实验室磁悬浮球系统数学模型的建立

于建立，崔亚君，高峰娟

（海军航空工程学院青岛分院，山东 青岛 266041）

磁悬浮技术的特点,是利用磁场力将物体悬浮起来，使悬浮体与支撑体之间没有任何机械接触的一种新型技术，其具有无噪声、无磨损、能耗低、寿命长、安全可靠的一系列优点，应用到很多领域，如磁浮列车，航天器与电磁炮的磁悬浮发射、磁浮轴承、磁浮隔振器、磁悬浮飞轮储能等。

磁悬浮球系统由感测器结构、控制器结构、驱动器结构三大结构组合而成。感测器是由光敏电阻来控制电流大小，在初始电压和反馈电压测得其值；而控制器部分，则由运算得来的数值，再加以变化，进而驱动到电磁铁部分，让其对球的吸引力增多或者减少。

磁悬浮球系统的实现是把电磁铁绕组中加入大小一定的电流，这样就会产生一定的电磁力，通过控制电流的大小，来产生与钢球自身的重力相平衡的电磁力，钢球就在空中处于平衡悬浮的状态，但这种平衡状态不稳定。原因是电磁力大小，与钢球和电磁铁之间的相互距离成反比，稍有干扰，钢球就会偏离平衡位置。因此需要监测钢球与电磁铁间的距离y的变化，保证钢球的受力平衡，从而实现稳定闭环悬浮控制系统（如图1）。

图1 磁悬浮球控制系统功能图

1 磁悬浮小球控制系统受力分析

磁悬浮小球的受力分析如图2所示。

图2 磁悬浮球受力分析图

图中，

规定向下为坐标正方向；

励磁电流i；

电磁铁下端到钢球的距离（平衡位置处）Y；

重力与电磁力相等的电流（平衡位置处）I；

电磁铁下端面到钢球的位移y；

当钢球受到干扰，偏离平衡位置向下运动时，光电传感器感受到小球变化的位置信号，同时把信号反馈给控制器，用来增加励磁电流，使钢球重新回到平衡位置；相反，当钢球受到干扰，偏离平衡位置向上运动时，电流被控制器减小，使钢球保持平衡位置，从而保证钢球动态平衡悬浮。

2 动力学模型的推导

磁悬浮小球所受的电磁力做功，与两个因素有关，就是绕组电流i和小球与电磁铁的距离y，所以，根据电磁场能量方程与做功原理，可得电磁力的计算方程为

其中，

将式(2)代入式(1)得

进一步求偏导得到电磁力Fe的表达式

式中y的含义如图3所示。

图3 小球部分受力图

钢球与电磁铁端面接触时的电感L1+L0；

没有放置钢球时绕组的电感L1；

a为线圈电感为L1+L0/2时钢球到电磁铁的距离。

当电感L=L1+L0/2时，测得钢球距离电磁铁的距离a=4.2 mm。

小球的运动方程，根据牛顿第二定律有

小球平衡时有

假设钢球在平衡位置处时满足

将式(3)代入式(4)，则有

即

通过式(5)，可以得出结论：电流 I的大小给定后，钢球到电磁铁下端的距离Y也是定值。

令

将式(5)按泰勒级数展开(在平衡位置处)，略去高阶项，式(8)为线性化后的方程

为得到钢球线性化的运动微分方程，将式(6)、式(7)和式(8)代入式(4)，

对式(8)两端进行拉氏变换，得

对上式以电流为输入，以小球的位移为输出，这样就得到了小球运动系统的开环传递函数

其中

3 相关参数的选取

参考图2磁悬浮球受力分析图，实验室中选取小球的质量m=60 g，平衡位置处 Y=13 mm，平衡时的静态电流，即电磁力与钢球重力相等时的电流，实验室中这些电流可以通过实验测量数值，测量电路图如图4。

图4 测量绕组电感的测量电路

图4中，E为交流电源，当R'的阻值足够大时，电磁铁绕组的电阻可以忽略，则U1和U2的计算表达式

U1=i R'，

U2=ω Li。

经测量得到

L1=123.6 mH，

L0=8.3 mH，，

静态电流I=452 mA.

各个参数具体取值情况如表1所列。

表1 各参数取值情况表

将相关参数取值代入传递函数G(s)，就可以得到从线圈电流△i到钢球位置△y的开环传递函数

但开环控制没有自动修正偏差的能力，抗扰动性较差，一般只应用于对精度要求不高的场合，由运动系统的开环传递函数G(s)表达式，可以得到磁悬浮小球系统的开环极点

系统有两个极点，但S2位于右半平面，系统不稳定。钢球不能处于平衡位置悬浮，为保证钢球的平衡悬浮，在系统中引入反馈控制。加入反馈后，磁悬浮小球系统结构如图5。

图5 磁悬浮小球的系统结构图

控制器的闭环传递函数变为

对加入单位反馈后的控制器进利用Simulink进行仿真，在阶跃信号干扰下，示波器输出波形如图6。

图6 加入单位反馈后控制器抗干扰情况

4 结束语

从示波器的输出情况可以看出，在受到干扰情况下，小球仍会偏离平衡位置，但是这个变化是有限度的，逐渐趋于平稳，但不是在原平衡位置处再次稳定，所以说加入单位反馈后，抗干扰能力是有所增强，但仍不能达到理想的控制目标。要想使得小球稳定悬浮于空中，还需要进一步探讨更好的校正方法。

[1]任彦硕.自动控制原理[M].北京：机械工业出版社，2004.

[2]陶永华.新型PID控制及其应用[M].北京：机械工业出版社，1998.

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