试论小学数学概念的开放性

赵剑峰

小学数学教学是提高学生素质的重要途径之一。学生素质的提高不仅在于知识的积累，更重要的是在获取知识过程中数学素质的培养。具备一定的数学素养已成现代社会对公民的基本要求。在基础教育中加强和改进数学教学，已成为世界各国尤其是经济强国普遍关注的课题。其中，数学概念是小学数学中重要的学习内容，数学教学离不开对数学概念的教学。众所周知，学生的思维是否灵活，从其解题过程可以体现出来；而学生解题是否灵活往往取决于学生对概念掌握的程度。因此，要培养学生思维的灵活性，在教学中就应重视概念教学。

小学数学概念教学存在的问题

如何进行小学数学中的概念教学是值得研究的问题。多年来，很多小学数学概念教学往往存在这样一种现象。整个教学过程都是以教师讲述为主，而学生只是作为听众。整个课堂就是教师讲述概念，学生牢记概念，接着就是配套的练习来巩固知识。但在这个过程中，学生不能经历发现、探索、归纳、总结与交流这个知识形成的过程，知其然而不知其所以然，只能停留在感性认识的层面上，难以上升到理性认识的层面。在教学实践中，教学者主要存在以下几方面的问题：

忽视概念的本质特征，重视概念的运用计算 新课程理念下，很多学者提出了淡化概念的教学观。淡化概念已成为教育界较为流行的口号，很多教师的教学行为被这种时髦的口号所左右而无所适从。例如，在教授“有余数的除法”一课，课件出示23盆花，按每组摆5盆的摆法，还剩下3盆；然后告诉学生余下的3盆就是余数；接着，就是大量地讲授有余数除法的解题步骤。这样的讲述方法，学生其实根本不知道什么是余数、余数为什么一定要比除数小等问题。

忽视概念的探索过程，注重结论记忆 有的教师认为，学生要学好数学，就应该把数学基本概念反复记牢，这样，应用才有的放矢。于是，往往出现把概念灌输给学生的现象。例如，一位教师教学“圆的认识”，为了使学生认识圆心，就让学生将圆形纸片对折几次再打开，然后告诉学生这些折痕相交的一点叫做圆心。至于怎样启发学生想到用这种方法找圆心，学生还可以用哪些方法找圆心，就不去考虑了。

忽视概念的灵活运用，注重概念的形式运用 概念的巩固中，用得较多的就是对比和判断。在学生把概念背熟后，当然能准确地判断是否正确。教师如果不联系学生的现实生活经验来创造合适的条件，让学生在解决实际问题中去灵活运用所学的概念，就会导致学生在一些综合性问题和变式题时就无处下手。

在概念教学上的片面性是因人而异的。比如，有的教师还存在着“重给予，轻探索”“重课本，轻实践”“重形象，轻抽象”等现象。这些问题必定会影响学生对数学概念的掌握。

小学数学概念的开放性教学

数学概念的教学并不仅限于陈述性知识，而主要是策略性知识，培养思维能力应成为概念教学的核心，为此，在概念的再创造过程中，要突出过程性知识的教学。“过程性知识指的是伴随数学活动的体验性知识”，这明确告诉我们：数学概念的教学最重要的是让学生经历概念形成的过程。

南京大学哲学系郑毓信教授认为：“数学概念教学是数学课程改革深入发展所必须解决的一个难点。教学时，要淡化形式，注重实质，要由‘静态的教学定义向‘动态的生成过程过渡。”而开放性数学教学正是这样一种有利于学生发展的教学方法。数学概念的开放性教学，不仅能有效地提高学生的学习热情，培养学生自主学习的能力，还有利于培养学生的合作能力和创新精神，有十分重要的意义。

开放教学环境的生成

《数学课程标准》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展过程。教师是学生数学活动的组织者、引导者、合作者。”开放式的课堂教学要求构建和谐、民主、平等、友好的师生关系，创设一种愉悦、和谐、宽松、自由的课堂氛围。在整个教学过程中，不是教师一个人主宰，而是师生共同完成。实践证明，教师精心设计的各种教学情景，能够引起学生学习的意向。课题的揭示，活动的组织，或者提供一个场景，都能引起学生学习知识的兴趣。以“角的初步认识”为例：

师：请大家先跟着老师一起来做个手指游戏，活动一下筋骨。（在手指游戏中会出现好多个角）小朋友们，今天老师带了许多好朋友来和大家一起上课，欢迎吗？

生：欢迎。

师：不过，老师还想卖个关子，我不直接告诉你他是谁，请你根据我的提示猜一猜，行吗？第一个朋友，它呢，有四条边、四个角，而且相对的两条边长度相等。它是……

生1：长方形。

生2：正方形。

生3：还可能是平行四边形。

师：那到底会是谁？（出示长方形）让你们猜中了。

第二个朋友和他是一个家族的，也是四条边，只不过这四条边的长度都一样，猜出来了吗？

生：（齐喊）是正方形！

师：第三个朋友与它们就有点不同了，只有三条边，三个角，它是谁呀？

生：三角形。

师：小朋友们真聪明！老朋友介绍完了。该是我们的新朋友登场了，这位新朋友就藏在这几个朋友里面。你们猜猜看，它会是谁？

生1：是圆形。

生2：是四边形。

师：（隐去一些边，只剩角）瞧，它来了！认识吗？

生：是角。

师：这节课，我们就一起来认识角。

在这一课堂上，教师通过为学生创设“手指游戏”和“猜猜平面图形”的游戏来引出“角”，激发了学生的好奇心和求知欲，使得课堂气氛一下子活跃起来。问题的起点较低，几乎所有的学生都能作答，并且沟通了“角”与其他平面图形的关系。这样的开放性导入，既复习了与新知识密切相关的旧知识，为学习新知识作了铺垫，又培养了学生的创新的意识。

开放教学内容

《数学课程标准》指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作交流的情境”“教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，设计适合学生发展的教学过程”。这就要求教师创造性地处理教材，用全新的观念把握教材，抓住教材的特点，充分利用课程资源，重新选择和组织教材。以“质数与合数”为例，一位教师这样导入：endprint

师：用若干相同小正方形拼长方形，当小正方形的个数为多少时，只能拼成一个长方形？

生：我发现当小正方形的个数为2，3，5，7，13时，只能拼成一个长方形。

师：请说说长方形的长和宽。

生：长方形的宽和长分别是1和2，1和3，1和5，1和7，1和13。

师：2，3，5，7……这些数有着自己的特点，这种特点在同学们刚才拼摆长方形的活动中也能得到体现，有这种特点的数叫质数。想一想，什么叫质数？

新颖的教学设计，使得数的教学不仅仅只限制于“数”，而是把数的教学与图形教学有机结合起来。在教学概念时，不是简单地给出一组正整数，让学生分别写出它们所有的约数，然后给这些数分类，从而引出概念；而是精心设计了这样一个问题，“用若干相同的小正方形拼成长方形，当小正方形的个数为多少时，只能拼成一个长方形？”先让学生独立思考，每个人以自己的思维方式进行探索，有的学生借助小正方形进行拼摆，有的学生用铅笔在纸上画，也有的学生写出长方形的长和宽，然后在独立思考的基础上进行小组交流。本课设计在学生原有的知识基础上，让学生通过观察、动手操作、讨论、自主学习来学习新知识，使得原本枯燥的概念教学课变得生动有趣。学生在做中学，源于课本又超越课本。

开放探究过程

概念的形成不是靠死记硬背，需要一个过程。开放概念探究的过程，给学生发展的空间。新课程标准提出“降低一些概念过分‘形式化要求”，它明确地告诉我们：数学概念教学最重要的是让学生经历概念的形成过程。在开放式的概念教学过程中，教师要注重学生的主体作用，让学生在活动中有充分发挥的空间与时间。以“平行四边形和梯形”一课中的“平行四边形的认识”为例：

师：观察平行四边形，它们可能会有什么共同的特点？

生1：平行四边形有四条边，四个角。

生2：有两组平行而且相等的对边，对角相等。

师：平行四边形真的有这些特征吗？你能有什么办法可以来验证一下？

（小组讨论：①验证对边平行）

生1：可以用画平行线的方法……

生2：可以在两条对边之间画两条垂线，再量一量是否相等……

（小组讨论：②验证对边相等）

生3：用尺量一下对边的长度，量出来的长度是相等的。

生4：把其中两个对角用直线连起来，再沿着这条直线剪开，这两个三角形重合……

（小组讨论：③验证对角相等）

生5：用量角器来量……

生6：可以剪成两个平行四边形，再把它们叠在一起……

生7：可以把对角撕下来……

在学习平行四边形的概念时，教师不是将概念一带而过，而是把自主权交给学生，让学生自己来探究平行四边形的特征，从而得出概念。在探究中，教师只是给学生出了两个问题：“观察平行四边形，它们可能会有什么共同的特点？”“平行四边形真的有这些特征吗？你能有什么办法可以来验证一下？”学生通过各种方法来探究特征，在此基础上得出概念。如此教学，比起教师一味地灌输好得多，使得学生经历了整个探究过程，充分体现了“学生是学习活动的主体，教师是学生数学活动的组织者、引导者和合作者”这一新课程理念。这是学生通过观察后猜测得出的结论，教师只是引导学生动手操作来验证这些猜测是正确的。学生经历这样一个探索过程，对平行四边形的认识一定会更加深刻。

开放应用过程

在概念应用这一环节中，教师要强化学生已经形成的正确认识，巩固所学的概念，而不能是一味地强调“学以致用”。不应只限于形式化练习，还得考虑与学生实际生活的联系以及学生的发展。为此，教师要精心设计练习，以帮助学生更好地掌握知识，提高学生的探究能力。比如，在学生学习了长方形的周长计算方法后，可以设计一例：“王师傅准备用篱笆靠墙围一块长8米、宽6米的长方形菜地，围住这块菜地需要用多长的篱笆？”通过此例既可巩固学生对长方形周长公式的理解，又可培养学生的空间想象能力，还可以通过比较增强学生的优化意识，而且结论不是唯一的。可见，教学中需以教材为本，从生活中取材，设计一些切合学生生活实际的开放题，使学生有“想头”，有利于激发学生思考，使学生能体会到概念的应用价值。在数学概念教学中设计开放性问题，进行开放性问题教学，能有效激发学生创新意念，扩大创新视野，使学生积极投身于创造性活动，不断开发创造潜能，使学生的创新精神和创造能力不断提高。

开放性教学是根据学生个性发展的需求而进行的教学。那么，小学数学概念课堂教学也必然符合小学生的个性发展。但数学概念实施开放性教学，不是抛弃传统的教学方法，而是应该把握“放”字。数学概念开放性教学是在新课标背景下产生的，对教师和学生都提出了更高的要求。只有在摸索中不断前进，才能真正有效地进行小学数学概念的开放性教学。

（作者单位：浙江省绍兴市东浦镇中心小学）endprint