利用长方体直观理解平面及其投影特性

◆李立新 刘加孝

作者：李立新，湖南潇湘技师学院及湖南九嶷职业技术学院讲师，研究方向为机械设计制造；刘加孝，湖南潇湘技师学院及湖南九嶷职业技术学院（425000）。

1 问题提出

在机械制图教学中，由于对理论不熟悉，如果没有直观的实物或图像，中职、高职学生很难理解投影面平行面、投影面垂直面及一般位置平面的概念，不能判断平面的类型，从而混淆它们的投影性质。如何才能使学生深入理解机械制图各种平面投影特性？能否通过熟悉的实物或图像来联系平面的投影，达到直观理解平面及其投影特性的目的？这些问题成了教师帮助学生解决平面投影难题的关键。

虽然平面是构成物体比较基本的元素，但它与实物形象相差很远。对于职校学生，特别是没学过立体几何的中等职业技术学校学生，难以将平面与物体的形象直接建立联系。如果将平面放在基本几何体上，由点和直线构成的平面就显得很直观，再分析平面的投影特性，学生就比较易于理解和接受。长方体是学生熟悉的形体，许多教材在点的三视图中使用它来帮助形成点的空间概念，效果很好。在长方体及其切割体上分析平面及其投影特性，显得直观而浅显易懂。

2 在长方体上建立坐标系

为了更好地说明，首先在长方体上建立如图1所示三投影面体系。即以长方体ABCDEFGH的右下后角点为坐标原点，它的后面为V面（正平面），右面为W面（侧平面），下面为H面（水平面）。这样可以充分利用长方体垂直于坐标平面的棱线，简单地形成平面的投影。如平面1234，点3、4在垂直于正投影面的长方体棱线GH、BC上，它们的正面投影正好在棱线GH、BC与正投影面的交点H、C上；点1、2在正投影面上，它们的正面投影就与本身重合。所以平面1234的正面投影为12HC，这从图1中可以明显看出。

3 直观理解平面及其投影特性

投影面平行面 平行于某一投影面的平面称为投影面平行面，它分为正平面、水平面和侧平面。平行于V面的平面称为正平面，图1中长方体的前面ABGF和后面DCEH为正平面；平行于H面的平面称为水平面，图1中长方体的上面ABCD和下面EFGH为水平面；平行于W面的平面称为侧平面，图1中长方体的左面AFED和右面BGHC为侧平面。如果建立以前墙、右墙和地面为坐标面的直角坐标系，正平面像教室里前面垂直下落的投影幕布，侧平面像教室里左右侧垂直下落的窗帘，水平面像教室里的桌面。

显而易见，ABGF面的V面投影为DCEH，反映实形；W面投影为直线BG，H面投影为FG，它们积聚成一条直线段（简称直线，以下同）。同理，正平面DCEH，水平面ABCD、EFGH，侧平面AFED、BGHC都具有同正平面ABGF类似的投影性质。即投影面平行面在所平行的投影面上反映实形，在其他两个投影面上积聚为平行于相应投影轴的直线。

投影面平行面的判断，可以联系图1所示带坐标系的长方体进行。判断一个平面是否为正平面，可以将一个类似图1坐标系中长方体的ABGF面向前拉伸到该平面，它们重合，则该平面是正平面，否则不是。用类似的办法判断一个平面是否水平面或侧平面。

投影面垂直面 垂直于一个投影面，与另两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面，它分为正垂面、铅垂面和侧垂面。投影面平行面可以看成是投影面垂直面的特殊形式。垂直于H面的平面称为铅垂面，垂直于V面的平面称为正垂面，垂直于W面的平面称为侧垂面。如果建立以前墙、右墙和地面为坐标面的直角坐标系，教室前墙上窗户翻转所构成的面是侧垂面；教室右侧墙上窗户翻转所构成的面是正垂面；教室门转动所构成的面是铅垂面。

图1中长方体中的面1234为铅垂面，它的水平投影积聚为直线23，正面投影为类似形12HC，侧面投影为类似形43HC。类似的，图2中长方体中的面5678为正垂面，它的正面投影积聚为直线78，侧面投影为类似形76GH，水平投影为类似形85GH；图3中长方体中的面9-10-11-12为侧垂面，它的侧面投影积聚为直线11-12，正面投影为类似形10-11-H-E，水平投影为类似形9-12-H-E。

显而易见，投影面垂直面在所垂直的投影面上的投影积聚为斜直线；在其他两个投影面上的投影为类似形。

可以用书等硬板利用桌子建立三维直角坐标系，两块硬板下部分分别紧贴在桌子前面、右面，使硬板上部分伸出桌面，它们和桌面构成三维直角坐标系。用长方体（如文具盒等）紧贴在桌面上，移动并转动长方体，则能与长方体的侧面重合的平面为铅垂面。用类似的办法判断一个平面是否正垂面或侧垂面。

一般位置平面 对每一个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，图4中长方体的13-14-15平面为一般位置平面，它的正面投影为类似形13-H-14，水平投影为类似形13-15-H，侧面投影为类似形15-14-H。显然，一般位置平面在每个相应投影面上的投影都是缩小了的类似形。

判断一个平面是否为一般位置平面，首先看它是否投影面平行面或投影面垂直面，如果都不是，则它是一般位置平面。

4 结束语

本文利用平面与长方体的联系，使投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面等的概念和性质一目了然，从而可以直观理解平面及其投影特性。■

[1]杨老记,马英.机械制图[M].2版.北京:机械工业出版社,2006.

[2]李景龙.新编机械制图[M].西安:西北工业大学出版社,2010.

[3]严胜利,刘胜杰,乔治安.机械制图[M].西安:西北工业大学出版社,2010.