《分数的基本性质》的认知过程及思维方式分析

慎立美

(南京市扬子第三小学，江苏南京，210048)

“分数的基本性质”是小学阶段有关分数知识的一个非常重要的内容。这部分内容以分数的意义为基础，是学生学习约分、通分和异分母分数加减法及其他分数知识的重要前提。了解学生学习“分数的基本性质”的认知过程及思维方式，才能合理地进行教学设计，提高教与学的效果。以下是学生对该内容的三个认知阶段。

一、感知和体会“分子、分母都各不相同的分数的大小可以相等”

学生在学习“分数的认识”的过程中，对分数的大小已经有了一些感性理解和简单归纳，对“大小相等的分数”有初步的感知，但是还没有形成清晰的认识。学习“分数的基本性质”，首先要进一步感知和体会“分子、分母都各不相同的分数，大小可以相等”。

这一目标可以通过学生充分的体验感知达成。苏教版教材首先引导学生发现一些分数的分子分母并不相同但大小却相等的现象，让学生形成“大小相等的分数”的直观表象；接着引导学生利用折纸操作，找出几个和1/2大小相等的分数，以亲历体验的方式使学生对“分数等价类”思想获得初步的感知。分数等价类中每一个表示，各有各的用处，都有特定的价值。分数的这个特点，既有学习难度，又有思想高度，是一个重要的数学思想方法[1]。这一思想方法需要在教学中进行渗透，以有利于它将来的发展。

首先，观察能力的高低影响学生的水平。例如：学生发现分子分母并不相同但大小却相等的分数的现象，不仅要注意到分数的大小相等，而且要注意到这些分数的分子分母并不相同，它们是不同的分数。教师要引导学生在形成整体印象的基础上细致地观察局部，通过比较来了解事物之间的联系。

如学生在寻找和1/2大小相等的分数的过程中，不仅仅着眼于如何找到分数，还应该引导学生注意在折纸的过程中正方形的涂色部分分数所发生的变化，为抽象和验证分数的基本性质建立直观的表象基础。

其次，学生亲历操作活动所获得的经验有利于思维活动的顺利进行。例如：通过涂色来表示1/2这个操作步骤意义重大，学生在涂色的过程中，深化了分数与面积的对应关系，对所涂色区域形成强烈的认同感和很高的关注度，从而给学生留下深刻的印象。如果教师为了节约时间，提供事先已经涂好色的正方形纸片给学生，那是达不到上述效果的。

如折纸的操作让学生在动手的过程中眼、手、脑都积极地参与到活动中来，使学生为将来形成“分数等价类”的思想做准备。

二、发现和归纳“分数的分子和分母怎样变化，分数的大小不变”

通过第一阶段的观察和操作，学生发现等式中分子分母变化的规律是比较容易的，主要问题是语言表述的全面、准确与精炼。教师应该引导学生依据细致的观察分析进行归纳，通过分享交流、比较反思得出明确的结论。

这个阶段的教学以引导学生进行归纳推理，发展学生的抽象思维能力为主。

归纳推理是合情推理的一种，合情推理凭借的是经验和直觉。在这里，仅仅依靠学生的行为操作活动经验进行归纳推理是不够的，还要依靠学生的思维操作活动经验。因此，教材让学生脱离具体的图形，直接观察和分析等式中分数的分子分母的变化情况。教师不能急于求成，应该让学生具体说一说每个等式的变化情况，并将变化过程清晰地呈现出来，在此基础上让学生归纳，较为完整地经历归纳推理的思维过程。

发现学习策略可能掌握许多重要的技巧，但是发现并不意味着掌握。[2]在归纳推理的过程结束之后，教材要求学生根据分数的基本性质，写出一组相等的分数，这是“发现”后及时“掌握”所必需的环节，不能忽略。教师可以结合第一阶段学生看到的和找到的两组分数，让学生再说一说其他和1/3或1/2相等的分数。这一方面达成了及时掌握的目标，同时让学生清晰地感受到每组中大小相等的分数的个数是无限的，进一步渗透“分数等价类”的思想。

三、验证和解释 “为什么分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变”

传统的数学教学缺少两样东西：通过条件预测结果能力的培养和依据结论探究成因能力的培养。学生缺少这两项能力，就无法完成一次真正的创造过程，也不利于创新型人才的成长[3]。通过上述两个阶段的学习，学生看到了现象，也归纳出了规律，学生的思维经历了从直观到抽象的过程，通过条件预测结果的能力也得到了提高。但是学生对规律内在成因的感知比较模糊，应该让抽象的结论再回到直观的经验中，并与过去的知识建立联系，帮助学生进一步理解规律，培养学生依据结论探究成因的能力。

这个阶段的教学以指导学生分别运用“转化”和“数形结合”的思想方法进行验证和解释，以渗透数学思想方法为主。

通过归纳推理得出分数大小不变的规律只能算是一种猜想，需要通过验证才能真正称为分数的基本性质。小学数学教学可以通过举例加以验证，但这并不是科学的验证方法，充其量就是概念、定理外延的扩展罢了，当然，举反例另当别论。鉴于小学生认知水平发展的阶段性，教材试图引导学生利用分数与除法内在的密切联系，将分数的基本性质转化为商不变的规律，用已有的知识来验证新知，这是一个非常合理的选择。实际教学时应该引导学生较为完整地经历转化的过程，不能一带而过。

教材中练习十一的第一题让学生在同一幅方格图中寻找表示相同涂色部分的不同分数，教师可以利用这道题帮助学生通过“数形结合”来解释分数的基本性质。当学生提到1/2=4/8时，脑海中既有两个对应的图形，也有分子分母同乘4的算式。但是由于整数认知对分数的干扰，学生会产生疑问：一个分子是1，一个分子是4，它们的大小怎么会相等呢？教师可以利用学生折纸时对1/2形成的深刻印象，将分子分母同乘4的过程通过课件在正方形中画出来。通过画图让学生直观地认识到将正方形从平均分成2份变成平均分成8份，就是将其中的每一份都平均分成4份，4/8所表示的“4份”就是原来1/2所表示的“1份”，所以1/2=4/8。

综上所述，学生学习“分数的基本性质”经历了感知和体会、发现和归纳、验证和解释的认知过程，学生的思维活动由直观到抽象，再回到直观。教材的编写遵循这样的认知与思维过程，教师教学时应该充分利用教材，根据学生的认知过程和思维方式精心设计教学，切实提高教学的效果。

[1] 张奠宙，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 〔美〕戴蒙(Damon，W)，〔美〕勒纳(Lerner，R.M).儿童心理学手册：第二卷上[M].林崇德，李其维，董奇，等，译.第六版.上海：华东师范大学出版社，2009.

[3] 王瑾，史宁中，等.中小学数学中的归纳推理：教育价值、教材设计与教学实施——数学教育热点问题系列访谈之六[M].北京：人民教育出版社，2011.