交叉滚子转盘轴承的非线性刚度分析

黄东升，顾克秋

（南京理工大学机械工程学院，江苏南京 210094）

0 绪论

近年来，回转轴承随着主机行业的迅速发展而得到广泛应用，现已经扩展到军事装备、港口机械、运输机械等，已成为机械回转装置上不可或缺的重要部件之一。

随着转盘轴承在工程上的运用越来越广泛，与之相应的强度，刚度及寿命分析的研究也凸显出其重要性。交叉滚子转盘轴承的非线性刚度，对于机械设备整体动力学分析至关重要。

1 转盘轴承的经典赫兹解

1.1 理论计算条件假设

参照国内外轴承理论，在建模计算中进行如下假设:1）交叉滚子轴承外圈固定，载荷加载轴承内圈上;2）忽略交叉滚子轴承内外圈的整体变形;3）交叉滚子轴承转速很慢，不考虑轴承上产生的附加动载荷;4）不考虑滚动体与内外圈之间的摩擦。

1.2 滚子线接触刚度分析

在交叉转盘轴承中，滚子与内外套圈的接触为典型的有限长线接触。滚子滚道线接触的弹性趋近量是轴承分析中的基本公式。Hertz线接触理论没有像点接触理论得到完善，用平面应变问题来处理无限长圆柱与弹性半空间的接触，但没能得到法向接触变形的理论解。

Plamgren［1］给出的经验公式:

式中:ν1，ν2为泊松比;E1，E2为弹性模量;Q为滚子载荷;LWe为滚子有效长度。对于钢制轴承，有ν1=ν2=0.3，E1=E2=206Gp，于是有公式:

式（2）是Plamgren基于大量的实验数据，处理分析所得。在滚动轴承工程运用中，得到了广泛使用。但式（2）表明，无论滚子和套圈的直径如何，都不改变弹性趋近量，即式（2）只与接触间的载荷Q，滚子有效长度LWe有关，而与其余参量无关。很明显，式（2）还需要改进。

鉴于Plamgren公式不能反映滚子和套圈直径对弹性趋近量的影响，罗天宇和罗继伟［2］研究了建立圆柱与弹性半空间模型，通过数值方法得到弹性趋近量—滚子直径关系曲线，如图1所示。

在Plamgren公式的基础上，引入一个弹性趋近量—滚子直径曲线的拟合项，得到最终式:

图1 δ－DW曲线

式中，DW为滚子直径;k=DW/dr，dr为滚道直径。作为Plamgren公式的修正公式，已经得到验证其实用性。

但是，对于忽略内外圈整体变形的假设，式（3）还不能直接使用，这是因为该式默认内外圈是柔性体。所以，推导得滚动体为柔体、内外圈为刚体的修正公式:

所以，将使用式（4）作为后续分析的基础公式。

1.3 力平衡公式推导

轴承受力分析主要包括两方面，1）单个滚动体与滚道间的接触分析，由上文已经得到弹性趋近量分析结果;2）整个轴承在外载荷的作用下，各滚动体的受载分布，本节将讨论这一问题。

对于大直径的转盘轴承，大多承受轴向和翻转力矩，在工程运用中，如挖掘机，盾构机等，径向所受到的载荷非常小，所以，本文不考虑径向载荷，只分别建立承受轴向和翻转载荷的模型。

首先，建立转盘轴承在坐标系中模型，如图2所示。

图2 转盘轴承在坐标系中

1）轴向力

根据转盘轴承的静力平衡条件:轴承中每个滚子分别对滚道产生的轴向力之和与轴承z方向所受的轴向力平衡如图3所示。

图3 转盘轴承在受纯轴向载荷变形

轴向位移为δa，则内外圈滚道间的位移为:

2）翻转力矩

在翻转力矩的作用下，内外圈发生相对转动角度θ，且只有一半的滚柱承受载荷，如图4所示。

图4 转盘轴承受纯翻转力矩载荷变形

内外圈滚道间的位移为:

整理式（9）、式（10）可以得到各滚动体变形协调方程:

对于每个承受载荷的滚动体，实际受到不同的轴向力，各滚动体轴向力对x轴的力矩之和，与翻力矩平衡，可得式（12）。

翻转力矩平衡方程:

1.4 实例分析

本文研究的110.20.0990.001.04.03F1型交叉滚子回转支承，其滚柱规格为D20*19.6mm，共58对116个滚柱，均布分布，接触角α=45°;支承座内径d=890mm，支承座外径D=1075mm滚动体材料为GCr15，泊松比0.3，弹性模量206GMp。

1）轴向力

把各参数代入式（8）得:

2）翻转力矩

把各参数代入式（11）得:

整理得:

把上式代入翻转力矩平衡方程（12），得:

得到:

2 有限元方法计算

2.1 有限元模型简化

对于交叉滚子转盘轴承有限元模型，因为滚动体的数目是普通轴承的数倍，与内外圈接触的数目随之也增多，所以，非线性程度非常高，需要高配置硬件设备，给模型计算带来极大困难。但可以根据各受力情况，对模型进行适当合理的简化。

轴向力:因为滚动体只有圆柱面和内外圈接触，所以只有一半的滚动体受到轴向载荷。可以建立1/58模型，对于不受力的滚动体不建立，如图5所示。

图5 承受轴向力的滚动体与外圈模型

翻转力矩:对于承受翻转力矩模型，外圈固定不动，内圈在载荷的作用下，发生倾斜。从每个滚动体的角度来考察，相当于每段内圈轴向向下位移，所以整个轴承模型只有一半的滚动体承受载荷，即相间的滚动体承受载荷。整个模型相对于zx面对称，相对于yz面反对称。所以，简化成1/4模型，如图6所示。

图6 承受翻转力矩的滚动体与外圈模型

2.2 有限元计算

1）网格划分

为了保证接触计算精度，采用三维六面体单元对几何有限元网格划分。对于径向和翻转力矩模型，如果采用同轴向模型一样的单元尺寸和单元类型，模型大小会急剧加大，由于计算机硬件配置的限制，导致内存不够无法计算。所以，必需进行简化。

接触区域采用C3D8I单元，单元大小不能大于接触面半宽，接触面半宽由Hertz线接触理论求得。非接触区域采用C3D4单元，单元大小采用比例缩减方式根据距离接触区域远近而变化。各工况网格如图7所示。

图7 模型网格

2）边界条件

转盘轴承模型中，包括大量的接触的条件，是高非线性模型。不同的载荷，接触区域大小不同，所以轴承的各向刚度都是非线性刚度。本文计算各不同载荷下，各方向的位移（角位移）。

在轴承的轴线上建立与内圈运动耦合的参考点，内圈的边界条件和载荷加在此参考点上;外圈只加载边界条件，它的载荷由滚动体传递，所以根据不同的载荷情况，相应地在外圈上定义边界条件;滚动体在各自的径向平面内保持不动，否则出现刚体位移，所以在各滚动体上定义径向位移为零。

3）接触定义

接触问题是一种高度的非线性问题，接触单元是覆盖在分析模型接触面上的单元层，有限元会通过所设定的接触单元来识别可能的接触对。

如图8所示，因为内外圈是刚体，所以与滚动体接触的套圈外表面是主面，滚动体上接触面设为从面。对于接触模型，软接触更能使模型收敛，但计算结果会使位移变大，刚度变小，结果与实际相差很大，所以采用是硬接触，更接近实际情况。滚动体和内外圈间为光滑摩擦，即没有摩擦力。

图8 滚动体与外圈接触定义

3 经典赫兹解与有限元结果比较分析

计算该模型经典赫兹解，及有限元模型并提取计算结果，如表1和图9—图12所示。

表1 各模型计算结果及刚度分析

由表1及图9～图12可知，文中所述理论计算方法所得结果和有限元所得结果比较吻合，使得经典赫兹解和有限元解相互验证，为转盘轴承的工程应用及选择提供了依据。

图9 赫兹解轴向刚度

图10 有限元轴向刚度

图11 赫兹解翻转刚度

图12 有限元翻转刚度

无论是轴向刚度，还是翻转刚度，都随着载荷的增大而增大。这是因为随着载荷的增大，接触面积随之增大，增强了抗变形能力。并且，随着载荷增大，刚度的增加值逐渐变小。

4 结语

给出了基于经典赫兹理论的推导公式，并建立有限元模型对该推导公式进行验证。同时，两者结果都显示了转盘轴承非线性刚度的特性，为转盘轴承的设计选择提供了依据，具有一定的工程应用参考价值。

［1］Palmgren A.Ball and Roller Bearing Engineering［M］，3rd ed.Burbank，Philadelphia，1959.

［2］罗天宇，罗继伟.圆柱滚子的弹性趋近量［J］.轴承 2009（6）:8-10.

［3］刘丹丹，韩红彪，刘红彬.三排滚柱式回转支承有限元分析［J］.矿山机械2010（14）:58-62.

［4］石亦平，周玉蓉.ABAQUS有限元分析实例详解［M］.北京:机械工业出版社，2007.

［5］定龙建，洪荣晶，高学海.基于ABAQUS的回转支承非线性接触研究［J］.煤矿机械2010（12）:68-70