做一个“善于举例”的数学教师——来自一线教师的认识、实践与思考

☉江苏省海安县海安镇隆政初级中学 赵山龙

一、缘起

近期再读郑毓信教授在《中学数学月刊》2010年第3、4期关于“三项基本功”的文章［1］、［2］并链接阅读了郑教授在《人民教育》2008年的系列文章《善于提问》、《善于举例》、《善于优化》，读后颇有感触.恰逢学校备课组一月活动日，备课组成员就“善于举例”这一论题展开充分的讨论与交流.下面我们从一线教师的角度谈谈“善于举例”的认识与实践.

二、“善于举例”的认识

1.“善于举例”本质上是关注教师的“教”

文［3］中，国家督学成尚荣先生指出，“教学的根本性变革——以学生的学习为核心”，“学生学会学习是教学的核心，学生主动学习、创造性地学习、享受学习，应当是教学的最高和永远的追求，也是教学的本质回归”.他还说“以学生的学习为核心，任何时候都不能轻慢，更不能放松教师积极的主导作用，这同样是一条重要原则”.此外，郑毓信教授在文［4］指出，“国内数学教育界近年来一项明显变化，即是对学生数学学习活动的高度关注”，“对于学生的学习活动、特别是学生在数学学习过程中思维活动的很好了解显然应当被看成教学工作的直接前提：这不仅直接关系到教师应当如何去教，也关系到我们究竟应当教什么样的数学……”进而，郑教授从对照的角度分析，指出“国际数学教育界近年来所出现的一项新变化，即是由主要关注学生转向了更加重视教师的教学工作”.我们认为，关注“善于举例”本质上就是关注教师的“教”，从这个意义上就不难理解郑教授在文［5］中指出“会举例，善于举例，这应当被看成数学教师的一个基本功”.

2.“善于举例”根本上是帮助学生的“学”

近年来得到迅速发展的“多元表征理论”［6］强调表征不同方面的相互渗透与必要互补，而教师在课堂教学中的“善于举例”则可看成通过表征不同数学概念、习题及解法、反思感悟等方向，帮助学生在不同的例举中，发现、感悟变化中的不变因素，并由“多”逐步深入到“一（本质）”.作为一线教师，我们在课堂教学更多的时候，讲授某一概念或点评某一道习题解法时，往往需要通过观察学生的“学情”（学生的表情、眼神等），决定问题是否需要再次举例、多元表征，帮助习得、悟得.在这里，教者的善于举例与否，也即举例的是否恰当、是否贴近正在分析数学知识或问题，直接影响了学生的理解、体会.特别地，当我们因为一个到位、有效的举例，看到学生的“会意”的眼神，发现学生“柳暗花明”后“贯通”兴趣神态，是否也算为师之一乐？

三、“善于举例”的案例赏析

为了更为直接地表明，我们对初中数学课堂教学中“善于举例”是如何理解的？下面的叙述将结合具体的案例展开.

1.情境导入时的善于举例

2011年10月13日～15日，“2011年江苏省初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动”在江苏省宿迁中学（老校区）举行，我们选取一等奖获得者南通市参赛选手纪红芳老师《圆》的情境导入实录：

PPT展示几幅生活中常见的圆的实例.学生欣赏后……

师：现在，你知道这节课，我们要学习哪个图形吗？

生（齐答）：圆！

师：小学里学过圆吗？这节课我们在小学的基础上，继续来学习圆的相关知识.

老师板书标题.

师：你们会画圆吗？同学们自己操作一下，请一个同学到黑板上画一个圆.下面的学生很快画好，

师：请同学们看黑板上这个同学画圆的过程.大家看要注意什么？

生1：要注意圆心不能动，半径不能改变.

师：好，再来看操场上用绳子画圆的过程.

播放一段视频（见截图）：

师：同学们发现在画圆的过程中，你能画圆有什么共同点？

生2：都是绕一个固定点旋转一周.

生3：不管是圆规两脚之间，还是绳子的长度，它们在画的过程中不能变化.

师：我们把固定的这一点叫做定点，那个长度我们称定长.

老师很顺利跟学生一起共同提炼，得出了圆的描述性定义.

赏析：纪老师到这里用去6分钟，但学生已十分接近圆的描述性定义（呼之欲出，从现场学生的表情、神态，可见大多数学生已理解了），笔者曾反复观摩这段视频，应该说，教者的行为是“善于举例”的.理由有以下两点：一是，教者举出的一组图片例子很自然地帮助学生形成了本课要学习的主题——圆；二是，教者接着安排两个活动（学生用圆规画圆、两同学在操作上用绳子画圆），从上面的实录可见，根据动手操作和观摩画圆后，学生在教者的引导下找出“共同点”，很自然地得到了圆的定义.特别地，我们有理由对情境引入中的举例谈以下认识：一，情境举例不要太长，背景也不需要太丰富；二，情境举例要突显后续引入的知识，找好契合点或知识的联结点，避免负情境的举例；三，从多元表征理论来看，情境举例亦必须是待引入概念的本质的外部表征.

2.核心概念教学时要善于举例

下面是笔者去年参加县级青年教师基本功比赛时上的反比例函数图像及性质（第1课时）的片断：

师：你能发现它们的共同特征吗？

师：对，不同点呢？

生2：当系数k为正数或负数时，图像所处的象限不一样.

师：你能分类讲全，并对应好吗？

生3：当k>0时，位于第一、三象限；当k<0时，位于第二、四象限.

师：很好.类比一次函数的增减性描述，谁来描述反比例函数的增减性？

生4：当k>0时，y随x的增大而减少；当k<0时，y随x的增大而增大.

师：他回答对吗？

众生齐答：对！

师：你（生4）再表达一下这两点的变化情况.

生4：这时y随x增大而增大.

生4及众生沉默.

师：小组内再交流一下.

（老师注意到有一些学生有表达的愿望）

师：谁能把“当k>0时，y随x的增大而减少；当k<0时，y随x的增大而增大”这种说法优化一下？

生5：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减少；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大.

师：非常好！“在每个象限内”这个限制条件加得很好！给大家准备1分钟，先在小组内每个同学表述一遍.再请两个同学完整复述一遍反比例函数的图像与性质.

过了2分钟，学生分组巩固这个性质.

师：老师关注到一诗关于反比例函数的歌曲《悲伤的双曲线》，PPT上展示歌词给同学们，也作为帮助同学们理解反比例函数的图像与性质.

悲伤的双曲线

如果我是双曲线，恩——，你就是那渐近线；

如果我是反比例函数，你就是那坐标轴.

虽然我们有缘能够生在同一个平面，

然而我们又无缘，恩——，慢慢长路无交点.

为何看不见，等式成立要条件；

难道如书上说的，无限接近不能达到.

为何看不见，明月也有阴晴圆缺；

此事古难全，但愿千里共婵娟.

赏析：初中阶段的三种初等函数，在学习时，由于它们之间的相同与不同，初次接触时，学生往往对反比例函数的图像与性质的描述与理解不深刻，与之相关的考题也是层出不穷，足见此处的重要性.从上面的教学片断可知，一是在学生易错点、易混点处，要让学生多说，认真倾听学生的“见解”，即时“纠错”并“究错”；二是，引导学生交流、对话，完备性质，这时讨论与对话的意义是重要的；三是，等大多数学同学接受新的知识、性质后，链接一个精彩的案例（像上面这样给出一个跨学科的“歌曲”）也能起到聚意点睛式的效果.

3.解题教学中的善于举例

下面是笔者在一次试卷讲评课时一个经历，这份试题涉及了高中一元二次不等式，笔者在组织订正该试题时，安排了学生“讲题”［7］活动，课后，讲题学生吴佳幸同学记录了这一过程，请看：

记一次“二次根式取值范围问题”的讲题经历

九年级 吴佳幸

今天刘老师让我讲解了一道二次根式的取值范围问题，请看题目：

等我说过，刘老师追问：你到得到的是一元一次不等式？

我再看了一下，说：不，好像是一元二次不等式？

刘老师：对！你学过这种不等式的解法吗？

我表示：没有学过，但我模仿一元一次不等式的解法做的.

刘老师：这种模仿、类比的意识很好，但是这里涉及的一元二次不等式不属于初中知识，我们暂时不补充它的解法，但我们可以借助从二次函数的图像来理解.

接着老师把根号下的表达式写成一个二次函数y=2a2-5，老师用几何画板作出如图1.

图1

老师追问：同学们看这里的点A，点B的意义是什么？

我说：对应着方程2a2-5=0的两根

老师表示了肯定，让我们讨论一下能否结合这个图像分析出2a2-5≥0解集？

很快大家都弄清楚了问题.

老师最后给出的点评是：数形结合往往使我们事半功倍，而且还能更深入理解题意，由此我也明白了做题不在“多”，而在“联”的道理.

赏析：从该生的记录可以看出，她是不会一元二次不等式的（事实上，初中阶段不作要求），她开始的解法是模仿一元一次不等式解法得具有一定的合理性.笔者曾追问台下听讲学生，他们都没有表示异议.才有笔者的追问，该同学认为忽视a的指数为2，是这样吗？那她怎么会有呢？这时是给学生补充一元二次不等式的知识？还是选择其他的引导方式？笔者的选择是沟通二次函数，从抛物线“形”的角度引导学生分析此类问题，可以发现，学生悟出了做题“不求‘多’而求‘联’”的道理（笔者在这道问题讲完后，点评时引用郑毓信教授关于数学知识不求“多”而应求“联”的观点，上面是该生书写有笔误）.这样的收获是否已超越了讲评一道错题的意义了？

四、善于举例的几点思考

1.“善于举例”功夫在教学预设

“凡事预则立，不预则废.”教学预设的意义也在于此.诚如上文3.1，3.2我们给出的教学片断，教者举出的案例帮助了学生的“学”，其功夫全在上课之前.这也说明，我们需要精心备课，结合所授内容的特点，链接例子，做好课堂教学的储备.特别是，很多带有数学欣赏方向的举例，又不是在准备某一堂课时所能“信手拈来”，更多的却来自教者长期的积累，这里既有对所授数学的精深理解，还需要跨学科的知识积淀.顺便提及，张奠宙先生在文［8］中提及的关于一个“圆”的教学案例，大意是，在“圆”的第一课时，学生在回答什么是“圆”时，答道：“地球是圆的”，“篮球是圆的”，“月亮是圆的”……看来，生活中，或者语文课上的“圆”，乃是“圆形”和“圆盘”的意思，而数学上的圆，仅指圆周，二者相互干扰，造成认知冲突.张先生指出教师需要跨学科地备课，仔细区分词汇的学科含义.张先生又进一步指出，在数学课上要适当地讲点语文知识.从这个意义上来看，上文3.1教学片断中，教者在情境导入里提供的案例也就是在课前经过精心准备，有效规避了认知冲突，也是我们提倡的“善于举例”.

2.“善于举例”宜举例在知识的“联结点”

张奠宙先生在文［9］中指出，数学教师的责任是返璞归真，运用适度的非形式化的方法，将数学的学术形态转化为教育形态，展现数学的魅力，激起学生学习数学的热情.文中建议：帮助学生提示数学的内在联系.这是很有见地的！我们认为，评价教者在课堂上的“善于举例”的一个重要指标即可看成：该教师在讲授、追问、点评时所举的例子是否与所授知识处于一个思维网络的“联结点”.这样，学生在纷繁复杂的干扰中才可寻找本质、感性的信息，从而帮助学生达到对数学内在本质的认识.一个经典的例子是，很多老师在进入平面直角坐标初学“有序数对”时，将教学中课桌并拢，拉2根相互垂直的长绳，一人为原点，于是每个人都有坐标.象限、直线、坐标轴都可通过学生的活动加以演示.坐标原点可以移动，正是坐标变换的影子.并可以在变换坐标轴的背景下让学生说出自己的坐标，在笔者的教学与听课经历中，曾多次经历这样的场景，一些基础不好的学生被要求汇报自己的坐标时，虽然满脸胀得通红，其他同学着急得帮助他，直至最终他的问题解决后，才如释重负.整个过程比起抽象地讲数轴、坐标系，要生动、实际多了.特别是有效的调动了全体学生的课堂参与.

3.“善于举例”应包括举正例和反例

我们在课堂教学中，常常在一些数学概念所展现的多元表征上充分举例，在“标准变式”的基础上引入“非标准变式”，以达到让学生理解某概念的内涵.如关于对顶角的学习，除了让学生分析在“标准变式”两条直线相交得到的对顶角外，给出下面的一组“反例”图形（图2），对于帮助学生加深对顶角的理解无疑是有好处的.

图2

图3图4图5

新授课时，适时将学生出现的上述错误（是一种生成的“反例”）例举给所有学生，让大家“纠错”并剖析，不但能给出错误同学以较深的印象，对其他同学亦是一种很好的教育资源.

4.“善于举例”应关注课堂“后半段”

张奠宙、赵小平先生在文［10］指出，“很多课堂，非常注重认识过程的前半段：创设情境、提出问题、分组探究、汇报归纳……但是，众所周知，认识过程还有理性认识的加深，并反作用于实践的后半段过程.这表现为练习巩固、反思总结、欣赏体验、变式应用、提炼成数学思想方法……”我们认为，关注“后半段”，通过恰当的举例，在课堂上促进目标达成，气氛推向高潮，问题的探究引向深入是完全有可能的.而在“后半段”的举例，主要包括以下形式：精心设计好巩固概念或性质的练习，来一次精彩的解题后解法赏析（可有效避免“进宝山而空返”），对问题尝试变式拓展、引向深入，或是师生一起品味、感悟本课中的数学思想方法等.

五、结束语

作为数学教师的一项基本功——“善于举例”，讨论虽至文末，但我们深知“善于举例”的话题是伴随课堂教学始终的话题，只要登上讲台，举例必然会“随堂而行”，它不应有一个所谓的“终结性答案”.永远在追寻，永远在路上.这就是我们对“善于举例”的一种基本取向，但它应有一个追求，这个追求就是：一切为了帮助学生更好的“学”！

1.郑毓信.从三项基本功到数学教师的专业成长［J］.中学数学月刊，2010（3）：1～4.

2.郑毓信.从三项基本功到数学教师的专业成长（续）［J］.中学数学月刊，2010（4）：1～4.

3.成尚荣.教学改革绝不能止于“有效教学”——有效教学的批判性思考［J］.人民教育，2010（23）：38～39.

4.郑毓信.教师专业成长：背景、内涵与基本途径［J］.中学数学教学参考·上旬刊，2011（1～2）.

5. 郑毓信.善于优化［J］.人民教育，2008（18）：42～44.

6.唐剑岚.数学多元表征学习的认知模型及教学研究［D］.南京师范大学，2008，5.

7.刘东升.让学生在“讲题”中提高数学能力［J］.中学数学教学参考·中旬刊，2011（7）：7～9.

8.张奠宙.语、数、外三科都是一种语言教学——从“篮球是圆的”说起［J］.中学数学月刊，2011（6）：1～2.

9.张奠宙，王振辉.关于数学的学术形矿教育形态——谈“火热的思考”与“冰冷的美丽”［J］.数学教育学报，2002（5）：1～4.

10.张奠宙，赵小平.教学中多多关注“后半段”——怎样上好复习课［J］.数学教学，2011（4）：封底.