三维曲面船体外板数学展开方法研究

肖 雄，黄朝炎，胡 勇，袁 萍

(武汉理工大学 交通学院，武汉430063)

在船舶建造过程中，对于船体复杂的空间曲面，为了绘制号料草图或样板，以便在平直的钢材上号料，需要对船体外板进行展开。目前船舶制造领域，外板展开基本上都是采用手工放样或者计算机模拟手工放样，误差较大，而且效率低，严重影响船舶的自动化建造进程。研究船体曲面板展开，寻求一种能利用计算机自动展开曲面板的方法，使外板展开的误差减小，效率增加，对于船舶实现自动化生产具有重大意义［1-2］。

1 外板展开常用方法

曲面分为可展和不可展曲面，由微分几何知识可知，只有高斯曲率处处为零的曲面(如柱面，锥面等)才为可展曲面，而船体外板绝大部分为不可展曲面。对于不可展曲面，曲面不可能与平面相贴合，因此不管是传统的手工放样，还是现代的计算机数学放样，只能采用近似的展开方法，展开的曲面还原后与原来的曲面之间不可避免地存在一定的误差。如果误差不能满足工程要求，则在实际生产中，外板展开后都要加放一定的余量，既浪费材料，又增加了现场的修整作业。所以在现阶段的研究中，要求在展开的时候尽量减少误差，使其尽可能满足工程的要求。

针对外板展开的精度控制及其自动化问题，国内外研究者提出了许多相应的改进方法［3-5］，主要如下。

1)基于曲面离散的表达式，运用分区域曲面的展开思想，使用有限元法计算曲面展开;

2)利用曲面自身的几何特征，将曲面划分为等参数网格，沿着一个方向，根据曲线的测地曲率，将这些曲线展开到一张平面上;

3)基于能量模型的力学展开法，对曲面不同的部位定义不同的弹簧弹性系统，来控制曲面展开的精度，通过使弹簧质点系统变形，就可由初始平面映射到曲面展开的最终形状。

虽然这些方法都在一定程度上提高了外板展开的精度，但是操作过程普遍较为复杂，而且每种方法只能适应一定形状的曲面板，对展开其他形状板的误差则较大。对于船体外板的加工成形，能够在加工前对板材进行准确号料，无疑对于板材的自动化成形技术有着重大的实际应用价值，而上述改进方法距离实际应用有一定的差距。因此为了实现船体外板展开自动化及精度控制，本文在对这些方法的总结以及手工撑线法研究的基础上，提出了小曲面三角形展开法。

2 小曲面三角形法的理论分析

2.1 展开思想

船体外板大多为不可展曲面，处理方法只能是将其分割成若干个小块，并把这些小块近似地看成某种可展曲面进行展开，最后再把这些展开的小块集拢。

基于这种思想，小曲面三角形法是将船体外板沿长边方向以一定间距划分成若干长条，每个长条划分成若干小曲面三角形(见图1)，然后根据型线图以及肋骨型线图求出各个三角形三顶点的坐标或相应两点之间的坐标差，继而求出三角形三边直线长(Δx，Δy，Δz为两点之间的坐标差)，将这个长度近似作为小曲面三角形展开后的长度，逐个展开和连接这些小曲面三角形，从而得到外板的几何展开图。

2.2 展开精度

理论误差分析:设曲线方程y=f(x)，见图2。

图2 曲线示意

弧长为

式中:［xa，xb］——积分区间;

y'——曲线的一阶导数。

式中:g″(ξ)——曲线在ξ的二阶导数;

ξ∈［xn-1，xn］使得|g″(ξ)|最大;

h=xn-xn-1。

由式(2)可知，弧长用梯形法积分有一阶精度，对于光顺的样条曲线来说，用二次曲线来拟合局部，误差可忽略不计。式(2)可化简为

由于对于可展的小曲率板y'与1在同一量级，上式简化为

因此可以得出

由式(6)可知，用弦线代替弧线求曲线长度，每段误差与曲线二阶导平方成正比，与区间长度三次方成正比。具体的误差在计算机分析时是容易实现的。由此可知，误差是随区间长度的减小以三次速度收敛于0，由此可知，用该方法展开小区度船体外板是可行的。

从逼近原理出发，虽然将船体外板划分成一系列小曲面三角形后近似展开，从理论上来说，这些小曲面三角形依然是不可展开的，得到的几何展开图只是一种近似图形。但是，当划分的三角形足够小时，展开的结果与该曲面的真实展开面的形状和尺寸之间的误差也足够小，当误差小至在制造过程中不需要进行补偿和修整时，对于实际应用来说，这一结果是精确的。所以，理论上，小曲面三角是可以获得形状和尺寸都具有很高精度的船体外板展开图的。

3 外板展开实例

3.1 一般展开步骤

1)由各类软件(如TRIBON、沪东东欣SPD等)或者船体型线图输出船体外板的型值数据，将数据作合适的坐标转换(使板在xoy平面的投影面积尽可能多，大体以长边中性线方向为x轴)，以便于弯板机的调型，类似于船体胎架设计过程中的正斜切、斜斜切等;

2)若所得型值数据偏少，可用样条曲线插值，得到更多的数据;

3)网格划分。按插值后的型值数据的(x，y)将板划分为四边形，再作出所有四边形同一方向的对角线。划分后，外板由小的曲面三角形组成，这些三角形在xoy平面的投影面积相等(除边界上);

4)将每一与x轴垂直的窄条以x轴为基准按撑线法展开，再将所有窄条拼接在一起，要保证正投影在x轴上的曲线展开后仍在x轴上;

5)将数据输入AutoCAD，输出图形。

3.2 展开实例

TRIBON系统是一个面向船舶详细设计、生产设计的应用系统。它运行于DEC、HP或其它的图形工作站平台上，用OPENVMS操作系统作为系统支撑软件。用批处理命令和屏幕菜单命令方式驱动的二、三维图形系统是整个TRIBON系统的使用基础。由于该系统采用了较好的硬件平台和网络环境，加之TRIBON系统又将船舶详细设计和生产设计融为一体，使船体建造各阶段间的数据具有良好的共享性和兼容性，这为船体数学放样工作带来极大方便。

1)实例中，取某船艏部一块板，其空间形状见图3。

图3 外板空间示意

2)利用TRIBON软件的功能，生成的外板样条曲线的型值(见图4a))。其中，活络样板的调节示意图见图4b)。活络样板是在加工外板摆样时，改变了以往由于肋骨弯度而形成样板与外板里夹角而倾斜放置的缺点，活络样板可以垂直外板放置，因为它是通过计算机处理，计算出肋骨的法向面，所以使用简便，在实际操作中更体现了良好的使用价值［6］。

3)利用活络样板的调节表的值，以活络样板上的测量点直接划分成三角形，依次计算出划分的小曲面三角形的三边直线距离，以准线为基准，在CAD中依次在准线上下两边画出各个小三角形，然后将所有窄条拼接起来，见图5，得到经过小曲面三角形法展开的船体外板。

图4 从TRIBON得到的外板实验数据

图5 AutoCAD输出外板展开图

3.3 实验结果分析

为了验证试验结果及其误差，将AutoCAD中输出的外板展开图与TRIBON软件生成的船体外板展开图(见图6)进行对比，结果见表7。

图6 TRIBON软件输出的外板展开图

表7 实验结果和TRIBON对比

对比CAD和TRIBON的外板展开图，经检验可知，由三角形法得到的外板展开图和TRIBON软件生成的展开图基本吻合，而且偏差很小(如表7)，在实验上验证了三角形法的准确性。

实际上，由于TRIBON给出的点的型值数据是一定的，而在实验计算中，完全是根据TRIBON给出的点来将曲面板划分成三角形的，所以，结果虽然与TRIBON相吻合，但是与实际的外板展开图之间肯定有一定的差距。为了减少这一差距，提高展开精度，可以在已给出的型值点之间，进行非均匀有理B样条曲线插值来增加型值点(用计算机编程来实现)，这样可以增加型值点的数量，即将曲面板划分成更多更小的三角形，可以在很大程度上提高展开的精度，理论上，利用三角形法展开可以达到加工所需的精度。

4 结论

小曲面三角形法通过将三维曲面船体外板划分成小块三角形，再由已知的型值点计算出三角形的三边长度，并将其等效为平面三角形在平面上展开的方法。由于可以通过型值点插值，控制划分点的数目，从而控制小曲面三角形的大小，所以外板展开的精度也是可以控制的。通过试验论证，小曲面三角形法展开外板可以达到很高的展开效率以及要求的展开精度，不需要在加工前预留余量，这将对船体外板的自动化成形建造具有非常大的实际意义和实用价值。在插值和计算机展开外板的工作中，本文只做了初步的尝试工作，没有利用计算机编程，以实现软件之间的数据交换，达到计算机自动展开船体外板的效果，这是本文的不足之处，也是以后努力的方向。

［1］杨 启.关于计算机辅助船体外板展开方法及其几何精度的研究［D］.武汉:武汉交通科技大学，1997.

［2］庞 林.船体外板展开的保形法研究［D］.大连:大连理工大学，2004.

［3］刘寅东，战竖婷.船体外板展开算法及程序实现［J］.船海工程，2007，29(3):34-36.

［4］蔡云南，赵尚辉.外板展开图程序［J］.船舶，2000(6):58-61.

［5］徐兆康.船体复杂曲板展开的几点思考［J］.造船技术，2006(4):19-21.

［6］张 辉.利用VBA技术实现外板展开线的自动绘制［J］.船舶设计通讯，2005(1):58-60.