分离式霍普金森压杆试验中工程材料端面摩擦模型的确定

卢玉斌，宋丹路，李庆明，孟 辉

（1.西南科技大学 制造过程测试技术教育部重点实验室，四川 绵阳 621010；2.曼彻斯特大学 机械、航空与民用工程学院，曼彻斯特 M60 1QD；3.武汉市建筑工程质量监督站，武汉 430015）

基于分离式霍普金森压杆（SHPB）技术的动态压缩试验是目前用于确定工程材料（如金属、混凝土类材料、塑料）在高应变率下动态压缩响应应变率效应最流行的试验手段。SHPB技术已于2006年被美国ASME（American society of mechanical engineers）协会命名为工程学上具有历史意义的里程碑式的技术。由最广泛的工程学数据库（Engineering Village）查询得知自1949年开始已至少发表了2 500多篇与SHPB试验相关的文章，由 Engineering Village和 SCI（Science Citation Index）得知自1980年左右在SHPB试验方面发表的文章数量剧增，如图1所示。然而值得注意的是可靠的SHPB试验应能给出材料的一维应力应变曲线，这就要求SHPB试样内应满足一维应力传播和应力均匀两个基本假定。然而，这两个基本假定在一些SHPB试验中无法满足，那么由非应变率效应引起的动态压缩应力增强便不能被混为SHPB试验中的真实应变率效应（即由应变率效应本身引起的动态压缩应力增强）。SHPB试验中试样与压杆接触界面间的端面摩擦效应破坏了SHPB试样的局部一维应力状态，导致SHPB试验结果不能正确反映材料的一维应力本构关系［1－5］。因此，端面摩擦效应是SHPB试验中主要的非应变率效应之一，建立适当的端面摩擦模型对于准确确定工程材料的动态压缩性能至关重要。本文建立了能很好地拟合动摩擦试验结果的端面动摩擦模型，为基于数值模拟对SHPB试验结果进行评估和修正时考虑端面摩擦效应奠定了基础。

1 实验部分

SHPB试验中压杆与试样接触界面间的端面摩擦会限制试样的侧向流动，因而在SHPB试样中引起侧向围压从而产生一个复杂的三轴应力状态而偏离一维应力状态，这将直接影响 SHPB试验的测量结果［4］。Bertholf和Karnes［1］发现由端面摩擦产生的这种误差常常会被错误地归结到材料动力学响应的应变率效应中。因此，准确理解端面摩擦效应对SHPB试验得到的工程材料动态压缩性能的影响对于准确确定工程材料的动力学特性至关重要［6－8］。

图1 自1940年到2009年每10年发表的与使用SHPB试验获得工程材料高应变率下力学性能相关的文章总数的统计Fig.1 Estimation of the total number of papers published in each decade between 1940 and 2009 where an SHPB test was used to obtain the high strain-rate mechanical properties of engineering materials

在接触问题的数值模拟中，库伦摩擦定律是一种广泛采用的模型：

其中σt是单位面积上的切向摩擦力；σn是接触面上的法向压力；μ为摩擦系数，在过去许多的SHPB试验的数值模拟中（如文献［1，5］），μ均被取为定值。

实际上，摩擦系数并非定值，而是依赖于接触面间的相对滑动速度。动摩擦系数通常都小于静摩擦系数。在SHPB试验中，当假定试样具有塑性不可压缩性，试样与压杆端部接触面间的最大径向相对滑动速度Vr可按下式估算：

其中d0为试样初始直径；和εz为工程轴向应变率和应变。以d0=74 mm的砂浆试样为例，图2给出了在SHPB试验中的不同应变率下Vr随应变的变化关系。由图2可知，对于一个通常的砂浆试样SHPB试验，当工程应变在0.035以下时，Vr的范围为0.62 m/s到12 m/s。

图2 Vr随在砂浆试样SHPB试验中不同轴向应变率下可达到的工程轴向应变间的变化关系Fig.2 Variation of Vrwith engineering axial strain εzwhich can be attained under various axial strain-rates during an SHPB test on mortar specimens

在这一速度范围内，Stribeck曲线［9］可用于描述摩擦系数与Vr间的变化关系。当Vr=0时，摩擦系数的值最高（此时即为静摩擦系数μs），然后随着Vr的微小增加动摩擦系数迅速降低到最小值，随后又随着Vr的继续增加动摩擦系数开始缓慢提高，这与文献［10－11］中给出的用一个指数曲线来描述动摩擦系数与Vr间的关系不同（即随着Vr的增加动摩擦系数持续降低）。表面粗糙度以及润滑方式等均会影响动摩擦系数与Vr间的关系，关于这方面的进一步讨论可参考文献［12－14］。

美国ASLE（American society for lubrication engineers）协会于20世纪60年代总结了当时已具备的摩擦试验测试装置达200多种，且该数量仍在继续增多。然而，这些摩擦试验测试装置所能达到的相对滑动速度仅局限于 2.5 mm/s到 2.54 m/s范围内［15］。SHPB技术也被用于测试冲击加载条件下材料间的摩擦系数［16－22］。然而，利用上述这些装置获得一个较宽范围内相对滑动速度对动摩擦系数的影响关系却很困难。因此，我们将测量不同相对滑动速度下动摩擦系数，用于建构端面动摩擦模型。Meng［15］设计了一套由滑轨、试样和测试仪器构成的简单装置（如图3所示）用于测量相对滑动速度在10 m/s以内的动摩擦系数。嵌有电子设备的陶瓷基高精度电容式加速计用于测量加速度。接触面上采用Shell Helix Super润滑油用于模拟SHPB试验中试样与压杆间的摩擦状况。试样由滑轨顶端滑下。

图4为该装置中试样的受力分析，其中f（t）为动摩擦力，F1和F2为重力分量，θ是滑轨的倾角，g是重力加速度，Vr（t）和a（t）分别为试样与不锈钢滑轨接触界面间的最大径向相对滑动速度与试样的加速度。基于牛顿第二定律可得：

即：

因此，动摩擦系数μd（t）为：

使用加速度历史数据a（t）可得t时刻的Vr（t）为：

2 结果与讨论

我们进行了一系列的试验用于构建工程材料试样与钢的接触界面间的端面动摩擦模型，本文选取了铝合金（Aluminum alloy）、聚碳酸酯（Polycarbonate，PC）、混凝土（Concrete）以及砂浆（Mortar）等典型工程材料作为代表。结果如图5所示，纵轴μd/μs为动摩擦系数与静摩擦系数的比值，横轴为试样与砧座接触界面间的Vr。由于需要建立一个简单的端面摩擦模型来描述试验结果从而可方便地在数值模拟中考虑端面摩擦效应，我们提出下式所述的一个表达式对试验结果进行拟合：

图3 动摩擦试验测试装置Fig.3 Test apparatus

其中P1－P4为从试验结果中拟合得到的常数，如表1所示；当Vr=0时μd/μs=1。由图5可知，本文提出的式（4）与Meng［15］中给出的双线性表达式相比能够更好地拟合试验数据。而且式（4）在数值模拟中也可方便地实现。

本文的动摩擦试验达到的最大径向相对滑动速度为4.6 m/s，这可涵盖典型工程材料试样SHPB试验中所能达到的径向相对滑动速度的范围。因为式（2）是基于SHPB试样的塑性不可压缩性假设以及忽略了压杆材料的泊松效应而得到的，当考虑SHPB试样的弹性变形以及压杆的侧向位移时，SHPB试样与压杆接触界面间的径向相对滑动速度将比由式（2）估算得到的值要低。此外，有学者针对橡胶［23－24］、纸［25］、岩石［26］、冰［27］等材料的摩擦系数研究指出除了滑动速度之外法向压力也会影响滑动摩擦系数，然而他们所采用的摩擦试验装置与本文完全不同。而且基于式（5）和图5的结果可知，虽然在我们的试验中法向压力的量值均在既是几十kPa与SHPB试验中试样与压杆间的正压力在几十到几百MPa相差甚远，但法向压力对本文所研究的滑动摩擦系数的影响可以忽略。

图4 试样的受力分析Fig.4 The force analysis of the specimen

表1 式（7）中的常数［15］Tab.1 Constants in Eq.（7）

3 结论

（1）本文利用Meng［15］设计的动摩擦试验装置得到的铝合金、PC、混凝土及砂浆材料与不锈钢滑轨之间的动摩擦系数测试结果有一定的分散性，动摩擦系数与最大径向相对滑动速度间的关系曲线存在抖动，但均可由本文提出的端面动摩擦模型式（4）很好地拟合。

图5 基于（a）和（b）铝合金试样（如 A1－#和A2－#，其中#（1，2，3）、（c）和（d）PC 试样（如P1－#和 P2－#，其中#（1，2，3）、（e）和（f）混凝土试样（如C1－#和C2－#，其中#（1，2，3）以及（g）和（h）砂浆试样（如M1－#和M2－#，其中#（1，2，3）在不同的法向应力和倾角下的重复动摩擦试验得到的μd/μs随Vr变化的试验曲线以及由这些试验曲线拟合得到的曲线Fig.5 Variations of μd/μswith Vrbased on repeat kinetic friction tests for（a）and（b）aluminium － alloy specimens（i.e.A1 － #and A2－#where#（1，2，3），for（c）and（d）PC specimens（i.e.P1－#and P2－#where#（1，2，3），for（e）and（f）concrete specimens（i.e.C1－#and C2 －#where#（1，2，3），and for（g）and（h）mortar specimens（i.e.M1 －#and M2 －#where#（1，2，3），under different normal stresses and slope angles，and fitted curves of these variations

（2）SHPB试样与压杆接触界面间的端面摩擦效应是SHPB试验结果产生误差的影响因素之一，因此通过数值模拟对SHPB试验结果进行评估和修正时应考虑端面摩擦效应的影响。在以往的数值模拟中，定摩擦系数模型因其形式简单而被广泛采用。本文基于端面动摩擦试验得到了一个可容易纳入SHPB试验数值模拟的端面动摩擦模型。因此，有必要基于本文的研究成果对更多工程材料开展动摩擦试验，从而在这些工程材料的SHPB试验结果的评估和修正程序中采用它们的端面动摩擦模型。

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