SIRS传染病模型的全局稳定及最优控制分析

2014-03-27 05:28张素霞胡钢

西安理工大学学报 2014年3期

张素霞, 胡钢

(西安理工大学理学院，陕西西安 710054)

1 基本模型

当前，随着全球一体化格局的逐渐形成，人类共同面临着许多已有及新发传染病长期而严峻的威胁，对传染病发病机理、传染规律和防治策略研究的重要性日益突出，同时也成为我国疾病控制工作面临的新的问题和挑战。目前对传染病控制问题研究的重要性日益突出，而对一些具体实施的预防控制策略的效果分析是复杂而困难的工作。通过建立恰当数学模型我们能够为疾病防治决策提供理论基础和数量依据，更有利于疾病控制策略的研究。在很多实际问题中，非线性系统的控制问题都显示了重要性及复杂性的特点，从而使其成为了控制问题的重点和难点之一。目前在工程、经济、医学和生物等很多领域，最优控制理论被广泛利用并发挥了重要的作用，而在对传染病动力学的研究过程中，将最优控制问题作为传染病数学模型的一个重要研究内容也已出现[1-4]，本研究将利用理论分析和数值模拟研究一类传染病模型的动力学性态，并考虑控制疾病传播的一些措施和效果。

2 模型建立

基于流行病仓室建模的思想,笔者将整个人口N(t)划分为3个仓室：易感者(S(t))、染病者(I(t))和恢复者(R(t))，其中t为时间。根据疾病感染进程，一个易感者通过与染病者的有效接触而被感染，从而转移至染病者仓室，由于宿主体内免疫系统的作用，一些染病者会自动清除病毒而痊愈，从而进入到恢复者类。另外，在感染期若一些机体由于免疫失败不能主动清除病毒则将导致疾病的进一步发展，最终可能引起死亡。同时，在清除病毒后恢复者会有短期的抗体免疫，但经过一段时间后免疫消失，恢复者又重新回到易感者类。为了控制疾病的传播和流行笔者考虑两类措施：① 利用自我防护、媒体宣传和限制外出等手段以减少易感者被传染的概率；② 除染病者的自愈外，加强对他们的主动治疗，从而提高感染者的恢复比例。在这些假设的基础上建立模型为：

3 稳定性分析

首先分析无控制措施时模型的稳定性态，即u1(t)=0,u2(t)=0。

1)无病平衡点E0=(S0,I0,R0)；

2)地方病平衡点E*=(S*,I*,R*)

式中:

其中：

定理1当R0<1时，地方病平衡点不存在；当R0>1时，地方病平衡点存在且唯一。

证明为了方便，令:

k=μ+α+ξ

则:

I*=λ*/k

于是:

因为λ*非零，且:

由上式得：

(1)

令:

利用Hurwitz判据、Lyapunov函数及Lasalle不变集原理，笔者讨论两个平衡点的全局稳定性。

定理2当R0<1时，无病平衡点E0全局渐近稳定。

证明模型(Ⅰ)在E0处的雅可比矩阵为：

于是当t→∞时，有：

这里t0为初始时刻，因此当R0<1时E0全局渐近稳定。

定理3当R0>1时，地方病平衡点全局渐近稳定。

证明首先，令：

模型在E*处的特征方程为：

x3+a1x2+a2x+a3=0

其中：

a1=2μ+δ+βI*Φ(N*)>0

a2=μβI*Φ(N*)+(α+ξ)A+

(μ+ξ)(μ+βI*Φ(N*))-Cξ>0

a3=βI*Φ(N*)μ(μ+δ)+ξμA+

αA(μ+δ)-Cμξ>0

经过计算，有：

a1a2-a3=

[(2μ+δ)2-μ(μ+δ)]βI*Φ(N*)-

Cξ[1+βI*Φ(N*)-μ] +

[(2μ+δ)(α+ξ)-ξμ-α(μ+δ)]A+

(2μ+δ)(βI*Φ(N*))2+

(α+ξ)AβI*Φ(N*)>0

由Hurwitz判据知，E0局部渐近稳定。

令：

则T(N)(N-N*)≥0。选取Lyapunov函数，为：

沿模型(Ⅰ)的解对V(N,I,R)求导,得：

同时，V′=0当且仅当N=N*，I=I*，R=R*，由Lasalle不变集原理知E*全局稳定。

4 最优控制分析

由于疾病的传播和蔓延对人们的生活和健康造成的危害甚大，因此笔者将利用庞特里亚金极大值原理来考虑治疗和控制疾病传播的一些措施并给出理论分析和数值模拟[7-8]。当模型(Ⅰ)中的控制函数u1(t)和u2(t)随时间变化时，人们自然希望通过采取措施取得对疾病最优控制效果，一定时间段内人群中染病者人数能降到较低水平，同时从经济成本考虑，采取防治控制措施时所投入的费用不能太高，从而笔者可以定义目标函数为：

(2)

式中，t1表示控制开始的时间，t2表示控制结束的时间。

通常情况下，可以认为采取措施时的经济投入与控制措施函数u1(t)及u2(t)之间有某种非线性关系，这里假设前者是后者的二次函数，B1和B2分别表示为降低疾病传染概率和采取治疗措施提高恢复率时所投入控制成本的权重系数。

其中:

Ω={(u1,u2)∈L1(t1,t2)|0≤ui≤1,i=1,2}

接下来对模型(Ⅰ)在时间区间[t1,t2]内的控制最优解ui(i=1,2)进行分析。先定义目标函数(2)的拉格朗日函数L(S,I,R)为：

同时，为了分析该控制问题，记H为哈密尔顿函数，其形式为：

这里fi和λi为时间t的函数，分别表示模型(Ⅰ)的右端表达式和系统的伴随变量，同时伴随变量与哈密尔顿函数满足关系，为：

解得：

根据实际情况下对控制函数的限制，即:

0≤ui≤1i=1,2

(3)

(4)

为了进一步了解控制函数对疾病流行和传播的抑制效果，在图1～3中笔者利用数值结果显示了不同情况下控制措施的具体含义及实际执行情况，并且按照这些最优防治措施执行控制方案时，能够将人群中染病者的人数控制到最少，同时对降低疾病传染率和通过治疗提高恢复率所进行的经济投入也最低，达到了通过采取防治措施对人群中疾病的传播和流行进行最优管理和控制的目的，于是得到结论(定理4)。

当不采取控制措施时,由定理3可知在R0>1时疾病将持续流行，并且地方病平衡点全局渐近稳定，即从初始流行状态开始，疾病最终将会稳定于地方病平衡点，从而形成地方病。当采取治疗和控制措施后，可以看到疾病会逐渐得到控制，直至最终绝灭，这说明降低传染率及通过治疗提高恢复率等联合措施在控制疾病传播过程中具有重要的作用和影响。

图1 R0=1.4553>1且两种措施同时实施时控制函数随时间变化图像及其对疾病流行的影响效果

图2 R0=1.4553>1且只采取措施降低疾病传染率时最优控制图像及其作用效果

图3 R0=1.4553>1且只采取措施提高恢复率时最优控制图像及其对疾病流行的抑制效果

在图1、图2和图3中，权重系数B1、B2的取值相同，表明两种措施的成本一样，当改变权重系数时，进一步模拟结果发现两者的取值对最优控制措施的实施方式影响不大。

5 结语

当前，对疾病的预防和控制是传染病防治工作的重要内容之一，而对控制管理的效果进行分析和评价是公共卫生部门制定相关控制策略的重要参考和依据，其研究重要性随着一些新发传染病的出现和流行而日益突出。利用数学模型对疾病的发生、发展、流行和控制等过程进行理论分析和数值模拟是研究传染病问题的一种重要手段和方法，有利于疾病发展趋势的预测和最优控制策略的研究，本研究利用仓室模型建模方法，通过建立一个SIRS模型来分析降低疾病传染率和通过治疗提高恢复率两种控制措施对疾病流行所起的影响和作用，讨论了最优控制理论在流行病仓室数学模型中的应用问题，并对疾病流行时对易感者和染病者进行管理和控制的措施进行了分析和讨论，本研究的结果丰富了流行病动力学的研究工作，并为疾病控制工作提供了一定的理论指导和建议。

参考文献：

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