机电相似的研究

邓建平

宿州学院机械与电子工程学院，安徽宿州，234000

1 问题的提出

如图1，质量为M的物体，用弹性系数为K的弹簧固定在墙上，物体与地面之间为粘性阻尼，阻尼系数为D，求其系统的运动方程。

图1

(1)

对(1)式只要作如下变量的置换：电压V→f，电流i→u,电荷q→x,电感L→M,电阻R→D,电容C→K,(1)式则变换为:

(2)

(2)式则是R-L-C串联电路的方程。

如图2,如对(1)式中的变量再作如下变换:电流iD→f,电压Vb→U,电容Cb→M,电导Gb→D,电感Lb→K,磁链4→x,则方程(1)式变换为:

(3)

(3)式是G、C、L并串联电路的电路方程，如图3。

基于以上分析，可以说图2、图3所示电路都是图1所示机械系统的相似电路。

图2

图3

2 两种相似电路的规则

2.1 f-v相似规则

f表示机械系统的力，v表示电路系统的电压。

机械系统的每个接点与一个由外加激励电源和无源元件组成的闭合回路相对应。回路中,电源和无源元体相似于接在接点的驱动力源和无源元件。同一刚体上所有点都认为是同一接点，这种规则就是f-v相似规则。所谓接点即刚体运动自由度，其接点数，也就是其相似电路的网孔数，根据f-v相似规则，由力学元体和电路元体的相似关系(表1)，能得到与机械系统相似的电路，采用KVL或网孔法得到电路方程，再按表1将电路变量变换为力学量，即可得到机械系统的运动方程。

表1 力—电压相似变换

2.2 f-i相似规则

机械系统的每个接点与一个链接电源和无源立体的节点相对应。而接在该节点上的电源及元体与机械系统中相应接点所连接的驱动力源及无源元件相似，刚体上的所有点都看作是一个接点，与重物相似的电容器，一端总是接地的。这种相似方法，即f-i相似规则[1]110。

在f-i相似规则中，驱动力f与电路中电流相似，其他各物理量的相似关系如表2，接点即机械系统自由度，与相似电路的节点对应，得到机械系统的相似电路，由KCL或节点法到电路方程后，再根据表2将电量变为力学量，即得到机械系统的运动学方程。

表2 力—电流相似变换

3 实例研究

例1写出图4所示机械系统的运动方程。

解方法一：利用f-v相似原则，图4所示系统有2个节点x1，x2，所以按照f-V相似规则，与其相似的电路应有两个回路，每个回路中，电源和无源元件相似于其对应接点的驱动力源和无源元件，由图5所示。

图4

图5

图5所示的电路方程如下。

回路1：

=V

(4)

回路2：

+R1(i2-i1)=0

(5)

由f-v相似关系根据表1作变换:

(4′)

+D1(u2-u1)=0

(5′)

(4′)和(5′)即所求系统运动方程。

方法二：利用f-i相似原则。因为系统有两个接点x1，x2，所以由f-i相似规则，其相似电路应有两个节点，第一个节点链接了电流源i[f]、电容C1[M1]C2[M2]、电感L1[K1]、电导G1[D1]，第二个节点链接了电容C3[M3]、电感L0[K0]，如图6所示。

图6

由KCL及VCR得图6所示的电路方程如下。

(6)

(7)

再按表2作力学量变换:

(6′)

(7′)

(4′)(5′)与(6′)(7′)完全相同，都是图4所示机械系统运动方程。

例2试写出图7所示系统的运动方程。

解方法一：图7所示机械系统按点数为2，所以f-v相似电路中有两个回路，第一个回路由电压源v[f]、电感L1[M1]、电阻R1[D1]和R2[D2]组成；第二个回路由电感L2[M2]、电容C[K]和电阻R1[D1]组成，其中R1[D1]是两回路公共的，如图8所示。

图7

图8

图8的回路方程：

(8)

(9)

由f-v相似关系变换表1，对(8)(9)作参数变换有：

(8′)

(9′)

(8′)(9′)即图7所示机械系统运动方程。

方法二：f-i相似。相应于机械系统的两个坐标x1和x2，f-i相似电路应有两个独立节点，第一个节点链接点电流源i[f]、电容C1[M1]、电导G1[D1]及G2[D2]；第二个节点连接了电容C2[M2]、电感L[K]、电导G1[D1]，其中G1[D1]是两者公共的，如图9所示，很容易写出图9的节点方程。

图9

(10)

(11)

应用表2的变换关系，将(10)(11)变成机械运动方程:

(10′)

(11′)

(10′)(11′)与(8′)(9′)完全相同，为图7所示机械。

例3写出图10力学系统的运动方程。

图10

解：用f-v相似，虽然系统有两个自由度及两个广义坐标q1、q2，但系统有牵连运动。所以，系统的相似电路有三个回路。根据f-v相似规则，作相似电路如图11所示。

图11

根据表1，f-v相似规则，V(f)的相似关系，图10各物理量与图11中各电路量的相似关系为：

V1⟹m1g,V2⟹m2g,V3⟹m3g,

L1⟹m1,L2⟹m2,L3⟹m3,

由KVL

联立(14)、(15)式有：

(16)

将相似关系(14)式代入(16)式，整理有：

=0

(17)

(17)式即所求图10所示机械系统的运动学方程。通过对该例的研究不难看到：有牵连运动的机械系统，确定相似关系时系统的速度，要取绝对速度。

4 两种相似规则的比较

从实例研究中已看到：f-i相似与f-v相似求解顺题都较简便。但从物理观点看，f-i相似比f-v相似更令人满意，因通过的力与通过的电流相似跨越的速度与跨越的电压相似。由此而得，机械系统中的一个接点变换为电系统中的一个节点，而非一个回路，在实验测量方面较为方便。

5 机械耦合的相似电路

普通的机械耦合装置，如齿轮、摩擦轮、杠杆等，也与电相似。

研究无滑动摩擦轮(与密合齿轮对无区别)，用角速度(Ω1Ω2)和转矩T1、T2来描述其运动状态。轮半径(r1、r2)如图12所示，各个量元间有以下关系。

图12

T1/T2=r1/r2

(18)

Ω1/Ω2=r2/r1

(19)

如把r1∶r2看成匝比N1∶N2，则转矩就与电压相似，角速度与电流相似[1]116，这就构成了f-v相似的基础，如图13所示。

但如把r2∶r1看看成匝比N1∶N2，就构成f-i相似的基础[1]117，如图14所示。相似电路的变压器是理想变压器，初、次级的电流方向及电压极性都是反向的，这是由于两个转矩及角速度因耦合而反向。且相似电路中的变压器，只用来将次级电路参数变换到初级，或者相反。

图13 图14

例3图15所示系统，一个正弦变化的转矩T1∶T0sinωt加在轮1上，轮1与轮2相互密合，设两轮的轴是无惯性的，并且由无摩擦的轴承支撑着，求轮1的稳态角速度。

图15

解：本例应用f-v相似，图16-(a)所示是其相似电路，图中所有电参量都已用相似机械参量标出。当把次级的所有元件都变换到初级时得初级回路电路如图16(b)所示。因为要求的是稳态角速度，所以应用阻抗的概念，即得所求结果。

图16

(20)

(21)

(20)式即所要求轮1的稳态角速度。

参考文献：

[1]郑均.线性系统分析[M].毛培法,译.北京：科学出版社出版，1978