一种新的多重边复杂公交网络模型

安新磊，李引珍，马昌喜

(兰州交通大学 a.数理学院；b.交通运输学院,兰州730070)

一种新的多重边复杂公交网络模型

安新磊＊a,b，李引珍b，马昌喜b

(兰州交通大学 a.数理学院；b.交通运输学院,兰州730070)

在现有公交网络模型的基础上,建立了一种新的多重边公交线路网络模型.这种公交线路网络模型以公交线路为节点,公交线路间的若干个相同停靠站点为连边.同时根据网络拆分的思想，对具有相同站点的三条不同的公交线路,通过引入时滞,将四重边公交线路网络拆分为四个性质不同的子网络,进而以Chen系统为网络的节点,研究了四重边复杂公交网络的全局同步.改变公交车辆之间的控制强度和相同的站点个数,分析了公交车辆的人为调度和线路优化对公交线路网络平衡的影响.最后通过Matlab进行数值仿真，为城市公交网络的合理调度提供理论依据.

城市交通；多重边复杂网络;网络拆分;复杂网络同步;公交网络模型

1 引言

近年来,对复杂网络同步的研究已经成为非线性动力学中的一个热点问题.大量文献探讨了复杂网络同步的控制条件[1-4].在目前的研究中，对复杂网络的同步研究大多集中在单边网络中,而对具有多重边的复杂网络同步的研究工作还很少[5-7].而现实生活中,存在很多多重边复杂网络,例如交通网络,把每个城市看作一个节点,两城市间的交通线为边,两城市间可能存在多种交通方式,如公路、铁路、航空线等,这样的交通网就形成了一个多重边的复杂网络.这种具有多重边的交通网络的拓扑结构和节点动态特性会比单边网络更为复杂,因此更有利于研究交通问题的某些特征.文献[5-7]根据边的性质不同,将多重边复杂网络拆分为若干个性质不同的子网络,进而研究了拆分后的网络的同步控制和稳定性问题.

同时,复杂网络理论在公共交通中的应用越来越普遍[8-13].目前,复杂网络在对公交网络模型的应用研究大都是对网络的静态特征,如节点度分布、聚类系数、最短路径分布、介数分布等拓扑特性进行实证分析[11,12]，而鲜有文献对复杂公交网络的动态特征,如公交网络节点的增长、乘客流量的变化、公交车的人为调度等对整个网络的影响进行研究.

本文在已有的公交网络建模方法(space L、space P和space R方法)的基础上,采用新的建模方法(space ML方法)建立了一个新的复杂公交网络模型(公交线路多重边网络).根据网络拆分的思想，将多重边复杂公交网络模型拆分为多个性质不同的子网络，同时采用自适应控制方法,研究了多重边复杂公交网络的自适应同步问题.通过改变网络的耦合强度和边的重数，讨论了公交车辆之间的控制强度和相同的站点个数对上述模型同步能力的影响,从而为人们对公交车辆的人为调度和线路合理优化提供理论上的依据.本文提出的这种建模方法是在宏观上，从整个公交网络出发，理解城市交通网络演化的内在机理和运行规律.城市交通网络具有与其他复杂网络相似的一些特征，但又具有不同于其他复杂网络的显著特点，如自主性和选择性，同时人们又认识到，解决大城市问题，必须以路线和道路网络为对象进行全面分析，而常用的公交网络在解决某些问题上就显得有些欠缺，如公交网络上的交通流、级联失效、拥堵传播和公交调度等问题.

2 多重边复杂网络模型的同步理论

文献[5，6]通过引入时滞,运用网络拆分的思想将多重边融合复杂网络拆分成多个子网络,进而建立数学模型，研究了多重边复杂网络的局部和全局的自适应同步.例如N个相同节点4重边的复杂网络

式中 1≤i≤N ，xi=(xi1,xi2,…,xin)T∈Rn为节点 i的状态变量,x˙i为节点动力学方程，B∈Rn×n是一个常数矩阵，g:Ω×R+→Rn是一个平滑的非线性函数.H0,H1,H2,H3∈Rn×n为各个节点状态变量之间的 内 部 耦 合 函 数.耦 合 矩 阵Al=)N×N∈Rn×n(l=0,1,2,3)表示第l个子网络的拓扑结构,满足耗散耦合条件，其中的具体定义如下:若第l个子网络中的节点i和节点j(i≠j)之间有连边且连接数为 q(q≤4),则=q;若两点之间无连接,则==0(i≠j).这 里 矩 阵 Al的 对 角 元 定 义 为(i=1,2,3,4;l=0,1,2,3,4).τ,1τ2,τ3为拆分网络所需而引入的时滞.vi∈Rn是控制输入项,其目的是使式(1)达到同步,且满足

式中 s是系统节点方程x˙i=f(xi(t))的一个达到同步的解.

定义1令xi(t;t0,X0)(1≤i≤N)为式(1)的解, X0=,,…,),g:Ω×R+→Rn和(1≤i≤N)是连续可微的,其中[Ω⊆Rn].若存在一个非空子集,并且∈Λ(1≤i≤N),则对所有的t≥t0和1≤i≤N,xi(t;t0,X0)∈Ω都成立,且有

式中 s(t;t0,x0)是系统节点方程x˙i=f(xi(t))的一个达到同步的解,且.由此可知,式(1)所描述的系统就达到同步,并且被称为动态网络系统的同步域.

定义误差变量为

控制器vi的目标是引导控制式(1)趋于同步,即lim=0(1≤i≤N).由于s˙=f(s,t),令式(1)减去s˙=f(s,t)，则误差系统为

式中

对于线性耦合H0,H1,H2,H3,容易得到结论:存在一个非负常数 λij,γij,ψij,ηij(1≤i,j≤N),对于所有的1≤i≤N，满足

假设1假设存在一个非负的常数α满足,其中 J(t)是 g(s,t)的Jacobi矩阵.

引 理对 于 任 意 的 x,y∈Rn,μ＞0,有成立.

假设2假设存在一个非负的常量 μ满足

定理若假设1和假设2成立,选取控制器为

式中

式中 ki为正常数.那么式(1)的一个同步解s(t)在自适应控制器式(4)下达到全局渐近稳定.

证明 构造Lyapunov稳定性方程为

式中 β,μ,λij,γij,ψij和 ωij(1≤i,j≤N)是非负的常数,可以选取合适的dˆi(1≤i≤N)，使2Λ+Υ+Ψ+ W+diag(2β+2μ+2-2dˆ1,…,2β+2μ+2-2dˆN)为一个 负 定 矩 阵,当 t→∞ 时,误 差 变 量.于是式(1)所描述的复杂网络方程的一个同步解s(t)在自适应控制器式(4)和式(5)的条件下达到全局渐近稳定.证毕.

3 一种新的城市公交网络模型

3.1 新的城市公交网络模型的建立

城市公交网络由城市公交停靠站点和公交线路两个基本要素构成,城市公交线路把城市公交停靠站点连接起来,而城市公交线路由若干沿线公交停靠站点组成.从城市公交网络中的公交站点、公交线路和公交换乘的角度来看,可以构建三种城市公交网络模型：

（1）公交车站网络,采用space L建模方法,将交通站点视为节点,若两个站点是某一交通线路上相邻的,那么它们就有连边;

（2）公交换乘网络,采用space P建模方法,将交通站点视为节点,若两个站点有直达交通路线,那么它们就有连边;

（3）公交线路网络,采用space R建模方法,该网络以公交线路为节点,若两条公交线路有相同的停靠站点,则在两个节点之间连边.

本文在上述三种公交网络建模方法的基础上,采用新的建模方法(即space ML方法)建立一种新的复杂公交网络模型,称为公交线路多重边网络模型.这种建模方法以公交线路为节点,若两条公交线路之间有k个相同的停靠站点,则在两个节点之间有k条连边.以兰州市1路、15路、331路公交车为例，1路和15路有两个相同的站点,1路和33路有三个相同的站点，15路和33路有四个相同的站点,于是三条公交线路的拓扑结构图如图1所示.

图1 多重边融合复杂网络的拓扑结构图Fig.1 The topology map of complex dynamical networks with multi-links

3.2 新的多重边城市公交网络的拆分

对于图1所示的三节点多重边的城市公交网络模型，引入时滞，按边的不同将其拆分为四个不同的子网络.

令任两条公交线路间相同站点的第一个站点对应的边和三个节点组成的网络为零子网络,即τ0=0的网络.则第二、三、四个相同站点对应的边和三个节点组成的网络分别具有时滞τ1,τ2,τ3.其拆分示意图如图2所示.

图2 多重边复杂网络的拆分示意图Fig.2 The split of complex networks with multi-links

4 多重边城市公交网络的同步分析

高自友等在文献[13]中得到城市公交乘客流量满足非线性性质.通过对整个公交网络的研究分析，可得整个公交线路网络模型具有BA无标度网络的特性.假设这三条公交线路客流量变化量满足非线性Chen系统,即节点动力学方程为

对于图2所描述的公交线路网

因为可知假设2成立.根据定理1,控制器式(7)使式(1)的同步解s(t)达到全局渐近稳定.

5 数值仿真

本文研究的是城市公交路线之间的控制强度(人为调度)和公交线路的优化，即多重边复杂网络子网络的耦合强度ε和边的增减对公交网络模型同步效果的影响.城市公交网络系统的同步效应是指运营车辆和出行乘客达到一种动态平衡，即公交车辆的一次运营时间最接近于预先设定的时间（堵车时间最短），同时乘客在公交车站滞留时间最 短.假 设 H0=H1=H2=H3=diag{ } 1,1,1,1.令ki=1,di1(0)=(1,2,0.3),di2(0)=(-1,-1,2),di3(0)=(2, 1,3),xi1(0)=(1,0.2,0.3),xi2(0)=(-1,-1,0.5),xi3(0)= (2,1,0.3),s(0)=(0,0,0),i=1,2,3.当τ0=τ1=τ2=τ3= 1.5,ε0=ε1=ε2=ε3=0.8时，误差的仿真图如图3

所示.当ε0=ε1=ε2=ε3=0.3时,误差的仿真图如图4所示.由图3、图4可知,图4的三组图的同步时间均比图3延长3-8个时间单位.由此可知，耦合强度的大小对复杂网络同步是有一定影响的,这说明当加大对公交线路之间的控制力度,如适当地调整发车时间和频次，会对公交线路间的平衡有很好的维护作用,控制力度越大,整个公交网络中的滞留人数就越少，公交网络就越快趋于稳定.

图3 复杂网络的误差收敛曲线 (a)误差ei1;(b)误差ei2;(c)误差ei3Fig.3 Synchronization errors for complex network(a)errorsei1(b)errorsei2(c)errorsei3

图4 复杂网络的误差收敛曲线 (a)误差ei1;(b)误差ei2;(c)误差ei3Fig.4 Synchronization errors for complex network(a)errorsei1(b)errorsei2(c)errorsei3

对于图2所示的复杂公交网络及其拆分,如果在1路和33路公交线间增加一个相同节点，在1路和15路公交线间增加两个相同节点,于是形成一个新的复杂公交网络模型.在拆分方法不变的情况下，新的复杂公交网络可以拆分如图5所示.

图5 多重边复杂网络的拆分示意图Fig.5 The split of complex networks with multi-links

通过数值仿真,误差的仿真图如图6所示.图6的三组图的同步时间均比图3缩短了3-6个时间单位，由此可知，当公交线路多重边网络的边越多时，系统的同步时间越短.这说明公交线路间的相同站点越多时，乘客可换乘的车辆越多，滞留时间越短，同时整个公交线路网络就越快趋于稳定.

图6 复杂网络的误差收敛曲线 (a)误差 ei1;(b)误差 ei2;(c)误差 ei3Fig.6 Synchronization errors for complex network(a)errorsei1(b)errorsei2(c)errorsei3

6 研究结论

首先建立了一种新的城市公交线路多重边网络模型，这种模型以公交线路为节点，两条线路间有几个相同站点,则两节点间就有几条边.根据网络拆分的思想，将上述多重边网络拆分为多个子网络，进而研究了多重边复杂公交网络的全局同步.由同步的结论可知,对公交车辆的人为控制，如调整公交车的发车时间与间隔，及时排除道路故障，都会影响到整个公交网络的平衡.又如合理的优化公交线路,适当地增加公交线路间的相同站点，会使乘客等车的时间适当减少，公交网络更快趋于稳定.这些结论都能为公交网络的整体协调调度提供理论依据.

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Public Traffic Network Modeling with Multi-links

AN Xin-leia,b,LI Yin-zhenb,MAChang-xib
(a.School of Mathematics and Physics；b.School of Traffic and Transportation, Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China)

This paper develops a new public traffic network model with multi-links based on the existing public traffic network model.The model takes bus lines as the network nodes,and the same bus stops as the network links.Based on the concept of network split,the paper divides the complex public traffic network with multi-links into four different sub-networks for three public bus routes with time-delay.Then taking“Chen system”as the network node,the paper studies the globalsynchronization of the four-links complex network.Changing control degrees and the same bus stops number of some public transport vehicles,the paper analyses the impact of bus dispatching and bus lines optimization to the public traffic network balance. At last,numerical simulation is conducted by Matlab.This research provides theory basis for the reasonable dispatch of urban public traffic network.

urban traffic;complex networks with multi-links;network split;complex network synchronization;public traffic network model

1009-6744（2014）03-0154-08

U121;O231.5

A

2013-09-03

2013-11-27录用日期：2014-01-23

国家自然科学基金项目（61164003）;教育部重点项目（212180）.

安新磊(1983-),男,河南开封人,讲师,博士生.*通讯作者：anxin1983@163.com