平面向量的概念与平面向量基本定理

褚人统

重点：①平面向量的概念；②平面向量的加法与减法的三角形法则、平行四边形法则，运算律及其性质；③向量数乘的定义及其运算律；④

1. 饮水思源——运算律法

向量加、减法的运算法则在形式上与实数的加、减法的运算法则相同. 因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项的变形手段在平面向量的线性运算中仍然有效.

2. 借石攻玉——几何意义法

数缺形时少直观，形少数时难入微. 在求解平面向量的线性运算过程中要善于把握“向量几何意义”这一利器，注意平面向量的三角形法则和平行四边形法则适用的条件：运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.

3. 中间桥梁——待定系数法

有关向量共线或三点共线的问题，常利用向量共线定理（向量b与非零向量a共线的充要条件是“有且只有一个实数λ使b=λa”）得到关于相关参数的方程组，通过待定系数这一桥梁，使得这类难题变得平凡. 注意：向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别. 直线平行不包括共线（即重合）的情况，而向量平行则包括共线（重合）的情况.

4. 移花接木——平面向量基本定理

平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过向量的运算来证明. 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.

1. 平面向量的有关概念

例1 （2014年高考辽宁卷）设a，b，c是非零向量. 已知命题p：若a·b=0，b·c=0，则a·c=0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.下列命题中真命题是（ ）

A. p∨q B. p∧q

C. （？劭p）∧（？劭q） D. p∨（？劭q）

思索 向量作为工具所起的作用有两个：一是向量可以作为语言工具，二是向量可以作为解决几何问题的工具. 本题就是向量作为语言工具的体现.

破解 首先要注意大前提：a，b，c是非零向量.所以，无论此题是平面向量背景还是空间向量背景，a与b垂直，且b与c垂直，都无法推出a与c垂直，命题p一定是错误的. 同理，a与b平行，且b与c平行，都可以推出a与c平行，命题q一定是正确的. 接下来，就是命题运算了. 答案为A.

2. 平面向量的线性运算

例2 如图1，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为（ ）

A. e1+e2

B. -2e1+e2

C. 2e1-e2

D. 2e1+e2

思索 利用向量的加法及实数与向量数乘的几何意义，即可得正确选项.

破解 如图2所示，a=+= -2e1+e2，应选B.

3.平面向量的线性运算与几何运算的关系

例3 已知△ABC的面积为12，P是△ABC所在平面上的一点，满足++2=3，则△ABP的面积为（ ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 9

思索 由于题中只给了一个条件++2=3，那么解题的关键就是怎样使用该条件. 等式左边这三个向量不太好直接相加，所以把等式右边的3拆成3（-），结合向量共线定理，即可判断出点P的位置，从而可得出△ABP的面积与△ABC的面积的关系，即可求出△ABP的面积.

破解 由++2=3得++2=3（-），所以4+2（-）=0，所以2=. 由此可得PA与CB平行且CB=2PA，故△ABP的面积为△ABC的面积的一半，应选C.

4. 平面向量的共线定理

例4 （2014年高考新课标卷I）已知A，B，C为圆O上三点，若=（+），则与的夹角为________.

思索 平面上三点共线的充要条件：若平面上三点A，B，C共线，O是另外一个定点，则必存在实数m，n，使得=m+n成立，其中m+n=1；或存在λ，使得=λ+（1-λ）·成立.

破解 由=（+）得出点O是△ABC的边BC的中点，所以BC就是圆O的直径，根据圆的几何性质有与的夹角为90°.

5. 平面向量定理

例5 如图3，已知△OAB，点P是在线段OB及AB的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且=x+y，则在直角坐标平面上，实数对（x，y）所表示的区域在直线y=4的下侧部分的面积是________.

图3

思索 笔者曾在今年4月份在一次数学模拟考试中用了此题，让我的高三学生（省首批一级重点中学）做了一下，但只有的学生得出了正确的结果. 错误的原因主要有两处：第一处，大部分同学不知道如何着手建立与，的关系，从而无法发现x，y的正确范围；第二处，当然也有少数同学通过中介找出了与，正确的关系，但在不等式关系转换时还是发生了错误. 这是一道综合性比较高的好题.

破解 在这里由于与，的关系的几何特征不明显，要直接把表示成x+y的形式，很难发现实数x，y的范围，就是估计出来也是不确切的.因此，在原来的图中，只要连接BP，则由题意有=+=+m+n，其中m≥0 ，n≥0（这个范围是确切的）. 则=（m+1）·+n=（m+1）+n（-）=（-n）·+（m+n+1），所以有x=-n，y=m+n+1.可以推出x≤0，y+x-1≥0，则在直线y=4的下侧部分的可行域如图4所示，面积为.

6.用平面向量基本定理来表示向量

例6 如图5，点E是平行四边形ABCD对角线BD的n（n∈N且n≥2）等分点中最靠近点D的那点. 线段AE的延长线交CD于点F，则向量可用与表示为_________.endprint

图5

思索 这里选取与两不共线向量为基底，利用点E是平行四边形ABCD对角线BD的n（n∈N且n≥2）等分点中最靠近点D的那点，求出与的关系；再利用向量的加法，即可用与表示出.

破解 依题意与图形得==（n∈N且n≥2），所以=，所以=+=+，即=+.

1. 设O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）

A. 相等向量

B. 模相等的向量

C. 共线向量

D. 共起点的向量

2. 如图6，e1，e2是互相垂直的单位向量，则向量a-b可表示为（ ）

A. -2e1-4e2

B. 3e2-e1

C. 3e1-e2

D. e1-3e2

3. 设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，则实数y的值为（ ）

A. 3 B. 4

C. - D. -

4. 如图7，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，则·=______.

图7

5. 如图8，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若动点P从点A出发，沿正方形的边按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D.

（1）当点P为边BC的中点时，请用，表示；？摇

（2）满足=λ+μ且λ+μ=1的点P有几个？

参考答案

1. 因为点O是△ABC的中心，所以点O到△ABC的三个顶点的距离都相等，即==，所以应选B.

2. 如图9，a-b==-=e1-3e2. 选D.

图9

3. 因为3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，所以（3x-4y+7）e1+（10-y-2x）e2=0. 又因为向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以可得3x-4y+7=0，10-y-2x=0，解得x=3，y=4.选B.

4. 以，为基底，将已知条件中的有关向量用，表示出来，列方程组求解. =+，=-+；代入·=2，得 -2-·+2=2，得·=22.

5. （1）因为点P为边BC的中点，所以=+？摇①. 因为DE=CD，所以=2，所以=+=+2=-2. 因为，不共线，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ，使=λ+μ，所以=（λ-2μ）+μ？摇②. 因为，不共线，由①②可得λ-2μ=，μ=，解得λ=，μ=.所以=+.

（2）若λ+μ=1，则λ=1-μ，因为=λ+μ，所以=（1-μ）+μ，所以-=μ（-），所以=μ，所以B，P，E三点共线，所以动点P落在点B，E，以及BE与边AD的交线上，即满足λ+μ=1的点P有三个.endprint

图5

思索 这里选取与两不共线向量为基底，利用点E是平行四边形ABCD对角线BD的n（n∈N且n≥2）等分点中最靠近点D的那点，求出与的关系；再利用向量的加法，即可用与表示出.

破解 依题意与图形得==（n∈N且n≥2），所以=，所以=+=+，即=+.

1. 设O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）

A. 相等向量

B. 模相等的向量

C. 共线向量

D. 共起点的向量

2. 如图6，e1，e2是互相垂直的单位向量，则向量a-b可表示为（ ）

A. -2e1-4e2

B. 3e2-e1

C. 3e1-e2

D. e1-3e2

3. 设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，则实数y的值为（ ）

A. 3 B. 4

C. - D. -

4. 如图7，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，则·=______.

图7

5. 如图8，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若动点P从点A出发，沿正方形的边按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D.

（1）当点P为边BC的中点时，请用，表示；？摇

（2）满足=λ+μ且λ+μ=1的点P有几个？

参考答案

1. 因为点O是△ABC的中心，所以点O到△ABC的三个顶点的距离都相等，即==，所以应选B.

2. 如图9，a-b==-=e1-3e2. 选D.

图9

3. 因为3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，所以（3x-4y+7）e1+（10-y-2x）e2=0. 又因为向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以可得3x-4y+7=0，10-y-2x=0，解得x=3，y=4.选B.

4. 以，为基底，将已知条件中的有关向量用，表示出来，列方程组求解. =+，=-+；代入·=2，得 -2-·+2=2，得·=22.

5. （1）因为点P为边BC的中点，所以=+？摇①. 因为DE=CD，所以=2，所以=+=+2=-2. 因为，不共线，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ，使=λ+μ，所以=（λ-2μ）+μ？摇②. 因为，不共线，由①②可得λ-2μ=，μ=，解得λ=，μ=.所以=+.

（2）若λ+μ=1，则λ=1-μ，因为=λ+μ，所以=（1-μ）+μ，所以-=μ（-），所以=μ，所以B，P，E三点共线，所以动点P落在点B，E，以及BE与边AD的交线上，即满足λ+μ=1的点P有三个.endprint

图5

思索 这里选取与两不共线向量为基底，利用点E是平行四边形ABCD对角线BD的n（n∈N且n≥2）等分点中最靠近点D的那点，求出与的关系；再利用向量的加法，即可用与表示出.

破解 依题意与图形得==（n∈N且n≥2），所以=，所以=+=+，即=+.

1. 设O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）

A. 相等向量

B. 模相等的向量

C. 共线向量

D. 共起点的向量

2. 如图6，e1，e2是互相垂直的单位向量，则向量a-b可表示为（ ）

A. -2e1-4e2

B. 3e2-e1

C. 3e1-e2

D. e1-3e2

3. 设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，则实数y的值为（ ）

A. 3 B. 4

C. - D. -

4. 如图7，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，则·=______.

图7

5. 如图8，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若动点P从点A出发，沿正方形的边按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D.

（1）当点P为边BC的中点时，请用，表示；？摇

（2）满足=λ+μ且λ+μ=1的点P有几个？

参考答案

1. 因为点O是△ABC的中心，所以点O到△ABC的三个顶点的距离都相等，即==，所以应选B.

2. 如图9，a-b==-=e1-3e2. 选D.

图9

3. 因为3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，所以（3x-4y+7）e1+（10-y-2x）e2=0. 又因为向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以可得3x-4y+7=0，10-y-2x=0，解得x=3，y=4.选B.

4. 以，为基底，将已知条件中的有关向量用，表示出来，列方程组求解. =+，=-+；代入·=2，得 -2-·+2=2，得·=22.

5. （1）因为点P为边BC的中点，所以=+？摇①. 因为DE=CD，所以=2，所以=+=+2=-2. 因为，不共线，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ，使=λ+μ，所以=（λ-2μ）+μ？摇②. 因为，不共线，由①②可得λ-2μ=，μ=，解得λ=，μ=.所以=+.

（2）若λ+μ=1，则λ=1-μ，因为=λ+μ，所以=（1-μ）+μ，所以-=μ（-），所以=μ，所以B，P，E三点共线，所以动点P落在点B，E，以及BE与边AD的交线上，即满足λ+μ=1的点P有三个.endprint