关于模糊值凸函数的共轭问题的研究

包玉娥,赵博,彭晓芹

(内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽 028043)

关于模糊值凸函数的共轭问题的研究

包玉娥,赵博,彭晓芹

(内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽 028043)

在Goetschel-Voxm an所引进的序关系下,首先给出了模糊值凸函数的共轭函数的概念,并证明了模糊值凸函数的共轭函数是模糊值凸函数等相关性质;其次给出了模糊值凸函数的二次共轭函数的概念,并证明了相关性质;最后讨论了模糊值凸函数的共轭与下卷积之间的关系,证明了两个模糊值凸函数的共轭函数与其下卷积的共轭函数之间的等式关系.

凸模糊值函数;共轭函数;下卷积;次微分

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.04.001

1 引言

关于凸函数的共轭问题是凸性理论中的一个重要研究课题,它在数学规划中的作用越来越受到重视[1].为了建立模糊规划的共轭对偶理论,2007年张成和袁学海在文献[2]中利用模糊数的偏序关系[3]给出了模糊值凸函数(凸模糊映射)的共轭映射的概念,证明了其共轭映射是一个凸映射.利用Goetschel-Voxman在文献[4]中所给出的序关系,在文献[5]中讨论了模糊值函数的凸性与次可微性问题,给出了次微分的若干重要性质;在文献[6]中建立了模糊值凸函数的右乘与下卷积的概念,讨论了有关的基本性质.在此基础上,本文利用Goetschel-Voxm an所给出的序关系,讨论模糊值凸函数的共轭问题,证明了其共轭映射是模糊值凸函数,为进一步研究模糊规划的共轭对偶理论打下了良好的基础.

2 预备知识

实数集R上的一个模糊集u:R→[0,1]称为模糊数,如果u是正规的,凸的,上半连续的,且支集是紧集.用F0表示R上的所有模糊数构成的空间,称其为模糊数空间.

3 主要结果

4 结论

凸函数的共轭问题是凸性理论中的一个重要研究课题,它在数学规划中的作用越来越受到重视.本文为了更好地探讨模糊规划的共轭对偶理论,利用Goetschel-Voxman所给出的序关系,讨论了模糊值凸函数的共轭问题,证明了其共轭映射是模糊值凸函数,并给出了模糊值凸函数的二次共轭函数的概念,证明了相关性质;同时讨论了模糊值凸函数的共轭与下卷积之间的关系.在此基础上,,将要利用模糊值凸函数的共轭函数研究模糊规划的对偶问题.

[1]Walk M.Theory of Duality in M athematical Programm ing.Banach[M].New Year:Springer-Vienna,1989.

[2]张成,袁学海.凸模糊映射的共轭映射[J].数学研究与评论,2007,4:839-844.

[3]Nanda S.On Fuzzy Integrals[J].Fuzzy Sets and System s,1989,32:95-101.

[4]Goetschel-Voxman W.Elementary fuzzy calculus[J].Fuzzy Sets and System s,1986,18:31-34.

[5]关世霞,包玉娥,赵慧冬.模糊值函数的凸性与次可微性[J].纯粹数学与应用数学,2012,28(5):676-686.

[6]赵博,包玉娥,彭晓芹.一类模糊值凸函数的若干运算性质[J].模糊系统与数学,2012,26(5)167-171.

[7]Hong Yan,Jiuping Xu.A class of convex fuzzy mappings[J].Fuzzy Sets and System s,2002,129:47-56.

[8]巩增泰,李红霞.模糊数值函数的微分和梯度及其应用[J].高等应用数学学报,2010,25(2):229-238.

The research on con jugate p rob lem of fuzzy-valued convex function

Bao Yu′e,Zhao Bo,Peng Xiaoqin
(College of Mathematics,Inner M ongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

In this paper,based on the ordering introduced by Goetschel-Voxman,we f rstly give the concep tion of the conjugate function for fuzzy-valued convex function and p rove some related p roperties,e.g.the conjugate function of fuzzy-valued convex function is also fuzzy-valued convex function.Second ly,we def ne the secondary con jugate function of the fuzzy-valued convex function and prove relevant p roperties.Finally we discuss the relationship between the con jugate and infmal convolution of the fuzzy-valued convex function and p roved the equated relationship between the con jugate function of two fuzzy-valued convex functions and the conjugate function of infmal convolution.

fuzzy-valued convex function,con jugate function,infmal convolution,subdif erential

O 159.2

A

1008-5513(2013)04-0331-07

2012-09-05.

内蒙古自然科学基金(2010M S0119).

包玉娥(1962-),博士,教授,研究方向:凸性理论及其应用、模糊分析.

2010 M SC:03E72