耗散系统中原子与场熵交换的条件

岳转林，闫学群

(天津工业大学理学院，天津300387)

耗散系统中原子与场熵交换的条件

岳转林，闫学群

(天津工业大学理学院，天津300387)

研究了耗散场腔中，二能级原子与单模辐射场在相互作用过程中熵的关联情况.结果表明：原子与耗散场之间存在熵交换现象，更重要的是证明了它们之间的熵交换需要满足一定的条件.

耗散系统；耗散腔；原子与场；熵交换

熵交换可以说明量子系统由纯态变为混合态时损失的有效信息.Jaynes-Cummings（J-C）模型是一种描述原子与场相互作用的理想量子动力学模型[1-3].因而，该模型中原子与场相关联的熵演化现象已经成为量子信息学的研究热点[4-8].Phoenix等[9]研究了纯态下原子与场相关联的熵演化现象，并证明原子与场两子系统的约化熵在演化过程中始终相等.之后，很多科学家对原子与场处于混合态时的状况进行了深入研究.Boukobza等[10]发现原子与场的初态均处于混合态时，它们的约化熵不一定相等，并在一定条件下发生熵交换，两者之间出现反相关联的现象[10].文献[11]研究了非线性强度相关耦合的J-C模型中的熵关联现象，结果发现熵交换只与原子和场的初始态选择有关，与场的非线性量和非线性耦合系数均无关.然而这些研究忽略了场腔的耗散对子系统熵交换的影响[12].在实际情况中，原子与场相互作用系统的熵在演化过程中总会随着场的能量损耗而改变.因此，研究耗散腔中原子与场的熵交换更有实际意义[13-15].本文考虑了场腔耗散的影响，利用解线性微分方程组的方法，对共振情况下的二能级原子和耗散场相互作用体系的刘维方程进行精确求解，计算原子与耗散场约化熵，并利用数值结果讨论原子与耗散场的熵交换条件.

1 理论计算

量子系统的熵定义为：

为了研究原子与场之间的熵关联，必须计算出原子和场的约化熵.以下标记两个子系统为a和f，两个子系统总的密度算符为，子系统的密度算符为和子系统的密度算符由下式给出：

因此两个子系统的熵分别为：

式中：γ为耗散系数.将方程（5）、（8）代入方程（9）中，可以计算得到系统的密度算符的表达式（为简单起见而又不失一般性，令ω-ω0=0）：

其中λ1（t），λ2（t），λf（t）是原子和场的密度算符的本征值.由（10）、（11）、（12）、（13）、（14）式即可求得原子和场密度算符的本征值分别为：

2 数值分析

通过以上理论计算，分析现有模型中原子和场的熵变换的数值结果，进而证明在一定条件下，原子与场的熵交换是反相关联的.图1所示为当κ/γ=20时部分熵ΔS随时间比的变化趋势.

图1 当κ/γ=20时部分熵ΔS随时间变化的趋势Fig.1 Change of partial entropy ΔS with time for κ/γ=20

图1（a）所述为当场的初始态为弱激发热态m= 0.2、原子的初始态为混合态Pe=0.9时原子与场的熵变化ΔS（t）随时间γt变化的趋势.可以看出，随时间γt的增加，原子与场的熵变化趋势逐渐不同，这与孤立系统中原子与场的熵变化是同时上升或者是同时下降的变化趋势有所不同.这是由于耗散场要向外界不断地辐射光子，致使场的熵增加得快一些.这与热力学中的熵增加原理完全相符.图1（b）中Pe=0.2，m=0.3，可以清楚看到原子与场的熵变化呈现相反的变化趋势，ΔSa+ΔSf也呈振荡变化.当Pe和m取合适的值时，ΔSa+ΔSf的图像是一条光滑的曲线，变化方向与场约化熵的变化方向相同.

选择原子与场的熵交换呈现反相关联时对应的Pe和m的值，将这些值拟合成一条曲线，如图2所示.

图2 场的熵变化量大于原子的熵变化量Fig.2 Field entropy change is larger than that atomic

图2中，固定Pe的值不变，减小m的值，场熵是负值，原子熵是正值，即这些点落到A区域，ΔSf＜0，ΔSa＞0；增大m的值，这些点落到B区域，ΔSf＞0，ΔSa＜0.图2曲线与无耗散项曲线上的点都代表原子与场的熵交换时对应的Pe和m的值，但这些点代表的物理意义有所不同.无耗散项曲线上的点表示原子与场熵变化量之和是相等的，即

而本文讨论的有耗散项曲线上的点代表的是原子的熵变化量小于场的熵变化量.因为，本文的量子系统是开放系统，随着时间t的变化，腔中有光子向外辐射，场熵的增加要比原子熵的增加快一些，即

证明：为不失一般性，选择一点Pe=0.36，对应图2中曲线上的m值，m值介于1.28和1.29之间.当κ/ γ=20，Pe=0.36时原子与场的熵交换呈反相关联的趋势，如图3所示.图3（a）中当m=1.28时，场熵变化是负值（ΔSf＜0），原子的熵变化为正值（ΔSa＞0）.图3（b）中当m=1.29时，原子和场发生了熵交换，场的熵变化是正值（ΔSf＞0）），原子的熵变化是负值（ΔSa＜0）.同时可以发现当场的熵变化是正值时，ΔSa+ΔSf＞0，当场的熵变化是负值时，ΔSa+ΔSf＜0.也就是说，当Pe和m取不同的适当的值时，都会存在场熵变化量的绝对值总是大于原子熵变化量的绝对值.故而可以证明场熵的增加要比原子的熵增加快一些，即

用本文理论计算结果作图时发现，当Pe的值一定时，改变m的值，总会出现原子与场熵交换现象，但是当Pe值大于0.45时，原子与场熵的图像相交错乱.改变m值，很难出现原子与场的熵交换的情况.因此，可以得出这样一个结论：在耗散腔中，存在原子与场发生完全熵交换的条件为0＜Pe＜0.45，0＜m＜5.耗散系数的大小不会影响原子和场的熵交换，只会增强原子与场熵的振荡频率，如图4所示.

图3 当κ/γ=20时原子和场的熵变化Fig.3 Partial entropy change for κ/γ=20

图4 κ/γ=1 000时，Pe=0.36，m=1.29原子与场的熵变化Fig.4 Partial entropy change for atom in a mixed state(Pe= 0.36)and field in state m=1.29,with κ/γ=1 000

3 结论

利用J-C模型，研究了含有耗散项的二能级原子和单模场的熵变换，发现两者的熵变化存在正相关联和反相关联.这与无耗散项的二能级原子和单模场的熵关联是一致的，只是在含有耗散项模型的演化过程中，原子与场的熵变化的幅度逐渐减小.当原子与场的熵交换时，无耗散项的原子与场的熵变化的总和是不变的；而在耗散腔的模型中，由于耗散腔不断向外辐射光子，由熵增加原理可知，场的熵变化要比原子的熵变化快一些.通过数值计算发现原子与场的熵交换的条件为：0＜Pe＜0.45，0＜m＜5，在这个范围内，只要选择适当原子初态和场的平均光子数，就可以使得原子的熵和场的熵交换，即两者呈反相关的关系.最后还说明了耗散系数不会影响原子与场的熵交换的条件，只会增加熵变化的振荡频率.

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Condition for entropy exchange between atom and field in damped system

YUE Zhuan-lin，YAN Xue-qun
（School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

The entropy exchange between a tow-level atom and a single-mode radiation field is studies in a damped system. The results show that there is an entropy exchange phenomenon between atom and field.Especially，it is prove that there is a condition for entropy exchange between atom and damped field.

damped system；damped field；atom and filed；entropy exchange

O413.1

A

1671－024X（2013）06－0081－04

2012-05-20

国家自然科学基金青年基金项目（51108314）

岳转林（1986—），女，硕士研究生.

闫学群（1963—），男，博士，教授，硕士生导师.E-mail：xqyan867@tom.com