对2014年一道北约物理题的赏析

祝智浩

（绍兴市第一中学，浙江 绍兴 312000）

1 问题提出

2014年“北约”自主招生物理试题解答题第1题：在真空中，质量为m1和m2的两个小球，只受万有引力作用，某个时刻，两球相距L0，m1的速度为v0，方向指向m2，m2的速度为v0，速度垂直于两球球心连线，问当速度v0满足什么关系时，两个小球的间距可以为无穷远.

2 问题求解

要确定物体的运动情况，需明确该物体各个时刻（位置）的受力情况以及初始条件.若单独以m1为研究对象，则m1受力的大小和方向均受到m2位置的约束，而m2位置的确定又与m1的运动情况有关，因此两物体所受的变力难以描述.

为了解决这个困难，可以有两种办法：

（1）转变研究对象，取系统为研究对象，将变力化为内力，避开变力的描述；

（2）转化参考系，在m1的参考系中研究m2的运动，方便变力的描述.

方法1.在地面参考系中取系统为研究对象.

在地面参考系中取m1和m2组成的系统为研究对象，由于系统不受外力，所以系统的动量和机械能均守恒；且当两球间距无穷远时，势能为0.

如图1所示建立坐标系，设m1的末速度在x、y方向上的分量为v1x、v1y，m2的末速度在x、y方向上的分量为v2x、v2y.

根据系统动量守恒有

图1

系统机械能守恒，有

（3）式等号右边整理为

对于第一项，利用（1）式消去v2x，得

同理，

所以

化简有

方法2.在质心参考系中取系统为研究对象.

在质心系中取系统为研究对象，该质心系中，仍只有保守内力做功，故系统机械能守恒.

如图1所示，由质心速度的定义可知

同理

由系统机械能守恒定律，有

又Ek末≥0，将v1x′、v1y′、v2x′、v2y′代入，有

由系统机械能守恒定律，有

方法3.在m1的参考系中以m2为研究对象.

方法1与方法2在惯性系中取系统为研究对象，避开了两球间复杂的变力；而变力描述的复杂性源于两球均在运动，为了解决这个问题，可以m1为参考系，研究m2的运动.

图2

虽多加了一个惯性力，但不管是惯性力还是万有引力，均是时刻指向m1的有心力，在有心力场中描述m2的运动就方便多了.

m2相对于m1的初速度为v21＝，即以m1为参考系，m1的初动能Ek＝.设相对于m1的末动能为Ek′（Ek′≥0），对m2运用动能定理，有

由于F与F′的方向时刻指向m1，即在m1的参考系中为有心力，因此上式等号左边积分

又Ek＝m2v02，Ek′≥0，所以

1 陈钢，阮中中.柯尼希定理运用于两体问题的讨论［J］.物理与工程，2010，（1）：21.

2 张新华.引入约化质量 破解物理竞赛中的二体问题［J］.物理通报，2012，（7）：99.