分层感知原点 渐进了解负数

王天予

(南京师范大学泰州学院，江苏南京，22530)

负数概念的确立要符合两个基本要素：原点和基准方向。只有具备这两个要素，才能够真正形成负数的概念。从负数的起源来看，我们有理由相信负数是中国人发明的，因为中国人很早就提出“入仓为正，出仓为负”的说法，并发明了和负数有关的加减计算法则。但是“负数”这一概念却迟迟不能被西方数学家接受，原因是此时的负数只符合其中的一个要素：基准方向，对原点还没有明确的说明。我国古代的正和负是用来表示具体情境中数量增减变化(相反意义的量)的情况的，而生活中不会出现有3吨货物却运走了4吨，有50个铜钱却付出了80个这样的情形。西方数学家认为负数是荒谬的，因为所有用负数解决的实际问题都可以在自然数的范畴内解决。直到西方数学家在方程中得到负根(一个比“无/零”更小的数——笛卡尔)，此时原点出现了，负数的概念才慢慢被接受，随着19世纪整数理论基础的建立，负数在逻辑上的合理性才真正建立起来。

小学数学教学中“认识负数”的教学目标应该是什么呢？2011年版的《义务教育数学课程标准》明确规定：“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。”[1]这就意味着“在学习负数的过程中，学生更多的是经历‘具体情境中的数→解释数的意义’这样的过程，这一过程的重点是帮助学生认识负数和正数表示相反的意义”[2]。这是否意味着小学生对负数的认识只要达到我国古代的“入仓为正，出仓为负”的水平就可以了呢？近代数学家发现：“作为数学的基础的数的系统理论，必须要有一个坚实的逻辑基础。”[3]小学生学习负数，是在经历从自然数向整数系扩展的过程，这个过程是一个科学而严谨的过程，应该紧紧围绕负数的两个要素进行。

负数是一个比较抽象的概念，小学生必须在具体的生活情境中真正了解负数的意义。情境的选择不仅要符合学生已有的生活经验，而且要有助于学生认识负数在其中的具体存在形式，帮助学生较好地了解负数的意义。在实际生活中，学生很容易将数量增加确定为基准方向，但是对原点的认识却极其模糊。教学中应该将原点的认识作为重难点，合理选择生活情境，引导学生分层感知原点的各种形态，逐渐加深对负数意义的了解。

一、感知实际为“0”的原点，直观了解“负数小于0”的含义

自然界中有一些人们熟知的分界点，如结冰的温度、海平面、地面等。这些分界点很自然地将某一类数量分成两部分，一部分由分界点向上递增，另一部分由分界点向下递减。这类分界点非常符合原点的特征，并且是静态的，可直接用“0”来表示。我们可以把这类分界点看作基础水平的原点，与这些分界点相关联的自然现象和事物是学生比较熟悉或易于理解的，其中蕴含的原点和基准方向是清晰可辨的，因此，从此类情境开始负数的学习是非常合适的。

学生很熟悉气温的变化，可借此创设生活情境，将温度计作为最佳的学习素材。小学生知道水结成冰的温度是0℃，并且知道有高于0℃的温度，也有低于0℃的温度，他们能够很自然地区分两种温度，并确定温度的分界点。当学生了解到两种温度可以分别用正数和负数来表示，经历了在温度计上寻找某些具体温度的位置的过程后，就能想象处在这些具体温度下的感受，再结合后面关于海拔高度的学习，就能明白“正数比0大，离0越远就越大；负数比0小，离0越远就越小；0是正数与负数的分界点，它既不是正数，也不是负数”。

二、感知实际“非0”的原点，具体了解“相反意义的量”的含义

现实生活中用正负数来表示数量，原点常常是人为规定的，如盈亏中的成本、生产实践中的计划产量、达标测试中的标准等。此类原点有些复杂，尽管它们也是静态的，但是其本身的数量往往不是0。此类原点被作为标准与实际数量进行比较，实际数量超出标准的部分用正数来表示，低于标准的部分用负数来表示，与标准相等时用“0”来表示。但是，实际数量本身通常是大于0的，学生在通过此类情境学习正负数在生活中的应用时，如果不能感知到原点的存在，可能会对负数大小的认识产生困惑。

苏教版教材在举出“温度计”和“海拔高度”的例子之后，选择“盈亏问题”作为例题的情境，把“会用正负数表示生活中相反意义的量”作为教学的重点，这样的安排是非常合理的。前面的“温度计”和“海拔高度”的教学，已经帮助学生初步建立了“正数和负数表示相反意义的量”的形象直观的模型，通过指导学生用正负数来表示生活实际中具有相反意义的量，帮助他们了解“相反意义的量”的含义。

“盈”和“亏”本身就是一组反义词，如果学生知道盈数用正数来表示，自然会想到亏数用负数来表示，学生在这一点上应该不会出现学习困难。如果教学只停留在这个层面，就会让学生对负数的意义产生困惑：尽管3月份亏损了，可是总不会没有一点收入吧，收入的钱数还是大于0啊，为什么要用负数来表示呢？不是说负数小于0吗？解决这样的问题就需要学生对原点有所感知。教师不妨在《盈亏情况统计表》中增加一个“0”，让学生去思考这个“0”表示什么意思，从而将“成本”这个隐含的数量揭示出来，使学生明白正数表示的是收入比成本多出的部分，负数表示的是收入比成本少的部分，盈数与亏数在以成本为标准时，它们的意义是相反的，所以可以分别用正数和负数来表示。这样才能使学生对负数意义的认识保持前后一致，才能使学生真正了解“相反意义的量”的含义。

在随后进行的“行程问题”的教学中，可以进一步引导学生认识“+2100米”和“-2100米”虽然方向相反，但是所表示的实际长度是一样的。这样可帮助学生形成关于“绝对值”的形象直观的朴素理解。

三、感知抽象的原点，初步了解整数系的结构

学生在前面几个环节的学习过程中，感知到的原点都是一些具体的形态，对负数的认识都是基于生活中对负数常见的描述。此时的学生嘴上说着某个负数，心中常常对应着某个具体的数量，但还没有真正将负数从具体数量中抽象出来，对于正数、负数和0在整数系中的位置还没有非常清晰的认识。这时需要教师借助数轴，引导学生将数量抽象为数，从而初步了解整数系的结构。

将生活情境中的图形抽象为数轴，最好的素材莫过于“行程问题”了。行程问题中的各个元素与数轴中元素能够完美对应：行走的道路对应轴线，起点对应数轴上的原点“0”，目的地的方向对应数轴的方向，所行的路程对应数轴上的数。教学中可以在明确基准方向的基础上，引导学生想象两个人朝相反方向行走的情况，在两个人走过的道路上依次标出“+1米”“+2米”和“-1米”“-2米”等数量，随后将数量后面的单位名称隐去，用箭头表示出方向，突出将起点抽象为“0”的过程，这样一来，将起点初步抽象为原点的任务就完成了。然而，关于负数的教学仅仅做到这一步还是不够的，教师还需要将前面学习过的“温度计”和“海拔高度”的例题用课件演示的方式归纳到同一个数轴中来，让学

生经历将不同类型的数量抽象为数的过程。整个抽象过程都要关注将各个原点的具体形态抽象为“0”的过程，突出“0”在数轴中的分界作用。

在随后的教学中，教师可以引导学生借助数轴直观了解整数系的结构，回顾有关负数的认识，将学生对负数意义的认识从基于具体数量的了解初步抽象为基于数的了解。“在学习自然数的基础上学习负数(负整数)，是数域的一次重要扩展，学生对数的认识将从自然数集扩展到整数集。”[1]因此，借助数轴认识正数和负数，只要出现整数即可，如果学生提出负分数或负小数，可以明确肯定它们也是负数，无需在数轴上表示出来。

在上述三个层次的教学中，每个层次所选择的生活情境都涉及负数意义的多个方面，我们要做的是根据学生认知的特点和各个情境突出的特点，合理安排生活情境出现的顺序，在不同层次突出不同的重点，引导学生在整体与局部、直观与抽象的循环认知过程中不断深化对负数意义的了解，为学生将来的学习打下良好的基础。

[1] 教育部.义务教育数学课程标准[M].2011版.北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 王林，李继海.小学数学备课手册[M].南京：江苏教育出版社，2006.

[3] 张奠宙，孔凡哲，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.