折出一片天地来

仇珺

一张正方形的纸在人们的手中能变成什么？答案是：一只天鹅，一朵玫瑰，一个机器人，一名骑士……这不是魔术表演，而是我们刚懂事时就曾经迷恋的折纸.虽然我们都有过折纸的经历，但是大多都在折叠后便收了起来，并不会去思考更深层次的问题. 事实上，折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动，它不仅超越了许多文化，成为一门艺术，更蕴藏了丰富多彩的数学原理.

折纸与几何的联系

折纸的历史可以追溯到公元583年，当中国的和尚东渡到日本时，带去了许多纸. 由于当时纸张是很昂贵的，所以人们用时格外小心，而折纸就成了一些礼仪的一部分. 在公元7世纪中期，大唐帝国成为全球最强大和开放文明的国家，折纸艺术也就是在那时候伴随着中国人民的美好祝福传播到了世界各国. 在公元1200年左右，日本出现了比较复杂的纸模型. 当时的日本武士流行一种礼仪，交换自己的刀和由一种特殊折法折出的纸花来证明友谊.

通过普及和发展，折纸成为一门艺术，并且一代代传了下来. 几个世纪来，人们对折纸的热情有增无减. 从19世纪开始，折纸与自然科学也走到了一起，开始在西方成为教学和科学研究的工具. 尤其是，折纸可以帮助我们加深对数学的理解.

折纸怎么和数学联系在一起呢？我们注意到，在创作折纸图形时，折纸能手是由一张正方形的纸开始的，然后运用他们的想象、技巧和决心，变形为任意的形状.一个正方形之所以可以选为折纸的初始单元，是因为与矩形和其他四边形相比，它有四条对称轴. 虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴，但是它们又缺少正方形所拥有的四个直角，这就给制作带来了较大的困难. 而且，纯粹从正方形开始的折纸作品是不用胶水和剪刀的.

折纸和几何的联系是复杂的，一个折纸模型是一件艺术作品，当你打开它，铺平，它又是一系列的几何图形. 比如说，当你折传统的波纹状的物体时，就会产生一个具有8个直角三角形的折痕. 经典的天鹅作品留下的折痕有更多的三角形，而每一个反向的折叠动作，比如说折出鸟的脖子或者尾巴的步骤，都会产生更多的三角形. 事实上，每一种基本的折法都有相应的几何模式.

纸模型被创造出来后，留在纸张上的折痕揭示出大量几何的对象和性质：正方形、三角形、不规则四边形、菱形，相似、轴对称、心对称、全等、比例……这里面暗藏的几何学规则真是引人入胜！

研究折纸的创作过程是极具启发性的，人们先用一个正方形（二维物体）的纸张来折成一个新的数学形体（三维物体）；然后，人们把模型铺开来研究折痕（二维），显然这个过程包含了维数的变化，折痕则表示了三维物体在扁平面（就是正方形）上的投影，这不是很奇妙吗？从二维到三维，又回到二维，这过程本身就是一门学问. 学习几何的时候，我们经常会在将平面的信息扩展到三维物体上感到困难，折纸为我们提供了如此直观的视觉感染力.

帮我们解开谜题

折纸还引出了很多奇特的数学谜团，如果你是一个酷爱解谜的人，你就一定会从其解答中寻到乐趣，并让你的同学们对你刮目相看.

我们来看这样一个问题：在一个纸模型的折痕图案上挑一个顶点，在这个顶点上是否可以只有凹或者只有凸的折痕呢？凸的和凹的折痕之间的联系又是怎样的？答案是：一个顶点上不可能只有一种凹或者凸的折痕，必定是两种折痕同时存在，而且折痕的数目总是偶数个，凹和凸的折痕数目差总是2个.

还有一个问题，就是绕着这个顶点的角之间有怎样非同寻常的大小关系呢？有一个定理叫做川崎定理，讲的是在一个顶点周围，当你把每隔一个角的度数加起来时，得到的总和将一定是180度，大家不妨试试看.

想更深入了解数学和折纸之间的联系吗？先动起手来，再好好思考吧，它们之间的联系太多，太奇妙了.折纸行家们对数学的了解之透彻是我们所无法想象的，他们甚至可以把柏拉图立体、镶嵌等数学领域里的概念都给“折”出来！折纸还能帮我们作图，“三等分角”是2400多年前的古希腊的三个著名的古典作图难题之一，我们课堂上所熟知的“尺规作图”的方法无法作出来，但一旦借助于折纸，这个问题就可以轻易解决. 它还能帮我们证明一些定理，比如我们常用的勾股定理. 其实，它自身就有很多定律，举个例子，假设你把一个折好的模型铺平，想用不同颜色来把折痕上所有毗邻的区域分开来，那么一共需要几种颜色呢？回答是：只需要两种. 你自己试试看就知道了.

寓于折纸中的自然

折纸除了和数学有着这么广泛的联系外，还和大自然有着强有力的联系.

纸模型被展开后，留下的折痕正是最终整个作品的“蓝图”. 自然界当中普遍存在着种种“蓝图”，它们指导但不完全决定一个有意义的过程. 以有机体的发育进程为例，我们已经了解，人类基因组计划要把我们DNA里的核酸序列分析出来，但是由基因所包含的信息是如何通过生长和发育转换成一个有机体的信息，也就是性状呢？恐怕这才是对我们认识生命和生命进程的关键所在.要了解这个过程，我们就可以借用折纸手工的比喻：一个纸模型的折痕图案就像是基因组，信息存在那里，但是这并不足以完成整个模型，而一步一步的折叠程序才是生命发育的程序.具有相似但不相同的折痕和折叠程序的折纸模型，就相当于亲缘关系很近的物种，它们具有相似但不相同的基因组和发育程序.endprint