类比思维在高等数学中的应用

余 敏

（郑州铁路职业技术学院，河南 郑州 450052）

高等数学中的主要部分是一元函数的微积分和多元函数的微积分这两部分的学习，使用类比法非常重要[1]。

一、概念

一元函数的自变量个数为一个，那么自变量为两个或两个以上的函数为多元函数。

1.极限的类比：一元函数中，当x趋于x0，对应的函数值f（x）无限接近于某个确定常数A，就说A是函数f（x）当x→x0时的极限；多元函数中，当动点P（x，y）无限接近于P0（x0，y0）时对应的函数值无限趋近于一个确定的常数A，那么A是二元函数f（x，y）的极限。 一元函数x→x0指的是x从x0的左右两侧趋近于x0。 二元函数中P（x，y），P0（x0，y0）是指P（x，y）从任意的方向趋近于P0（x0，y0）。

3.偏导数的类比：设二元函数z=f（x，y）在区域D上具有的两个偏导数一般情况下，它们仍然是关于自变量x，y的函数。如果两个偏导数的偏导数存在，则称它们为函数z=f（x，y）的二阶偏导数。类似地，可以定义三阶、四阶……n阶偏导数。

4.定积分概念的类比：与定积分类似，二重积分的概念是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”，所不同的是，定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域。但它们之间又存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算[2]。

同样，高等数学中的牛顿-莱布尼兹公式，格林公式，高斯公式和斯托克斯公式也是类比推理方法的产物[3]。学习这些概念时采用类比法，这些知识就变得更加浅显易懂。

二、性质

1.一元函数在闭区间上的连续函数有如下性质。

a.在闭区间连续的函数一定有最大值和最小值；

b.f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）可以取其最大值与最小值之间的一切值。

同样，利用类比法二元函数在闭区域上有类似的性质：a.有界闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值。b.设f（x，y）在有界闭区域上连续，则f（x，y）可以取其最大值与最小值之间的一切值。

2.定积分与二重积分某些性质上的类比，且由定义可知其证明也与定积分性质的证明类似[4]。

定积分具有以下几条性质：

性质1：被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即

性质2：两个函数和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即

性质3（积分区间的分割性质）：不论a，b，c三点的相对位置如何，总有

其中无论c是的[a，b]内分点还是外分点，该性质都成立。

性质4：如果在区间[a，b]上有

f（x）≤g（x）

那么

性质5（积分估值定理）：如果函数f（x）在[a，b]上的最大值为M，最小值为m，那么

性质6（积分中值定理）：如果函数f（x）在[a，b]上连续，那么在区间[a，b]内至少存在

一点ξ，使

二重积分具有与定积分类似的性质：

性质1：被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去，即若k为常数，则

性质2：函数和（或差）的二重积分，等于各个函数的二重积分的和（或差），即

性质3：如果将积分区域D分为两个闭区域D1和D2，则在D上的二重积分等于D1和D2上二重积分的和，即

性质4：在积分区域D上，如果f（x，y）≤g（x，y），则有不等式

性质5：设M和m分别是f（x，y）在区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有

性质6（二重积分的中值定理）：设函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得

三、计算方法

在掌握好一元函数的导数后，求多元函数的偏导数有类似的方法，在多元函数偏导数定义中，实际上只有一个自变量在变化，所以求二元函数的偏导数时，只需将一个自变量暂时看作常量，直接利用一元函数的求导方法，对另一个自变量进行求导即可。 例如：求函数z=f（x，y）的偏导数fx（x，y），只要把y暂时看作常量而对x求导数即可，类似的，求fy（x，y）时，只要把x暂时看作常量而对y求导数。这样一来多元函数求偏导也就容易了，在学完一元函数的定积分后，在计算二重积分和三重积分时，只是将二重积分和三重积分化为累次积分，并计算之即可。另外在定积分的应用中从求平面曲线围成图形的面积的方法上可以类比到求平面曲线的弧长，旋转体的体积。不同的是，求平面曲线围成图形面积的时候我们主要求出面积微元，而在求平面曲线的弧长时主要求出弧长微元，在求旋转体体积时候我们先求出体积微元，归结到微元法里就是：“以直代曲”“以不变代变”的方法[5]。

学习高等数学的理论知识，尤其是对相关内容进行类比，不仅能使难理解的概念容易理解，难记忆的公式更容易记忆，而且可以使解题思路变得更加开阔。但如果使用不当，也会带来一定的负面影响，造成学生消极的思维定势，在问题解决过程中，学生对问题进行表征后，用类比法难以进行模式识别时，要让他们多角度联想。

[1]张恒山.数学解题中类比能力的培养[J].南京师范学校学报，2000（3）.

[2]同济大学.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]崔西玲，李宏平.经济数学基础[M].北京：科学出版社，2005.

[4]崔国生，程敬松.新编工程数学[M].大连：大连理工大学出版社，2002.

[5]胡农.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2006.