左手介质中涡旋电磁波束的涡旋特性研究

吕 强，孙亨利

(通信网信息传输与分发技术重点实验室，河北石家庄 050081)

0 引言

左手介质［1-3］相较于常规材料折射率为负的特性，引发了许多超常的电磁现象，如已报道的逆线性多普勒效应(Linear Doppler Effect)［4］、逆古斯 - 汉森相移(Goos-H@nchen Shift)［5］及逆古伊(Gouy)相移［6］。灵活的电磁波操控是人们不断追求的目标，左手介质的反常特性为人们提供了另一种新的可能。如Tsakmakidis等人利用负折射材料传输中电磁波逆古斯-汉森相移的特性可以将光速降至为零，为光存储的实现提供了新的选择［7］。

另一方面，相比于常规通信链路中对无线信号强度、频率进行高速编码、调制相比，涡旋波束存在角动量的特性相较于普通平面电磁波的振幅、频率编码，提供了新的多维度编码可能，能够极大地提高空间通信系统的有效性，并进一步提高无线信号的抗干扰能力。文献［8］表明对涡旋电磁波轨道角动量的灵活操控，并进一步应用于通信编码，对现有通信系统的改善具有革命性意义。因此，本文针对新型编码应用需求，通过理论和建模仿真两种分析手段，从现象和物理机制方面研究左手介质中涡旋波束的横向场、横向能流和角动量密度等物理特性，揭示左手介质新特性中对波束涡旋横向场的变化规律，为利用左手介质操控电磁波涡旋并进一步实现电磁波角动量编码提出新的可能。

1 左手介质中涡旋波束传输特性分析

首先以拉盖尔-高斯波束为模型，简单分析介质电磁特性对涡旋波束传输特性的影响。假设波束沿z轴傍轴传播，在垂直于z轴的z=0平面上的电磁场分布可表示为u(r，0)，其中r为径向单位矢量，众所周知，电磁场的角谱分布可表示为:

式中，k=nω/c，表示波数;n为物质折射率;ω为波束角频率;c为光在真空中的传输速度;Jl为l阶第一类贝塞尔函数。根据式(1)可进一步得到空间的场强分布为:

式中，z为波束传输的距离;k0为真空中的波数。

下面，进一步分析涡旋波束的横向场。为简单起见，设波束束腰位于z=0处，此时，拉盖尔-高斯波束的场分布可表示为:

式中，w(z)=w0表示 LGp，l波束宽度，zR=/2为LGp，l波束的瑞利长度;R(z)=(+)/z表示LGp，l波束z处波前的曲率;ψ(z)=arctan( z/zR)为古伊相移。从式(5)可以看出，当材料的折射率为负时，波束的瑞利长度和古伊相移存在逆特性。由于在左手介质中传输的拉盖尔高斯波束具有逆古伊相移，因此其相位波前螺旋方向相较于常规材料将发生反转。从式(5)可以看出，波束的光强随距离呈指数下降，这主要是因为介质存在损耗。同时还可以看出，介质的损耗特性并不影响波束的涡旋特性。

2 涡旋波束横向场及相位特性仿真

多模拉盖尔-高斯波束产生涡旋的机制是因为其叠加的各波束分量具有不同大小的拓扑因子。为了清楚地研究逆古伊相移对涡旋波束的横向场分布产生怎样的影响，现引入多模拉盖尔-高斯波束模型。作为对比，同时讨论了在传统介质传输情况下的横向场分布特性。多模拉盖尔-高斯波束的复振幅可表示为:

为简单起见，用u表示多模拉盖尔-高斯波束的复振幅。利用迭代法，多模拉盖尔-高斯波束的横向场分布可表示为:

式中，γ1，2=l1，2φ － (2p1，2+ l1，2+1) ψ(z) 。下面通过对多模拉盖尔-高斯波束横向场的数值模拟来描述波束的旋转特性。例如由LG0，+1和LG0，+2叠加而成的多模拉盖尔-高斯波束。如图1(a)、图1(b)和图1(c)所示，在传统介质中波束呈逆时针方向旋转，而图1(a’)、图 1(b’)和图 1(c’)表明，当波束在左手介质中传输时，旋转方向发生反转。

图1 多模拉盖尔－高斯波束的波前强度随距离的变化

下面通过研究多模拉盖尔-高斯波束电磁场的角速度来解释该现象。首先知道多模拉盖尔-高斯波束的等相位面可表示为:

两边关于z求导，可得波束横向场旋转的角速度:

当逆着z轴观察时，正的Ω表示横向场呈逆时针方向旋转。从式(9)可知，由于左手介质中zR为负，因此其角速度值相对于传统介质中的角速度值符号相反。因此在左手介质中传输的涡旋波束横向场旋转方向将发生反转。进一步，考察波束的相位信息来进一步阐述该现象。在传统介质中，拉盖尔-高斯波束的古伊相移是正的，如图2(a)、图2(b)和图2(c)所示，波束的相位呈逆时针方向旋转。然而，当介质折射率变化为负时，其拉盖尔-高斯波束分量的瑞利距离也随之变化为负，从而产生了逆的古伊相移，如图2(a’)、图 2(b’)和图 2(c’)所示，逆古伊相移导致了其相位旋转方向发生反转。进一步导致了波束横向场旋转方向的反转。

图2 多模拉盖尔－高斯波束的相位随传输距离的变化

3 左手介质中涡旋波束的横向能流

多模拉盖尔-高斯波束的坡印亭矢量S可表示为:

为简单起见，假设LGp，l波束的电场强度和磁感应强度为线偏振，并可表示为［9］:

式中，ex、ey和ez是单位矢量，假设波束的电场强度的偏振方向与x轴方向一致。注意由于LGp，l波束是傍轴传输，电场强度和磁感应强度的z分量远比x和y分量小。根据式(11)，多模拉盖尔-高斯波束的电场强度和磁感应强度可分别表示为:

根据式(10)和式(12)可得其横向能流表示为:

线面通过式(13)揭示左手介质介电常数、磁导率的负特性对多模拉盖尔-高斯波束横向能流的影响。为简单起见，考察多模拉盖尔-高斯波束z=0平面上的横向能流。S⊥可分解为径向分量Sr和角向分量Sφ:

根据式(15)可以发现介质材料磁导率为负时，将导致涡旋波束的横向能流方向的反转。图3给出了多模拉盖尔-高斯波束分别在传统介质和左手介质传输情况下z=0平面处的横向能流。同样考虑由LG0，+1和LG0，+2叠加而成的涡旋波束。图3(a)表明，在传统介质中涡旋波束的横向能流方向呈逆时针方向，而图3(b)表明左手介质中涡旋波束的横向能流方向发生反转。

图3 多模拉盖尔－高斯波束的横向场及横向能流方向

4 左手介质中涡旋波束的角动量密度

下面研究涡旋波束的角动量密度。首先，介质中电磁波的能量密度定义为:

从式(16)可以看出，当物质介电常数和磁导率均为负数，且介质为非色散时，电磁波的能量密度将出现反物理常规的负值。此时，式(17)不适用于左手介质中电磁波的能量密度描述。另一方面，可知利用人工的方法实现左手介质时，必须通过谐振的方式实现介电常数和磁导率为负。因此，其介电常数和磁导率必是色散的。式(16)可以从另一方面印证非色散的左手介质是违背物理定律且无法实现的。因此，式(17)的定义适用于色散型左手介质中电磁波的能量密度。假设左手介质的介电常数和磁导率均用洛仑兹模型来描述，且介电常数和磁导率相等。多模拉盖尔-高斯波束的动量密度等于各LGp，l波束分量动量密度的和。因此，多模拉盖尔-高斯波束的动量密度可表示成［10］:

当不考虑左手介质的损耗时，n+ω(∂n/∂ )ω 恒大于零。涡旋波束的动量密度方向与能流方向呈反平行的关系。下面考虑更复杂的情况，即左手介质具有损耗性时，波束的动量速度定义为［11］:

式中，〈T〉为动量流;η和κ分别是介质折射率n=η+iκ的实部和虚部;γ为洛仑兹型色散介质中所定义的阻尼系数。由于〈T〉= η〈S〉/c［12］，无论左手介质有无损耗特性时，波束的动量流方向始终是与能量流方向相反。从式(19)可以看出，左手介质的损耗项对波束的动量速度的影响。在有损的左手介质中，动量速度方向与能流方向存在平行或反平行2种可能关系。这取决于关系式 η2+κ2+2ω0ηκ/γ 的正负，当 sgn (η2+ κ2+2ω0ηκ/γ )=1时，涡旋波束动量密度的横向分量与横向能流方向呈平行关系;当 sgn (η2+ κ2+2ω0ηκ/γ )=－1时，涡旋波束动量密度的横向分量与横向能流方向呈反平行关系。涡旋波束的角动量密度方向可以表示为:r×Gφ。因此，可以看出在左手介质中传输的涡旋波束角动量密度方向相较于在常规材料传输情况下有可能发生反转，也可能不反转，这取决于介质的损耗大小。

5 结束语

研究了左手介质中涡旋波束横向场传输特性。首先，建立了介质中涡旋波束的传输模型。根据该模型通过理论分析和模拟仿真阐述了左手介质中，涡旋波束横向场旋转方向发生反转的物理机制，进一步通过考察波束传输中的相位变化，揭示了左手介质中涡旋波束逆变化的原理。此外，从推导涡旋波束坡印亭矢量出发，分析其横向能流分量，发现左手介质负的磁导率，导致波束横向能流发生反转。最后，研究了涡旋波束的角动量密度，发现涡旋波束的角动量密度方向与左手介质的损耗值大小有关，波束的角动量密度方向存在平行或反平行于横向能流方向的2种可能。本文阐述了利用左手介质对涡旋电磁波轨道角动量物理特性操控的可能，指出了角动量编码的新选择。 ■

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