子环扩张的G-Morphic性

姜翠翠，储茂权

(安徽师范大学 数学与计算机科学学院，安徽 芜湖 241003)

子环扩张的G-Morphic性

姜翠翠，储茂权

(安徽师范大学 数学与计算机科学学院，安徽 芜湖 241003)

主要研究了环C∝R的G-morphic性，证明了如下结果：(1)环C∝R是左G-morphic的，则C和R也是左G-morphic的.(2)设R是环，则a∈R是左G-morphic的⟺(a,0)∈R∝R是左G-morphic的⟺(0，a)∈R∝R是左G-morphic的.

子环的扩张；左G-morphic环；π-正则环

1 预备知识

本文中的环均是指有单位元的结合环.对于环R,lR(a),rR(a)分别表示R中元素a在R中的左零化子和右零化子，U(R)，C(R)分别表示R中的可逆元之集和中心元之集.

2004年，W.K.Nicholsom, E. Sánchez Campós在文[1]中引入了Morphic环，此后，许多学者对该类环进行了研究，得到了深入的研究结果(参见文[2-6]).2005年，凌灯荣等在Morphic环的基础上引入G-morphic的概念[7].环R中的元素a称为左(右)G-morphic的，若存在正整数n，使得R/Ran≅l(an)(R/anR≅r(an)).若环R中每个元素均是左(右)G-morphic的，则称R是左(右)G-morphic的.同年，陈建龙等在文[2]中研究了平凡扩张的Morphic性.2011年，不同于文[2]中的平凡扩张，张雨婷在文[8]中讨论了子环扩张的Morphic性.设R是环，C是R的子环，1R∈C.令C∝R={(c,r)|c∈C,r∈R}，定义其加法和乘法分别为(c1,r1)+(c2,r2)=(c1+c2,r1+r2),(c1,r1)·(c2,r2)=(c1c2,c1r2+r1c2+r1r2)，则C∝R是环，且单位元为(1R,0)，称C∝R为R的子环扩张.特别地，当子环C=R时，称R∝R为R的平凡子环扩张.本文是在这些结果的基础上，讨论了R的子环扩张的G-morphic性，得出如下结果：(1)环C∝R是左G-morphic的，则C和R也是左G-morphic的.(2)设R是环，且a∈R，则a是左G-morphic的⟺(a,0)∈R∝R是左G-morphic的⟺(0,a)∈R∝R是左G-morphic的.

2 主要结果

引理2.1[2]对于环R中的元素a，下列命题等价：

(1)a是左G-morphic的；

(2) 存在n∈Z+，b∈R，使得Ran=l(b)且l(an)=Rb；

(3) 存在n∈Z+，b∈R，使得Ran=l(b)且l(an)≅Rb.

定理2.2设R是环，C是R的子环，1R∈C.若S=C∝R是左G-morphic的，则C和R也是左G-morphic的.

证明(1)对任意a∈C，有(a,0)∈S是左G-morphic的.故存在n∈Z+，(b,c)∈S，使得lS(an,0)=S(b,c),lS(b,c)=S(an,0).由于S(b,c)(an,0)=(0,0),S(an,0)(b,c)=(0,0),可知Cb⊆lC(an),Can⊆lC(b).下证lC(an)⊆Cb,lC(b)⊆Can.对任意x∈lC(an),有(x,0)∈lS(an,0)=S(b,c).故存在(m,h)∈S,使得(x,0)=(m,h)(b,c)=(mb,mc+hb+hc).因此x=mb∈Cb.对任意y∈lC(b),有(y,-y)∈lS(b,c)=S(an,0).故存在(s,t)∈S，使得(y,-y)=(s,t)(an,0)=(san,tan).

因此y=san∈Can.故lC(an)=Cb,lC(b)=Can.从而C是左G-morphic的.

(2)对任意r∈R，有(0，r)∈S是左G-morphic的.故存在k∈Z+，(d,e)∈S，使得lS(0,rk)=S(d,e),lS(d,e)=S(0,rk).由于S(d,e)(0,rk)=(0,0),S(0,rk)(d,e)=(0,0)，可知R(d+e)⊆lR(rk),Rrk⊆lR(d+e).下证lR(rk)⊆R(d+e),lR(d+e)⊆Rrk.对任意h∈lR(rk),有(0，h)∈lS(0,rk)=S(d,e).故存在(g,l)∈S,(0,h)=(g,l)(d,e)=(gd,ge+ld+le).则h=ge+ld+le=gd+ge+ld+le=(g+l)(d+e)∈R(d+e).对任意q∈lR(d+e),有(0，q)∈lS(d,e)=S(0,rk).故存在(z,w)∈S,(0,q)=(z,w)(0,rk)=(0,zrk+wrk).因此q=zrk+wrk=(z+w)rk∈Rrk.故lR(rk)=R(d+e),lR(d+e)=Rrk.从而R是左G-morphic的.

推论2.3设R是环，若R∝R是左G-morphic的，则R是左G-morphic的.特别的，R是右GP-内射环.

证明由定理2.2可知，R是左G-morphic的.再根据[7，定理11]，得R是右GP-内射环.

推论2.4设R是左GPP-环，且R∝R是左G-morphic的.则R是π-正则的.特别的，R是幺π-正则的.

证明由于R∝是左G-morphic的，由推论2.3可知，R是左G-morphic的.而R又是左GPP-环，根据[9，命题8]可知，R是π-正则的.再根据[10，定理2.2]知，R是幺π-正则的.

定理2.6设R是环，a∈R，下列命题等价：

(1) a∈R是左G-morphic的；

(2) (a,0)∈R∝R是左G-morphic的；

(3) (0，a)∈R∝Rj daG-morphicr.

证明令S=R∝R.

(1)⟹(2)由于a∈R是左G-morphic的，则存在n∈Z+，b∈R使得lR(an)=Rb,lR(b)=Ran.易证lS(an,0)=S(b,0),lS(b,0)=S(an,0).故(a,0)在R∝R中是左G-morphic的.

(2)⟹(1)由于(a,0)∈S是左G-morphic的，则存在n∈Z+，(b,c)∈S使得lS(an,0)=S(b,c),lS(b,c)=S(an,0).易证lR(an)=Rb,lR(b)=Ran.故a在R中是左G-morphic的.

(1)⟹(3)由于a∈R是左G-morphic的，则存在n∈Z+，b∈R使得lR(an)=Rb,lR(b)=Ran.下证lS(0,an)=S(1,b-1),lS(1,b-1)=S(0,an).由于S(1,b-1)(0,an)=(0,0),S(0,an)(1,b-1)=(0,0),可知S(1,b-1)⊆lS(0,an),S(0,an)⊆lS(1,b-1).下证lS(0,an)⊆S(1,b-1),lS(1,b-1)⊆S(0,an).对任意(s,t)∈lS(0,an),有(s,t)(0,an)=(0,(s+t)an)=(0,0).故s+t∈lR(an)=Rb,存在r1∈R，使得s+t=r1b.那么t=r1b-s.则(s,t)=(s,r1b-s)=(s,r1-s)(1,b-1)∈S(1,b-1).对任意(p,q)∈lS(1,b-1),有(p,q)(1,b-1)=(p,pb-p+qb)=(0,0).因此p=0,qb=0.从而q∈lR(b)=Ran,存在r2∈R，使得q=r2an.故(p,q)=(0,r2an)=(0,r2)(0,an)∈S(0,an),(0,a)在R∝中是左G-morphic的.

(3)⟹(1)由于(0，a)∈R∝R是左G-morphic的，则存在n∈Z+，(b,c)∈S使得lS(0,an)=S(b,c),lS(b,c)=S(0,an).易证lR(an)=R(b+c),lR(b+c)=Ran.故a在R中是左G-morphic的.

在文[8]中给出了当R是半单环时，R∝R是强Morphic的.而强Morphic⟹Morphic⟹G-morphic，故可得当R是半单环时，有R∝R是G-morphic的.

(1) a∈R是左G-morphic的；

(2) (a,0)∈R∝R是左G-morphic的；

(3) (0,a)∈R∝R是左G-morphic的；

(4) (a,a)∈R∝R是左G-morphic的.

证明令S=R∝R.

由定理2.6可知，只需证(1)⟺(4)即可.利用数学归纳法易证，(a,a)∈R∝R有(a,a)n=(an,(2n-1)an).

(4)⟹(1)设(a,a)∈R∝R是左G-morphic的，则存在n∈Z+，(b,c)∈S使得lS(a,a)n=S(b,c),lS(b,c)=S(a,a)n.易证lR(an)=Rb,lR(b)=Ran.故a∈R是左G-morphic的.

引理2.8[2]设R是交换环，a∈R.若a是左G-morphic的，则对任意u∈U(R)，ua是左G-morphic的.

注：引理2.8中的条件“R是交换环”可以弱化为“R是环，u∈U(R)∩C(R)”.

推论2.9设R是交换环，S=R∝R.若a∈R是左G-morphic的，且u∈U(R).则(0,au)和(au,0)在S中均是左G-morphic的.

证明由R是交换环，易知S也是交换环.a∈R是左G-morphic的，由定理2.6知，(a,0)和(0,a)在S中是左G-morphic的.而(0,au)=(0,a)(u,0),(au,0)=(a,0)(u,0),(u,0)∈U(S),故(0,au)和(au,0)在S中均是左G-morphic的.

注：推论2.9中的条件“R是交换环”可以弱化为“R是环，u∈U(R)∩C(R)”.

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TheG-morphicPropertyofSubring-Extension

JIANG Cui-cui, CHU Mao-quan

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

In this paper, the G-morphic property of the subring-extensionC∝Ris studied. The following results are obtained: (1) ifC∝Ris left G-morphic, then bothCandRare left G-morphic. (2) For a ringR， an elementainRis left G-morphic ⟺ (a,0) inR∝Ris left G-morphic ⟺(0,a) inR∝Ris left G-morphic.

subring-extension; left G-morphic ring; π-regular ring

2013-09-15

姜翠翠(1989-)，女，安徽阜阳人，硕士研究生；通讯作者：储茂权，男，安徽岳西人，硕士生导师，研究方向：代数学.

姜翠翠，储茂权.子环扩张的G-morphic性[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2014，37(1)：30-32.

O153.3

A

1001-2443(2014)01-0030-03