悬臂梁质量摆杆结构一阶模态减振控制分析

陈娟娟 刘 杰

（三峡大学 土木与建筑学院，湖北 宜昌 443002）

利用质量摆（使用绳索悬挂小球）减小竖直悬臂梁结构或者竖直多质点结构（均是模拟高层建筑结构或者输电塔结构）的振动的应用非常广泛［1－9］.随着水平外荷载作用的增加，高层建筑会产生较大的水平振动，于是将高层建筑看作竖直悬臂梁结构来考虑会更加合理［6－7］.但是外荷载越大，质量摆的振动也会越大，过大的外荷载可能会使得悬挂小球的绳索不再处于拉伸的状态，即小球本身在振动过程中失去了稳定性，文献［7］中的悬臂梁质量摆结构进行二阶模态振动时悬挂小球的绳索出现了收缩的状态，质量摆的振动不再能减小悬臂梁的二阶模态的振动了，质量摆结构也因此失去了意义.

如若将小球和悬臂梁之间用摆杆连接，由于摆杆属于刚体，因此即使外荷载再大，小球振动再剧烈，小球会一直保持以摆杆的长度为摆长的振动，从而达到减振的作用，另一方面，因摆杆本身的质量不可忽略，故摆杆和小球可以共同起到减振的作用.

1 动力学建模

设梁高为H，横截面面积为A，单位质量密度为ρ（即单位体积的质量），抗弯刚度为EI，质量摆杆结构中的小球质量为m1，小球与支架用均质摆杆连接，摆长为l，摆杆质量m2，支架质量为m3，摆杆与竖直面的摆角为θ（t）.根据悬臂梁的边界条件，梁的中线不考虑伸长，即梁无轴向变形而只有横向变形.如图1所示，假设梁最初沿着x轴，随后在x－y平面内振动，沿着梁中线的曲线坐标为s，于是振动时梁的坐标表示为（x（s，t），y（s，t））（后面将梁的轴向坐标和横向坐标分别简写为x和y，摆杆的摆角简写为θ），支架位置在距离梁底面L处（0＜L≤H）［6］.

基本假设为：1）梁的截面尺寸远远小于其高度；2）系统在x－y平面内运动；3）忽略梁的转动惯量和剪切变形的影响；4）忽略梁的阻力的影响［6］.

建模方法运用能量方法哈密顿原理［7］，表述为

式中，T为系统的总动能；V为系统的总势能，包括了应变能与保守外力的势能；Wnc为非保守力所做功，包括了阻尼力和没有计算在V中的外力；δ（）表示括号中参量的第一变分，即虚变化；t1和t2为已知系统相对位置变化的时间.

图1 悬臂梁悬挂小球和摆杆减振结构的力学模型

1.1 系统动能

按二维平面状态表示，梁的动能［6］为

小球的运动速度由梁转动和自身转动的牵连复合组成［6］，其动能为

同理，均质摆杆的动能为

支架和竖直悬臂梁固定在一起，其动能为

注：′表示对曲线坐标s的导数，·表示对时间t的导数，并也用于以下各式.

1.2 系统势能

梁的弯曲应变能［6］为

式中，κ为梁的弯曲曲率.

令梁底面的重力势能为零势能位置，则梁的重力势能［6］为

小球的重力势能［6］为

均质摆杆的重力势能为

支架的重力势能为

1.3 结构非保守力功

整个结构的非保守力只考虑悬臂梁材料应变的粘滞阻尼力σD，阻尼力所作的功［7］为

1.4 动力学连续方程

结构的边界条件［6］为

分别对方程（2）～（11）取变分，并在区间（t1，t2）上对t积分，并代入边界条件（12）式，采用文献［6］中的方法经整理得悬臂梁质量摆杆结构的动力学连续方程为

为了能运用一端固支另一端自由的悬臂梁的振型函数，将边界条件齐次化［6］.设

则边界条件（12）变为

满足条件.另外，初始条件变为

将式（15）代入到方程（13）和（14）中，则边界条件齐次化后的系统运动微分方程为

式中的△（s）代表 Dirac函数［10］.

1.5 离散化方程

采用Galerkin方法对方程（18）、（19）进行离散化（具体过程参见文献6），可得系统如下的离散化动力学方程：

式中：

2 一阶模态减振控制参数分析

选取文献［4］中的悬臂梁模型，其几何参数见表1及表2.小球质量m1和摆杆质量m2为分析参数.

表1 悬臂梁的几何参数

表2 支架和动位移的参数

截取一阶模态（i＝j＝1），并令L＝H，同时将表1和表2中的数据代入方程（20）和（21）中，经计算并整理得到如下方程：

2.1 m1＝m2＝0的情况

此种情况即是悬臂梁上不悬挂小球和摆杆结构，只是悬臂梁自身作一阶模态振动，此时悬臂梁的运动方程为

动力学仿真结果如图2所示.

图2 无小球和质量摆杆时悬臂梁顶点加速度和位移变化曲线

由此可见，悬臂梁作一阶模态振动时，顶点会产生较大速度的振动，且水平振动位移很明显，加速度的峰值为2.4m／s2，顶点水平位移的峰值为12mm.

2.2 m1＝m2的情况

分别取m1＝m2＝5g，20g，50g带入方程（22）和（23）中，经mathematic软件分析得到梁顶点的加速度和水平位移变化曲线，如图3～5所示.比较图2和图3～5的结果，当竖直悬臂梁上悬挂小球和摆杆结构后悬臂梁的振动明显减小了，无论是振动加速度还是振动位移均降低了一个数量级，振动位移大小为1～2mm，基本看不到振动现象了，由此说明悬挂小球和摆杆结构也能起到良好的减振效果.另外，还可发现，小球和摆杆的质量越大减振效果越好.

图3 小球和质量摆杆的质量均为5g时悬臂梁顶点加速度和水平位移变化曲线

图4 小球质量为20g和质量摆杆的质量为20g时悬臂梁顶点加速度和水平位移变化曲线

图5 小球质量为50g和质量摆杆的质量为50g时悬臂梁顶点加速度和位移变化曲线

2.3 m1＞m2的情况

分别取m1＝20g＞m2＝10g、m1＝50g＞m2＝10 g和m1＝50g＞m2＝30g带入方程（22）和（23）中，经mathematic软件分析得到梁顶点的加速度和位移变化曲线，如图6～8所示.比较图4和图6、图5和图7的结果，不难发现，当小球质量不变时减振效果基本不变.可见，起主要减振作用的是小球的质量大小.比较图7和图8的结果可见，当小球质量不变时，小质量摆杆比大质量摆杆的减振效果稍好.

图6 小球质量为20g和质量摆杆的质量为10g时悬臂梁顶点加速度和水平位移变化曲线

图7 小球质量为50g和质量摆杆的质量为10g时悬臂梁顶点加速度和水平位移变化曲线

图8 小球质量为50g和质量摆杆的质量为30g时悬臂梁顶点加速度和水平位移变化曲线

2.4 m1＜m2的情况

分别取m1＝10g＜m2＝20g、m1＝10g＜m2＝50 g和m1＝30g＜m2＝50g带入方程（22）和（23）中，经mathematic软件分析得到梁顶点的加速度和位移变化曲线，如图9～11所示.

比较图7和图9、图8和图10的结果发现，小球质量大于摆杆质量时的减振效果明显优于小球质量小于摆杆质量时的减振效果.比较图10和图11的结果，当摆杆质量相同时，小球质量越大减振效果越好，并且仍然可以得出，影响减振效果最主要的因素是小球的质量.

图9 小球质量为10g和质量摆杆的质量为20g时悬臂梁顶点加速度和水平位移变化曲线

图10 小球质量为10g和质量摆杆的质量为50g时悬臂梁顶点加速度和水平位移变化曲线

图11 小球质量为30g和质量摆杆的质量为50g时悬臂梁顶点加速度和水平位移变化曲线

3 结 论

采用Hamilton原理推导出了竖直悬臂梁上悬挂小球和摆杆减振结构的非线性动力学连续方程和离散化动力学模型，并通过数值仿真验证了该模型的有效性.并以小球质量和摆杆质量为分析参数分析了结构进行一阶模态振动时的减振效果，得出如下结论：1）当悬臂梁作一阶模态振动时，小球和摆杆质量越大，减振效果越明显，且起主要减振作用的是小球.2）要想获得一阶模态最佳的减振效果，必须使小球质量大于摆杆质量，且小球质量越大越好.3）在结构中，摆杆的作用主要是连接小球和悬臂梁，并保证小球可以一直以摆杆长度为摆长进行振动.

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