一类椭圆曲线有正整数点的判别条件

杨海,付瑞琴

(1.西安工程大学理学院,陕西西安 710048;2.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安 710062)

一类椭圆曲线有正整数点的判别条件

杨海1,2,付瑞琴2

(1.西安工程大学理学院,陕西西安 710048;2.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安 710062)

设p是适合p≡1(mod 8)的奇素数.本文主要利用初等方法证明了椭圆曲线y2=px(x2+1)在p≡9(mod 16)时没有正整数点(x,y);并且对于p≡1(mod 16)的情况,给出了该椭圆曲线有整数点的两个判别条件.

椭圆曲线;正整数点;判别条件

1 引言

近年来,椭圆曲线的整数点是数论和算术代数几何中引人关注的研究课题.设p是素数,对于椭圆曲线

文献[1]证明了它至多有1组正整数点(x,y).此后,文献[2]证明了:当p=2时,椭圆曲线(1)仅有正整数点(x,y)=(1,2);当p是适合p/≡1(mod 8)的奇素数时,椭圆曲线(1)没有正整数点.由此可知,椭圆曲线(1)的正整数点的存在性只需考虑p≡1(m od 8)时的情况.最近,文献[3]证明了:如果p=22m+1是Fermat素数,其中m是大于1的正整数,那么(1)有正整数点.本文将对一般的p给出(1)有正整数点的判别条件.

对于给定的正整数n,n可唯一地表示成n=dm2,其中d和m是正整数,d是无平方因子.这样的d称为n的无平方因子部分,记作d(n).

设N是全体正整数的集合.由文献[4]中第2.2节可知:当p≡1(m od 4)时,方程

此时,(u,v)=(uk,vk)(k=1,3,5,…)是方程(2)的全部解.

本文利用初等数论方法证明了以下结论:

定理1.1当p≡1(mod 8)时,椭圆曲线(1)有正整数点的充要条件是2łd(u1)且ud(u1)是平方数.其中(u1,v1)是方程(2)的基本解,(ud(u1),vd(u1))适合(3)式.当此条件成立时,椭圆曲线(1)仅有正整数点

定理1.2当p≡9(mod 16)时,椭圆曲线(1)没有正整数点.

定理1.3如果p=16r4+1时,其中r是正整数,那么方程(2)必有正整数点.

显然,定理1.2改进了文献[2]的结果,定理1.3包含了文献[3]的结论,并且由此可推知椭圆曲线(1)在p=2107等不是Fermat素数的情况下也有正整数点.

另外,由于文献[5]已经证明:当3łd(u1)或者5łd(u1)时,ud(u1)不是平方数;并且猜测:当d(u1)是大于1的正奇数时,ud(u1)都不是平方数.因此本文提出以下猜想：

猜想当p≡1(m od 16)时,椭圆曲线(1)有正整数点的充要条件是u1为平方数,这里(u1,v1)是方程(2)的基本解.

2 一个引理

3 定理的证明

定理1.1的证明由文献[2]的分析可知:当p≡1(mod 8)时,椭圆曲线(1)有正整数点的充要条件是p满足

当条件(8)式成立时,椭圆曲线(1)仅有正整数点

由于条件(8)式成立等价于方程

有解(X,Y),所以根据引理1.1即可得定理1.1.

定理1.2的证明当p满足(8)式时,如果b=1,那么因为2|a,于是由(8)式可得

于是,根据Jacobi符号的性质(参见文献[7]的定理3.6.3),由(12)式和(15)式可得b≡1(mod 8),因此b2≡1(mod 16),并且由(8)式可知此时p也满足(11)式.由此可知:当p≡9(m od 16)时,椭圆曲线(1)没有正整数点.定理1.2证完.

定理1.3的证明当p=16r4+1时,因为条件(8)在a=2r且b=1时成立,故由文献[2]可知此时椭圆曲线(1)必有正整数点.定理1.3证完.

参考文献

[1]祝辉林,陈建华.两个丢番图方程y2=nx(x2±1)[J].数学学报,2007,50(5):1071-1074.

[2]乐茂华.椭圆曲线y2=px(x2+1)的正整数点[J].湛江师范学院学报,2008,29(3):1-2.

[3]管训贵.关于椭圆曲线y2=px(x2+1)的一个注记[J].四川理工学院学报:自然科学版,2010,23(4):384-385.

[4]柯召,孙琦.谈谈不定方程[M].上海:上海教育出版社.1980.

[5]Cohn J H E.The diophantine equation x4+1=D y2[J].Math.Com p.,1997,66(219):1347-1351.

[6]Ljunggren W.Einige S¨atze¨Uber unbestimm te G leinchungen von der form Ax4+B x2+C=D y2[J].V id-A kad. Skr.Norske Oslo.,1942(9):1-20.

[7]华罗庚.数论导引[M].北京:科学出版社,1979.

The criterions for a kind of ellip tic cu rve has positive in teger poin ts

Yang Hai1,2,Fu Ruiqin2

(1.School of Science,X i′an Polytechnic University,Xi′an 710048,China;
2.College of Mathematics and In formation Science,Shaanxi Normal University,Xi′an 710062,China)

Let p is an odd p rim e w ith p≡1(m od 8).The m ain purpose of this paper is using the elem entary m ethods to p rove that if p≡9(m od 16),then the ellip tic cu rve y2=px(x2+1)has no positive integer point (x,y).Moreover,for p≡1(mod 16),two criterions for the elliptic curve has positive integer points are given. K ey w ords:elliptic curve,positive integer point,criterion

O156

A

1008-5513(2013)04-0338-04 DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.002

2013-05-27.

国家自然科学基金(11226038);陕西省教育厅专项基金(11Jk0474,11Jk0472);西安工程大学博士科研基金(BS1016).

杨海(1979-),博士后,讲师,研究方向：数论及其应用.

2010 M SC:11D 25