勾股定理常见错例剖

陈惠颖

勾股定理是初中数学的一个重要内容，应用很广泛. 由于勾股定理及其逆定理的形式都比较简单，不少同学在应用时常出现一些错误，现将这些错例归类剖析，供同学们参考.

一、刻板地套用勾股定理

例1 在Rt△ABC中，∠A=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边， a=4，b=3，求c的长度.

错解：由勾股定理，得c2=a2+b2=42+32=25，所以c=5.

剖析：错在对勾股定理的认识不正确，受勾股定理c2=a2+b2的影响，想当然地套用勾股定理，认为c是斜边而导致错误. 实际上，本题中∠A=90°，a是斜边，故应是a2=b2+c2.

正解：因为∠A=90°，由勾股定理，得a2=b2+c2 .故有c2=a2-b2=42-32=7，所以c =.

点评：在使用勾股定理时，要注意直角所对的边是斜边，而c不一定是斜边. 既要看是否满足勾股定理的形式，又要看这个定理中a、b、c的实质.

二、忽略勾股定理存在的条件

例2 在边长都是整数的△ABC中，AB>AC，如果AC=4，BC=3，求AB的长.

错解：因为AB>AC，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=42+32=25，所以 AB=5.

剖析：此题错在没有明确是否为直角三角形，受“勾3股4弦5”的思维定势的影响，误认为△ABC是直角三角形，忽略勾股定理存在的条件而盲目使用勾股定理.

正解：根据三角形的三边关系：三角形任何一边小于两边的和，得AC+BC>AB>AC，即4

点评：勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，但只有在直角三角形中才成立. 因此在非直角三角形或不确定是直角三角形的情况下，不能盲目使用勾股定理.

三、思考问题不全面

例3 在Rt△ABC中， a=8，b=6，求c的长度.

错解：由勾股定理，得c2=a2+b2=82+62=100，所以c=10.

剖析：本题没有给出对应的图形，上述解法误认为∠C是直角，将c当作斜边，思考问题不全面. 由于本题没有明确哪个角是直角，所以需要分情况讨论：∠A是直角或者∠C是直角.

正解：（1）当∠C是直角时，

由勾股定理，得c2=a2+b2=82+62=100，所以c=10.

（2）当∠A是直角时，

由勾股定理，得a2=b2+c2.故c2=a2-b2=82-62=28，所以c =2.

故c的长度为10或者2.

点评：当题目给出直角三角形两边长，并且没有确定它们都是直角边时，需要考虑到所有符合条件的图形，明确第三边既可以是直角边，也可以是斜边. 周密思考，防止漏解.

四、勾股定理与逆定理混淆不清

例4 在△ABC中，a=12，b=5，c=13，试判断△ABC的形状.

错解：因为c2=132=169，a2+b2=122+52=169，所以a2+b2=c2.

根据勾股定理知△ABC是直角三角形.

剖析：本题错在混淆了勾股定理与其逆定理，虽然最终判断的结果正确的，但判断的依据错误. 勾股定理的前提是在直角三角形中，结论是a2+b2=c2，所以勾股定理是直角三角形的一个性质，而勾股定理的逆定理才是直角三角形的一个判定方法.

正解：因为c2=132=169，a2+b2=122+52=169，所以a2+b2=c2.

根据勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.

点评：勾股定理是直角三角形的一个性质，可以用它来判断直角三角形三边的等量关系，而其逆定理是根据三边的等量关系来判断三角形的形状.

五、推理错误

例5 在△ABC中， a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边， a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1），求∠C的度数.

错解：因为（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，即n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1.

所以a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知∠C=90°.

剖析：本题错在推理过程上，列出（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2这个等式就认为a2+b2=c2成立.

正解：因为a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，所以a2+b2=c2.由勾股定理的逆定理可知∠C=90°.

点评：在判断所给的线段能否构成直角三角形时，首先要确定最长边，然后再通过推理，只有计算出较短两边的平方和等于最长边的平方时，才能说明此三角形是直角三角形.

通过对这些问题的剖析，希望同学们能仔细体会勾股定理及其逆定理的本质意义，并加以灵活运用.

练习：

1.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且（a+b）（a-b）=c2，则（ ）.

A.∠C=90° B .∠B=90°

C.∠A=90° D.不是直角三角形

2.在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，求BC的长.

参考答案： 1.C； 2.25或7.