和其他推理形式区分开，势必造成人们的混淆。

人们利用“可能”和“必然”，使一些在传统逻辑中不能解决的问题在模态逻辑里得以解决。但抽象的模态系统必须加以语义解释才有意义。任何形式化的系统都是为了更好的服务与直观现实的，因此，在模态逻辑多样化的语义学中，要求解释模型的严谨可靠，也不能忽视它的直观化，以便于人们理解和把握。

［1］何向东.广义模态逻辑及其应用［M］.人民出版社.2005.

［2］陈波.逻辑哲学［M］.北京大学出版社.2005.