关于数学分析选讲课程教学内容环节的探讨*

段丽芬，杨德清，程亚焕

(通化师范学院 数学学院，吉林 通化 134002)

数学分析选讲课程开设的目的是使学生对数学分析中的基本概念、基本理论、基本方法有更深入的理解，提高他们分析问题和解决问题的能力.对于地方高校来说，选修这门课程的学生绝大多数准备考研，但他们的数学分析基础不同，想报考的院校层次和要求也不同.而且出于对学时和内容更新的考虑，一般我们选用的教材只是作为参考，具体的教学内容由任课教师自行安排.那么如何针对学生的情况安排课程的内容，才能收到最好的教学效果呢？笔者结合自己多年的教学经验，认为在教学内容的选择上要注意以下几点：

1 注重基本概念的解析

对地方高校而言，尽管部分选修数学分析选讲课程的学生基础不是很好，但也绝不能将数学分析选讲课当成数学分析复习课来讲，这不但无法实现数学分析选讲课的教学目标，也不能为学生搭建起适合考研高度的平台.

对任何一门数学专业课来说，基本概念都是最重要的教学内容，这是毋庸置疑的.然而，在数学分析选讲课上要注重数学分析中基本概念的深入理解，而不要把时间浪费在对数学分析基本概念的重复和罗列上.比如：在极限理论部分，我们可以通过探究用定义证明数列和函数极限的各种类型实例，来帮助学生深入理解数列和函数极限的概念;在一元函数积分理论部分，通过探寻闭区间上有界函数类、连续函数类、可导(可微)函数类、可积函数类以及存在原函数的函数类的关系来明确可积函数的地位;在多元函数微分学部分，通过讨论多元函数的连续性、可微性及偏导数的存在性，来理解多元函数可微的概念等等.因为，我们面对的不是数学分析的初学者，而是经历过数学分析很多后续课学习的学生．所以，他们完全可以通过自己的努力达到到这个平台，实现理想.

2 关注基本理论的拓展

3 着眼基本方法的使用

用定义证明数列极限的基本方法是通过解不等式找“N”;求未定式函数极限的基本方法是使用洛必达法则;证明中值公式则常常借助恰当的辅助函数和辅助区间来实现.面对具体问题，无论最终解决问题的方法多么复杂、技巧性多么强，我们的思考过程都要从基本方法入手，如果基本方法不奏效或难奏效，则可选用其它方法.只有明确这样的思考顺序，才不至于在遇到问题时，思维混乱，不知从何下手.

分析：这是一道求未定式函数极限的问题，解决这类问题的基本方法是用洛必达法则.然而若直接用洛必达法则，分母求导后会变得更复杂，不宜处理.如果结合无穷小代换，问题就会简化.

4 重视典型错误的剖析

在教学过程中，针对学生易犯的错误，有意地为他们设置一些“陷阱”，再及时把掉下去的他们“捞”上来，彻底透彻地分析“掉”下去的原因和后果，一定会避免类似错误的再次发生.

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析上、下册[M].第3版.北京:高等教育出版社，2001.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].第3版.北京:高等教育出版社，2006.

[3]林源渠，方企勤.数学分析解题指南[M].北京:北京大学出版社，2003.

[4]王卫东.序列化思想在数学分析教学中的作用[J].高等数学研究，2012，15(1):111-113.