单通道多分量伪码复合线性调频信号分离及参数估计

朱航，张淑宁，赵惠昌

(1.南京理工大学 电子工程与光电技术学院，江苏 南京210094;2.解放军73015 部队，浙江 湖州313000)

0 引言

由于具有频率时变、截获概率低等特点，非平稳信号在雷达、声纳和无线通信领域得到极大重视，作为一种特殊的非平稳信号，线性调频(LFM)信号在雷达目标检测、近程探测、引信抗干扰等领域得到广泛应用。而为了获得更好的抗干扰性能和低截获概率，近些年来，国内外多种较为先进的雷达引信系统都采用伪码复合线性调频(PRBC-LFM)信号，它同时兼具了伪随机码和LFM 信号的特点，具有距离速度分辨率高、测速测距精度高、抗干扰性能好和截获概率低等优点。目前已有不少文献提出了针对PRBC-LFM 信号的参数提取方法，但多是基于合作接收机和先验信息部分已知的假设，如文献［1 -2］需要知道伪随机码序列或其功率谱，文献［3 -4］提出的算法需要知道码元宽度和载频，但对于信号非合作的雷达引信信号侦察接收机，很难获得这些先验信息;文献［5 -6］提出了对PRBC-LFM 信号识别和参数估计的谱相关方法，需满足调频带宽大于编码数与脉冲宽度之比，且计算量较大，文献［7 -9］提出了基于时频分布的侦察信号参数估计方法，但需要在时频平面进行二维搜索，计算量也较大。虽然上述这些方法或多或少存在一些局限，但是在对单分量的PRBC-LFM 信号进行参数估计时，都能达到一定的效果。然而，在战场环境中，由于信道资源十分宝贵，当在同一频段同时接收到多个PRBCLFM 信号时，上述的这些方法不能够对这种单通道多分量信号进行较好的分析。本文基于对多分量PRBC-LFM 信号的研究，提出噪声背景下实现信号分离和参数估计的方法，较好地解决了对调制参数和伪码进行估计的问题，实现了多分量信号的分离。

1 单通道多分量PRBC-LFM 信号

1.1 PRBC-LFM 信号

在一个重复周期Tr内，LFM 信号的相位表达式可以表示为

式中:f0为LFM 信号的载频;k 为线性调频斜率;φ是信号的初始相位。那么可以得到对该重复周期Tr内LFM 信号的描述:

式中:A 为信号幅度，只要将这样的信号按周期Tr重复，即可得到周期的LFM 信号。PRBC-LFM 信号可以由LFM 信号和伪随机码相乘得到，表示为

(3)式中，对于连续信号用＜·＞Tr表示变量取值范围限定在0≤t≤Tr，＜· ＞表示在限定取值范围为0≤t≤Tr的基础上将信号以Tr为周期重复多次以进行延拓;相对应地，对于离散信号用＜·＞Nr表示变量取值范围限定在1≤n≤Nr，＜·＞表示在限定取值范围为1≤n≤Nr的基础上将信号以Nr为周期重复多次以进行延拓。U(t)的表达式为

1.2 单通道多分量PRBC-LFM 信号

多分量PRBC-LFM 信号可以表示成(5)式:

式中:M 表示为分量信号个数;v(t)表示噪声;xi(t)表示第i 个分量的PRBC-LFM 信号。

这里所示的每个分量可以用参数(Ai，f0i，ki，φi，Tri)及对应的伪随机码序列Ui(t)来表示，其中Ui(t)包含了信号的伪随机序列长度Pi和伪码码元宽度Tci.

2 调制参数及伪码估计

对于各参数及伪码的估计，都是基于信号的离散表示形式进行的，该离散表示形式(本文中，离散信号用方括号［n］表示，连续信号用圆括号(t)表示)可以表示为

式中:Ts表示对信号的采样周期;Nri为重复点数，与重复周期Tri相对应，有Tri=Nri·Ts.则各分量的离散形式可以用参数(Ai，f0i，ki，φi，Nri)表示。

本节中为了更好地说明参数估计方法，假设估计值同真实值无差别，而在实际情况中，估计值会存在一定误差。

2.1 重复周期的估计

由第1 节可知，PRBC-LFM 信号都具有周期性，所以首先需要估计出各分量信号的周期。

对于(7)式所示的R 行N 列矩阵:

若该矩阵各行呈周期性，则该矩阵的秩为1，那么如果对A 做奇异值分解，得到的奇异值只有第一个不为0 且较大，其他奇异值均为0 或十分接近0;否则求解出多个不为0 且数值较接近的奇异值［10］.

因此，对于多分量PRBC-LFM 信号，可以按照(7)式，以1 为步进改变N 值，构建矩阵A，进行奇异值分解，对于不同的N，求解出奇异值比σ1/σ2，构建奇异值比谱。当N =N1时，如果N1为某一分量信号的重复周期，则在谱中会出现一个很明显的峰值，而其他分量信号的周期不为N1，可以视之为噪声，对σ1的贡献很小，可以忽略不计。因此，可以通过找出这样的峰值，找出分量信号的重复周期Tr1=TsN1，而且必须注意的是，若分量信号的幅度越大，则其所对应的奇异值比谱上的峰值越大，所以，应该优先找出峰值较大时所对应的分量信号重复周期。

如果通过奇异值比谱，可以估计出多个不同的周期，那么说明各分量信号重复周期不尽相同，此时的信号参数估计问题会较简单;当只估计出一个周期时，则说明各分量信号周期相同，此时的参数估计问题相比而言要稍显困难，具体的估计步骤在下文中给出。

2.2 取平方消除伪码影响

由于在混合信号中，各分量是由伪随机码和LFM 信号复合而成，因此，原本用于提取LFM 信号的方法无法被应用。

考虑对(6)式中混合信号取平方，得到(8)式:

也就是说，通过取平方，消除了伪码影响，得到了M 个新的周期LFM 信号同原分量相比，重复周期不变，它们的参数可以表示为(A2i，2fi，2ki，2φi，Tri).

2.3 周期积累减小噪声影响

通过前面的奇异值比谱，确定了一个重复周期对应点数N1(相应的重复周期Tr1=N1Ts)后，而后又对混合信号取平方，这一步中，分别取LN1点的信号x［n］和［n］，令:

假设混合信号中有Q 个周期为N1的信号，那么经过周期积累后，对这些其余的周期不为N1的信号包括噪声，都由于积累取平均能量减弱了，因此可以将这些信号作为新的噪声分量，则(10)式和(11)式可以继续写作:

(12)式和(13)式中，由于取值范围限定在1≤n≤N1(0≤t≤N1Ts)，所以不进行周期延拓，只用符号＜·＞N1和＜·＞N1·Ts.

2.4 调频斜率的估计

将xc［n］kc同［n］相乘，当kc=2kq时，得到:

就得到了对2kq1的估计。

这里需要进一步说明的是，由于kc是以一定的步进变化的，事先不清楚2kq1的取值范围，因此对于kc初始值和步进的设置很难明确，造成(16)式的搜索时间较长。这里，可以利用分数阶傅里叶变换(FRFT)针对LFM 信号的聚敛特性［11］，先对平方处理周期积累后的混合信号［n］进行FRFT，得到其变换域上幅值最高处所对应的阶数p，而后利用(17)式计算其斜率的粗略值Kr:

而后，使kc的取值在粗略值周围的一个小范围Δk内，kc∈［Kr-Δk，Kr+Δk］，以一定的步进改变kc的值，再进行(16)式计算，将减小搜索2kq1的时间。

2.5 载频的估计

在2.4 节中，估计出2kq1之后，找出［n］·xc［n］kc=2kq1频谱上能量最大点对应的频率，就是对载频2f0q1的估计，即

2.6 初始相位的估计

估计出(N1，2kq1，2f0q1)后，建立参考信号x'c［n］，其表达式为

将x'c［n］的实部同［n］做内积，得到:

(20)式中，最后得到的两项中，第二项中由于剩余信号同参考信号不相关，所以内积为0，因此对(20)式只考虑第一项，即

2.7 信号幅度及伪码的估计

在求出(N1，2kq1，2f0q1，2φq1)之后，再次建立一个参考信号xd［n］，其表达式为

将未经平方处理的周期积累后的信号x'［n］同xd［n］相乘，得到:

此时，(24)式得到的最后结果中，Aq1·〈Uq1［n］〉N1为实信号，它的虚部为0;而剩下的部分为复信号，有实部部分也有虚部部分。下面就是要从x'［n］·xd［n］中得到这个实信号Aq1·〈Uq1［n］〉N1.

可以知道，对信号取实部得到:

而对信号取虚部可以得到:

式中:Hilbert(·)表示求希尔伯特变换。将该式应用于求解Aq1·〈Uq1［n］〉N1，得到(28)式:

至此，就求得了一个N1周期内的Aq1·〈Uq1［n］〉N1波形，通过(29)式可以求得该分量信号的幅度，本文中假设分量信号幅度均为正数。

式中:sum(·)表示求所有点的加和。将Aq1·〈Uq1［n］〉N1除以Aq1就得到了理论上的一个N1周期内的伪码波形，当然不可避免地要受到噪声的影响，所以最后需要对波形进行整形处理，得到波形表达式:

令A1=Aq1，f01=f0q1，k1=kq1，φ1=φq1，Nr1=N1和U1［n］=〈U'q1［n］〉，则重构出的第一个PRBCLFM 分量可以用参数(A1，f01，k1，φ1，Nr1)和伪码序列U1［n］表示，该重构信号的离散形式可以表示为:

将该分量从混合信号中减去，重复本节步骤，就能依次估计出剩余各个分量信号的参数及伪码并分离它们。

3 停止分解阈值的自适应确定

在第2 节中，给出了对多分量信号中各分量参数进行估计的方法，当估计出某一分量的各项参数及伪码序列后，重构该分量信号，将其从混合信号中减去，重复第2 节步骤求解剩余分量。然而，对于接收到的混合信号，事先并不知道其中含有几个分量，那么，就无法确定进行多少次分解是合适的，因此，在本节中，针对含有噪声的多分量信号，介绍如何确定停止分解阈值的自适应方法。

对于混合信号x(n)，能够求解出其能量SPx:

如果能够知道混合信号的信噪比SNR，则通过求解方程组:

就能确定无噪信号同噪声信号的能量值SPs和SPv，那么对于每次分解后剩余的信号能量SP(k)，k 表示分解次数，若SP(k)＜(1 +δ·100.1SNR)SPv=SPv+δ·SPs(δ 取小于1 的值，可以取0.01 ～0.20)，则可以认为对混合信号中各分量的分解已经完成，剩下的只是噪声，这里(1 +δ·SNR)SPv即为停止分解的阈值，该阈值表示某次分解后，当混合信号中除噪声能量以外，剩余的无噪信号能量小于最初能量的δ 倍时，可以认为剩余的无噪信号能量较小，则停止分解。

因此，需要对混合信号的SNR 进行估计。这里的信噪比估计采用自相关矩阵特征值分解法，该方法能够适用于本文的多分量情况［12］。对混合信号构建自相关矩阵并对其做特征值分解，得到特征值bi(i=1，…，L)，且满足:

而后定义MDL 函数如(36)式所示，并求得使该函数值最小的k 值即为对q 的估计:q =

确定了q 之后，便可得到对σ2的估计如(37)式所示;进一步得到对信噪比的估计如(38)式所示:

通过仿真，发现该方法对多分量信号的信噪比估计最大误差不超过0.6 dB，平均误差为0.132 dB，图1为-5 dB ～25 dB 时，利用该方法对信噪比的估计同真实值之间的对比。

图1 真实信噪比同估计信噪比的对比Fig.1 Contrast of true and estimated SNRs

4 仿真与分析

为说明本文方法的有效性，对含有3 个分量的多分量PRBC-LFM 信号进行分离，多分量信号处于5 dB 信噪比下。虽然在实际情况中，出现各分量信号周期相同的情况概率较小，但是为了充分验证本方法，在这里仿真中考虑较为复杂的情况，有两个分量信号重复周期相同。取采样频率为51.2 MHz 时，各个分量所对应的参数如表1所示。

各个分量所对应的伪随机序列如图2所示。

该多分量信号前256 个点的时频分布绘于图3中，图3(a)是含噪情况下的，图3(b)为理想情况及无噪情况下的。从图3中可以看出，多分量PRBCLFM 信号在时域及频域上均重叠且在时频面上彼此交织在一起，现有的一般时频分析法无法对这种多分量信号进行分析，这是很难实现信号分离的多分量信号混合形式，在噪声条件下，困难更大。

表1 多分量PRBC-LFM 信号各参数Tab.1 The parameters of multi-component signal

图2 各分量对应的伪随机序列波形Fig.2 The pseudo random sequence of each component

首先，按照第3 节所述方法，得到估计的信噪比为SNR=5.041 1 dB，并计算得到混合信号能量为1.201 4.而后，建立方程(39)式:

得出SPv=0.286 6，当δ =0.1 时，阈值(1 +δ·100.1SNR)SPv=0.378 1.

图3 时频分布Fig.3 The time-frequency distribution

得出阈值之后，按照第2 节所给方法，逐一估计各信号参数。

4.1 估计信号周期

以2.1 节方法，构建奇异值比谱，在谱图中发现最大峰值对应点为256，因此令256 为第一个待分离信号的周期点数，该奇异值比谱如图4所示。求出重复周期点数后，可以进行平方处理和周期积累处理。

图4 奇异值比谱示意图Fig.4 The ratio of singular values

4.2 估计调频率

图5 分数阶傅里叶变换示意图Fig.5 FRFT of［n］

图6 调频率搜索示意图Fig.6 Searching of modulation rate

4.3 估计载频

在确定调频率后，以2.5 节方法求解式2f0q1=以确定载频，频谱如图7所示，最大值点频率为2f0q1=4.807 MHz.

4.4 估计初始相位

4.5 估计伪码序列

利用2.7 节方法，估计出伪码序列，将整形前后的序列图及源伪码波形画在一起，如图8所示。

图7 载频估计示意图Fig.7 Estimation of the carrier frequency

图8 分量1 伪码波形对比图Fig.8 Contrast of the true and estimated pseudo random sequences of Component 1

图8中，由于有两个分量信号的周期相同，使用周期积累无法较好地减小同周期分量对待分离分量的干扰，造成在个别点上，受到了其他分量信号伪码跳变的影响，致使估计出的待分离信号伪码波形存在奇异值点，如图8中56 点位置所示的一个跳变。为避免这种影响，在整形处理后，可以设定一个延迟参数，当波形在±1 跳变后，连续多个点都一直保持为跳变后的值，才认为这是一个伪码跳变位置，否则判定为跳变前的值。

具体步骤为:对于整形后的一个重复周期的伪码波形U'q［n］，给定一个延迟参数nb(本文仿真中nb=3)，重新给出一个伪码波形U″q［n］，满足:

通过(40)式，可以消除图7中的奇异值点，还原出源伪码波形，所以，这里令U″q［n］为最后估计出的伪码波形。

4.6 估计幅度

通过未整形前的伪码波形，利用式Aq1=估计出幅度值为0.590 3.

4.7 波形对比

利用估计出的参数及伪码序列，重构信号并同源信号进行对比如图9所示，波形恢复效果较好。

图9 分量1 恢复信号同源信号波形对比Fig.9 Contrast of the recovered and source signals of Component 1

需要说明的是，本文算法在分离出一个分量并估计出其所有参数时，需要进行约3M + N +次复数乘法和次复数加法，其中M为混合信号长度，N 为得到的分量信号周期点数，2Δk为参考因子kc变化范围，σ 为求解调频斜率时的kc搜索步进，P 为进行FRFT 时的阶数采样点数，仿真时，分解一个分量并估计其相应参数的平均时间约为0.86 s，具有较高的运算效率，适用于实际应用。

对于剩余信号，这里不再具体说明各步步骤，将最后求得的伪码对比图和信号波形对比图给出，如图10～图13所示。

图10和图12中，由于分解出第一个分量之后，剩余的分量信号周期不相同，能够通过周期积累减小彼此之间的干扰，因此最后得到的伪码波形没有奇异值点;而图11和图13中，可以看出恢复波形同源波形很相似。恢复信号同源信号的各参数对比如表2所示。

图10 分量2 伪码波形对比图Fig.10 Contrast of the true and estimated pseudo random sequences of Component 2

图11 分量2 恢复信号同源信号波形对比Fig.11 Contrast of the recovered and source signals of Component 2

图12 分量3 伪码波形对比图Fig.12 Contrast of the true and estimated pseudo random sequences of Component 3

图13 分量3 恢复信号同源信号波形对比Fig.13 Contrast of the recovered and source signals of Component 3

表2 各分量估计参数与原参数对比Tab.2 Contrast of the estimated and source parameters

在表2中，波形相似度用以下公式表示:

式中:ρij表示相似度系数;yi(t)和sj(t)表示求相似度的两个信号;E［·］表示求解期望值。

从表2中可以看出，第一次及第二次分解完成之后，剩余信号能量均大于阈值，需要继续重复步骤进行分解;当第三次分解完成之后，剩余信号能量0.338 小于阈值0.378 1，可以停止分解。

为了衡量不同输入信噪比对这些参数估计的影响，下面画出一般情况下，对应于不同输入信噪比时，该方法成功估计出各参数相对于真实值归一值的均方误差曲线。从图14中可以看出，这4 个参数随输入信噪比SNR 的增大，估计误差NMSE 将减小。

图14 不同信噪比条件下参数估计精度Fig.14 The estimation precision of parameters under different SNRs

为了说明自适应阈值设定的有效性，图15给出在不同信噪比条件下，各次分解后剩余能量及阈值相对于初始总能量比值曲线。从图15中可以看出，由于采用了自适应的阈值设定，使得阈值曲线随着输入信噪比的变化而变化。然而，选择不同的δ 值时，其阈值变化曲线也不同。

当信噪比较小时，由于噪声能量占观测混合信号能量的比重较大，使得各次分解后的能量曲线相距较近，此时信噪比估计误差对阈值的影响较大，即使δ 取不同值，都容易出现阈值曲线不在最后两次分解后剩余能量曲线的中间，导致分解不完全或分解不停止的情况。同样能够从图15中看出，由于阈值曲线随δ 的变小而下移，为了在信噪比较低时保证分解的成功，通常取较大的δ 值(如图中的δ =0.20)，那么就容易无法分解出混合信号中能量较小的分量。

而当信噪比不至于过低时(＞0 dB)，由于噪声信号能量所占的比重减小，使得各次分解后剩余能量的曲线相距较远，那么δ 值的选择范围较大，此时就不容易出现分解不完全或分解不停止的情况，可以取较小的值(如图中的δ=0.05)使得容易分解出混合信号中能量较小的分量。

综上所述，对于绝大多数非极端情况下(信噪比不至于过低，各分量信号能量不至于太小)的混合信号，用本文方法进行信号分离和参数估计，能够保证分解的成功和参数估计的较高精确度。

图15 不同信噪比条件下的阈值曲线Fig.15 The curves of threshold values under different SNRs

为了衡量不同信噪比下的本文方法的效果，图16给出了不同信噪比条件下，对于300 组不同的参数，最后能够将各分量信号全部分离出并最后停止分解的成功率，可以发现:当信噪比大于0 dB 时，成功率大于50%;当信噪比大于3 dB 时，成功率大于90%. 可以认为该方法即使是在处理信噪比较低的情况时，也能达到较好的效果。

图16 不同信噪比条件下的成功率Fig.16 The success rate under different SNRs

5 结论

本文提出一种噪声条件下多分量PRBC-LFM信号的分离和参数估计方法，该方法通过平方计算消除伪码影响，能够利用PRBC-LFM 信号的周期性通过周期积累减小干扰，而后利用搜索和内积计算进行参数估计，最后利用伪随机码序列为实信号的特点，估计出伪码。本文还利用自相关矩阵特征值分解估计混合信号的信噪比，从而自适应地确定停止分解的阈值。仿真结果表明，本文方法能够对信噪比做到较好的估计，从而得到合适的阈值，且在不同信噪比条件下，对各参数的估计都能达到较好的精度，也能够估计出伪随机码序列，很好地完成信号分离和参数提取。

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