让课堂充满生命活力 有效促进学生的发展

张晓东

学生在学习新知识时，头脑并不是一片空白，他们在以往的日常生活和学习中形成了丰富的经验，即便是他们未曾遇到过的新知识，他们也往往可以根据已有经验形成对问题的某种解释。为此，教学不能忽视学生的这些经验，应将此作为新知识的生长点。彭晓老师的这节课正是在这种教育观指导下的产物，她以学生已有的知识和认识经验为基础，通过一个开放性的问题“针对引例，你能提出哪些新的问题？并尝试将提出问题的方法进行分类，”激活了学生的思维。整堂课学生积极思考、主动参与、气氛活跃、创意迭起，成为见证学生生命历程的一堂课。现就这节课特点具体分析如下：

一、教学设计由表及里，巧妙实现数学思想和方法与数学知识结合，关注学生的可持续发展，立足于学生数学素养的形成

本节课教师制定的教学目标是：

1. 理解圆锥曲线定义的内涵，会运用定义解决一些几何特征量的最值问题。

2. 通过一题多变、一题多思、多题归一等方式，培养学生的发散思维能力和聚合思维能力，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯。

3. 在探究问题的过程中，渗透运动变化、对立统一、普遍联系等哲学思想，借助探索、发现、归纳、类比等方法获得问题解决的基本路线，并能预测可能的结果，提高学生的数学素养。

为达到上述教学目标，教师以一道课本习题为载体，通过变式，使学生从多角度认识和理解椭圆的本质特征，从而达到对圆锥曲线定义内涵深度把握的目的。从课堂交流中，也可以看到学生能够灵活应用它解决相关问题。从开放性问题“针对引例，你能提出哪些新的问题”到活动2“独立或合作解决问题”的设计，给学生发散思维的空间。从课堂表现看，学生提出了一些教师预设之外的问题：已知|PF1|-|PA|的值，求对应点P的位置；求三角形PF1A面积的最大值等。学生思维活跃，在交流中相互启迪，能力得到提升。在活动3“小组汇报、交流”过程中，教师通过追问，渗透最终揭示出运动变化、对立统一、普遍联系的哲学思想以及表现在数学中的数学思想方法，使学生在感悟中形成能力。

二、立足学生最近发展区，精心设计教学

教师通过课前的调查，了解到学生的现有水平：知道圆锥曲线的定义，三角形不等式及简单的应用；能够应用解析的方法和几何方法求解简单的最值问题。分析学生的实际情况，教师确定了学生可能的发展水平：面对具体问题，在老师的引导下提出一些问题，并加以解决；通过具体问题的解决，进一步理解数形结合、转化、分类整合等数学思想方法和运动变化、对立统一、普遍联系等哲学思想。介于两者之间的就是学生的最近发展区，教师为学生选择带有难度的内容：①已知点A（1，3），而且F1是椭圆 + =1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|-|PA|的最小值和最大值。②已知点A（1，1），而且F1是椭圆 + =1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|+|PA|的最小值和最大值。充分调动学生的积极性，发挥其潜能，使学生超越其最近发展区而达到其困难发展到的水平。

三、以人为本，激励、唤醒学生的求知欲望，使每个学生真正参与到学习中

首先，教师以课本习题为基础。通过改编（已知点A（1，1），F1是椭圆 + =1的左焦点，P是椭圆上任意一点，求|PF1|-|PA|的最小值和最大值）作为认知的起点，再通过系列变式，由易到难、由浅入深、拾级而上，可以看出引例的构思设计别具匠心、以人为本。它能有效激活学生的原有认知，让每个学生都能够得着，从心理上产生自信心，也为学生潜在能力的发挥提供了思维载体；同时也为后续环节利用圆锥曲线定义进行和、差转化求最值做好了铺垫。

其次，教师融教育于教学之中。在引例之后，穿插了一个以激励和渗透学法为目的的小故事：我高中时班上有两个同学给我留下了深刻的印象：甲家庭富有，买了很多教辅材料，每天在题海中沉浮，每天都在问某道难题该怎么做；乙家境贫寒，只有教材，他每天都会去重点研究一道或几道课本上的习题：变已知、变未知，进行变式练习，或者直接编题、做题；有时他也会将有关联的题目放在一起比较、研究，归纳共性；他也问老师问题，但问的都是他自己提出来的问题。日积月累，甲的成绩始终位居中等，而乙却很快成为了我们班、年级无可争议的第一名。高考那年，北京大学在我们省只招了12名学生，乙就是其中之一。今天，我们也来学习乙的做法.这种典范激励法。使学生心理产生一种获取成功的欲望，一种迫切需要探究问题的冲动。

在活动2中，教师安排了“规定动作”和“自选动作”，以满足不同层次、不同兴趣、不同特长学生的需求，使每个学生都有事可做，做有所得。同时，教师利用这个时间到学生中去，进行个别指导，关注需要帮助的学生，反馈信息，掌握学生解决问题的实际情况，为后续组织讨论、交流提供依据，使教学更具针对性和实效性。这种既有民主又有集中的教学形式，给了学生较大的选择空间，保护了学生的学习热情。

第三，教师在尊重学生个性的基础上，分层布置作业。A层：觉得自己还不能规范书写解答过程的同学，请选择我们已经探讨过的1～2个问题，进行规范书写。如果需要帮助，请找小组长索要老师提供的参考答案；B层：继续探究课堂上大家提出来，但我们还没有来得及解决的问题，并进行题后反思；C层：从教材中选出一题，尝试用本节课所讲的方法改编此题，并解答和写出题后反思。从作业的表述中可见，教师时时在向学生渗透着学法。

四、培养学生的问题意识，渗透问题研究的方法，关注学生的可持续发展

为了培养学生的问题意识，教师首先给出素材（引例），在此基础上，鼓励学生先独立思考，根据自己的已有经验提出问题，再在小组内进行交流碰撞，然后在全班交流。整个过程老师先放后收，组织得井井有条、收放自如，并通过精心的板书启示学生及时总结、领悟提问的具体策略。如，变换已知中点与曲线的位置关系；变化结论中的运算关系；推广到其它的圆锥曲线；条件、结论互换等。这为学生日后的学习、工作打下了坚实的基础。

在探究过程中，教师通过一些引导性的问题向学生渗透研究方法。如，尝试将提出问题的方法进行分类；对大家提出的问题要先进行合理性的判断，如果不合理，修改后再探究；你怎样想到要用定义进行问题转化的？通过本题，你获得了什么新经验？等等。要求学生借助观察、实验、归纳、类比等方法获得问题解决的一般思路，并鼓励学生大胆预测可能的结果；板书设计中，通过对各个关键词的改变，让学生领悟提问的方法；思路遇到障碍时，启示学生回到概念、追本溯源，探索问题解决的方法，如变式1的解答中，在求|PF1|-|PA|的最大值时，要将其转化为求|PF2|+|PA|的最小值，这是问题的难点，那么你是如何想到的呢？教师在交流中通过追问，使学生对动点P的运动特征进行深入的思考：一是P点的坐标满足方程 + =1；二是由椭圆定义|PF1|+|PF2|=6刻画，进而引发学生发现：可将|PF1|-|PA|的最大值问题转化为|PF2|+|PA|的最小值问题。

五、渗透数学思想方法，提升数学素养

北京大学数学科学学院张顺燕教授认为：数学不仅仅是一种工具，它更是一个人必备的素养。它会影响一个人的言行、思维方式等各个方面。一个人，如果他不是以数学为终生职业，那么他的数学素养并不只表现在他能解多难的题，解题有多快，数学能考多少分，关键在于他是否真正领会数学的思想，数学的精神，是否将这些思想融会到他的日常生活和言行中。本节课中教师适时地向学生渗透和揭示了分类讨论的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想和类比的思想方法。如，在活动1中，老师要求学生将提出问题的方法进行分类；在变式中，按照点A与椭圆的位置关系进行分类等；在问题探究过程中，当用代数的方法遇到计算上的困难时，将其转化为从形的角度分析；当|PF1|-|PA|的最值取得的条件达不到时，学生能够主动利用圆锥曲线的定义进行问题转化，突破思维难点，从而将差（|PF1|-|PA|）的最值问题转化为和（|PF2|+|PA| ）的最值问题，并通过追问“你怎么想到要用定义进行问题转化的？”引领学生深入思考转化的必要性与转化的具体策略，主动探寻转化的本质及途径；再就是利用类比的方法提出新问题，解决新问题等。

六、培养学生反思意识，提升学生元认知水平

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为：反思是数学思维活动的核心和动力。反思是深究数学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，其最终目的是指向未来的活动，学生只有坚持反思性数学学习，才能洞察数学活动的本质。在本节课中，教师自始至终引导学生时时进行反思和梳理题目、知识和方法间的联系，提炼具有普遍指导意义的规律，如教学中多次向学生追问：“通过本题，你获得了什么样的解题经验？”“通过本题，你又获得了什么样的新经验？”在作业中也要求学生写出题后反思等，以此启发学生要自觉养成及时反思、总结的解题习惯。不难想象，这样的教学，若坚持不懈，假以时日，何愁不能潜移默化，稳步提升学生数学素养的终极目标？

总之，在整个教学过程中，教师给予了学生充分的时间与空间进行自主、合作、探究，让学生自我体验、大胆想象。在与已有知识的联想和想象中，与自己的思维碰撞中，学生做到了对知识举一反三、灵活运用，不光深刻理解了数学知识，最可贵的是体会到数学知识中蕴涵着的重要思想方法，逐步理解数学的本质，感受到学习的乐趣，这是这节课最值得称道的地方。