三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式

金石

1. 角的分类

（1）按旋转方向分类可以分为正角、负角和零角.

（2）按终边的位置可以分为象限角和轴线角. 终边在x轴上的角的集合为{αα=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为αα=kπ+，k∈Z？摇.

（3）按照终边是否相同分类. 与α的终边相同的角的集合为{ββ=2kπ+α，k∈Z}，与α的终边共线的角的集合为{ββ=kπ+α，k∈Z}.

2. 已知角α的取值范围或所在的象限，求所在的象限

一般有直接法和几何法两种解法，其中几何法的具体操作如下：如图1，把各象限均分为2等份，再从x轴正向的上方按逆时针的顺序起，依次将各区域标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原来是第几象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域. 这个结论在三角恒等变换中经常要用到，应该记住此结论.

3. 根据三角函数的定义，求角α的三角函数值？摇

（1）已知角α的终边上一点P的坐标，则可先求此点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.

（2）已知角α的终边所在的直线方程，需分两种情况取点：先在终边上的两条射线上分别取点，再利用三角函数的定义去求解；根据直线方程直接求出tanα，然后再根据角的终边所在的象限求出其他的三角函数值.

4. 同角三角函数关系式的用途

（1）根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值.

（2）化简同角三角函数式.

（3）证明同角的三角恒等式.

（4）注意公式的逆用和变形用，如在解决齐次分式求值问题时，经常要用到sin2α+cos2α=1，sin2α=1-cos2α，sinα=cosαtanα等形式.

5. 使用诱导公式的注意事项

（1）使用步骤：负化正，大化小，小化锐是终了.

“负化正”，即使用sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα这组公式将负角转化为正角.

“大化小”是指当角较大时可以使用sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（kπ+α）=tanα这组公式将已知角转化为0～360°的角.

“小化锐”是指利用π±α，±α（k=1，3）这组诱导公式将小角化为锐角，不管用哪组诱导公式，最终的求值问题，一般都转化为特殊角的三角函数求值问题，所以一定要牢记特殊角的三角函数值.

（2）所有的诱导公式都可以归纳为k·+α（k∈Z）的三角函数值：当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇、偶是指k的奇、偶.

6. 化简三角函数式

化简三角函数式的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形.

7. 涉及扇形的周长或者面积的有关最值问题

涉及扇形的周长或者面积的有关最值问题一般有两种解法，其一是列出有关弧长或半径的函数关系式，利用函数的观点求函数的最值；其二是利用基本不等式求最值. 不管用哪种方法，一定要注意变量的取值范围及取得最值时变量的值.

例1 （2014年高考新课标卷Ⅰ）已知角α的终边经过点（-4，3），则cosα等于（ ）

A. ？摇？摇 ？摇 ？摇B. ？摇？摇？摇

C. -？摇 D. -

思索 本题考查三角函数的定义.

破解 根据题意可得，cosα== =-. 故选D.

评析 已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出此点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义cosα=求解.

例2 已知α是第三象限角，sinα=-，则cotα=______.

思索 本题考查同角三角函数的关系式.

破解 解法一：由三角函数同角函数的关系式得cosα=±= ±=±.又因为α是第三象限角，且cosα<0，所以cosα= -，所以cotα==2.

解法二：由三角函数的定义可知，sinα=，x=-=-= -2. 因为α是第三象限角，所以可认为角α的终边过点（-2，-1），所以cotα===2.

评析 已知一个角的三角函数值求其他角的三角函数值，一般有两种方法：一是根据同角三角函数的关系式求解；二是根据三角函数的定义，确定终边上一点的坐标，再由三角函数的定义求出其他的三角函数值. 不管用哪种方法，一定要注意角的取值范围.

例3 （2014年高考大纲卷） 设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）

A. a>b>c？摇？摇 B. b>c>a？摇？摇

C. c>b>a？摇？摇 D. c>a>b

思索 本题考查诱导公式、同角三角函数的关系式，以及函数y=sinx的单调性.

破解 因为b=cos55°= sin35°>sin33°，所以b>a. 因为01，所以>sin35°. 又c=tan35°=>sin35°，所以c>b，所以c>b>a，故选 C.

评析 本题主要运用转化与化归的思想，结合诱导公式、同角三角函数的关系式，利用函数单调性加以解决. 不同名时化同名，有切有弦化为弦.

例4 （2013年高考浙江卷）已知α∈R，sinα+2cosα=，则tan2α等于（ ）

A. ？摇 B. ？摇？摇？摇？摇？摇

？摇 C. -？摇？摇？摇？摇？摇？摇 D. -

思索 本题考查同角三角函数的基本关系式及正切的二倍角公式.

破解 把条件中的式子两边平方，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=，即3cos2α+4sinαcosα=.

所以=，所以=，即3tan2α-8tanα-3=0，解得tanα=3或-，所以tan2α==-，故选C.

评析 本题利用齐次式的思想，结合同角三角函数的基本关系式及正切的二倍角公式解决给值求值的问题，考查同学们的推理论证能力和运算求解能力.

例5 已知角α的终边上一点P（-4，3），求的值.

思索 利用诱导公式化简，再代入求值.

破解 因为角α的终边上一点P（-4，3），所以r==5，sinα=，cosα=-.

所以===-2sinα=-.

例6 一扇形的周长为30 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

思索 本题考查扇形的面积公式及函数最值问题.

破解 解法一：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=30，即l=30-2r（0

-r-2+.所以当且仅当r=时，S有最大值，此时l=30-2×=15，α===2，所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值.

解法二：设扇形的圆心角为α（0<α<2π），半径为r，面积为S，弧长为l，则l=αr. 由题意有αr+2r=30，得r=，故扇形的面积S=2·α==≤=（cm2），所以当且仅当α=，即α=2rad时取等号. 此时扇形有最大面积，最大面积是 cm2.

评析 本题解法一是利用扇形的面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值；解法二借助基本不等式求最值，不管运用何种方法，一定要注意函数的定义域. 利用此法也可以解决当扇形的面积一定时求其周长的最小值问题.

1. sin585°的值为（ ）

A. -？摇？摇？摇？摇 B. ？摇？摇？摇？摇

C. -？摇？摇？摇 D.

2. 下列关系式中正确的是（ ） A. sin11°

B. sin168°

C. sin11°

D. sin168°

3. 若扇形的圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（ ）

A. 1：3？摇？摇？摇？摇B. 2：3？摇？摇？摇 C. 4：3？摇？摇？摇D. 4：9

4. 已知sinθcosθ=，且<θ<，则cosθ-sinθ的值等于（ ）

A. ？摇？摇？摇？摇？摇 B.？摇？摇？摇？摇？摇

C. -？摇？摇？摇？摇 D. ±

5. 已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=-，则tanα=________.

参考答案

1. A 由已知，sin585°=sin（360°+225°）=sin225°=sin（180°+45°）=-sin45°=

-，故选A.

2. C 由已知sin168°=sin（180°-12°）=sin12°，cos10°=cos（90°-80°）=sin80°，且sin11°

3. B？摇 设扇形的半径为R，内切圆的半径为r，扇形面积为S，内切圆的面积为S′. 因为扇形的圆心角为，所以R-r=2r，R=3r，===，故选B.

4. C？摇 因为<θ<，所以cosθ

5. - 因为α是三角形的内角，且已知sinα+cosα=-，所以α∈，π，所以sinα-cosα>0，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，所以sinα·cosα=-，（sinα-cosα）2=1-2sinα·cosα=，所以sinα-cosα=，所以sinα=，cosα=-，得tanα=-.

A. ？摇 B. ？摇？摇？摇？摇？摇

？摇 C. -？摇？摇？摇？摇？摇？摇 D. -

思索 本题考查同角三角函数的基本关系式及正切的二倍角公式.

破解 把条件中的式子两边平方，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=，即3cos2α+4sinαcosα=.

所以=，所以=，即3tan2α-8tanα-3=0，解得tanα=3或-，所以tan2α==-，故选C.

评析 本题利用齐次式的思想，结合同角三角函数的基本关系式及正切的二倍角公式解决给值求值的问题，考查同学们的推理论证能力和运算求解能力.

例5 已知角α的终边上一点P（-4，3），求的值.

思索 利用诱导公式化简，再代入求值.

破解 因为角α的终边上一点P（-4，3），所以r==5，sinα=，cosα=-.

所以===-2sinα=-.

例6 一扇形的周长为30 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

思索 本题考查扇形的面积公式及函数最值问题.

破解 解法一：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=30，即l=30-2r（0

-r-2+.所以当且仅当r=时，S有最大值，此时l=30-2×=15，α===2，所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值.

解法二：设扇形的圆心角为α（0<α<2π），半径为r，面积为S，弧长为l，则l=αr. 由题意有αr+2r=30，得r=，故扇形的面积S=2·α==≤=（cm2），所以当且仅当α=，即α=2rad时取等号. 此时扇形有最大面积，最大面积是 cm2.

评析 本题解法一是利用扇形的面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值；解法二借助基本不等式求最值，不管运用何种方法，一定要注意函数的定义域. 利用此法也可以解决当扇形的面积一定时求其周长的最小值问题.

1. sin585°的值为（ ）

A. -？摇？摇？摇？摇 B. ？摇？摇？摇？摇

C. -？摇？摇？摇 D.

2. 下列关系式中正确的是（ ） A. sin11°

B. sin168°

C. sin11°

D. sin168°

3. 若扇形的圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（ ）

A. 1：3？摇？摇？摇？摇B. 2：3？摇？摇？摇 C. 4：3？摇？摇？摇D. 4：9

4. 已知sinθcosθ=，且<θ<，则cosθ-sinθ的值等于（ ）

A. ？摇？摇？摇？摇？摇 B.？摇？摇？摇？摇？摇

C. -？摇？摇？摇？摇 D. ±

5. 已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=-，则tanα=________.

参考答案

1. A 由已知，sin585°=sin（360°+225°）=sin225°=sin（180°+45°）=-sin45°=

-，故选A.

2. C 由已知sin168°=sin（180°-12°）=sin12°，cos10°=cos（90°-80°）=sin80°，且sin11°

3. B？摇 设扇形的半径为R，内切圆的半径为r，扇形面积为S，内切圆的面积为S′. 因为扇形的圆心角为，所以R-r=2r，R=3r，===，故选B.

4. C？摇 因为<θ<，所以cosθ

5. - 因为α是三角形的内角，且已知sinα+cosα=-，所以α∈，π，所以sinα-cosα>0，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，所以sinα·cosα=-，（sinα-cosα）2=1-2sinα·cosα=，所以sinα-cosα=，所以sinα=，cosα=-，得tanα=-.

A. ？摇 B. ？摇？摇？摇？摇？摇

？摇 C. -？摇？摇？摇？摇？摇？摇 D. -

思索 本题考查同角三角函数的基本关系式及正切的二倍角公式.

破解 把条件中的式子两边平方，得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=，即3cos2α+4sinαcosα=.

所以=，所以=，即3tan2α-8tanα-3=0，解得tanα=3或-，所以tan2α==-，故选C.

评析 本题利用齐次式的思想，结合同角三角函数的基本关系式及正切的二倍角公式解决给值求值的问题，考查同学们的推理论证能力和运算求解能力.

例5 已知角α的终边上一点P（-4，3），求的值.

思索 利用诱导公式化简，再代入求值.

破解 因为角α的终边上一点P（-4，3），所以r==5，sinα=，cosα=-.

所以===-2sinα=-.

例6 一扇形的周长为30 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

思索 本题考查扇形的面积公式及函数最值问题.

破解 解法一：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=30，即l=30-2r（0

-r-2+.所以当且仅当r=时，S有最大值，此时l=30-2×=15，α===2，所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值.

解法二：设扇形的圆心角为α（0<α<2π），半径为r，面积为S，弧长为l，则l=αr. 由题意有αr+2r=30，得r=，故扇形的面积S=2·α==≤=（cm2），所以当且仅当α=，即α=2rad时取等号. 此时扇形有最大面积，最大面积是 cm2.

评析 本题解法一是利用扇形的面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值；解法二借助基本不等式求最值，不管运用何种方法，一定要注意函数的定义域. 利用此法也可以解决当扇形的面积一定时求其周长的最小值问题.

1. sin585°的值为（ ）

A. -？摇？摇？摇？摇 B. ？摇？摇？摇？摇

C. -？摇？摇？摇 D.

2. 下列关系式中正确的是（ ） A. sin11°

B. sin168°

C. sin11°

D. sin168°

3. 若扇形的圆心角为，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为（ ）

A. 1：3？摇？摇？摇？摇B. 2：3？摇？摇？摇 C. 4：3？摇？摇？摇D. 4：9

4. 已知sinθcosθ=，且<θ<，则cosθ-sinθ的值等于（ ）

A. ？摇？摇？摇？摇？摇 B.？摇？摇？摇？摇？摇

C. -？摇？摇？摇？摇 D. ±

5. 已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=-，则tanα=________.

参考答案

1. A 由已知，sin585°=sin（360°+225°）=sin225°=sin（180°+45°）=-sin45°=

-，故选A.

2. C 由已知sin168°=sin（180°-12°）=sin12°，cos10°=cos（90°-80°）=sin80°，且sin11°

3. B？摇 设扇形的半径为R，内切圆的半径为r，扇形面积为S，内切圆的面积为S′. 因为扇形的圆心角为，所以R-r=2r，R=3r，===，故选B.

4. C？摇 因为<θ<，所以cosθ

5. - 因为α是三角形的内角，且已知sinα+cosα=-，所以α∈，π，所以sinα-cosα>0，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，所以sinα·cosα=-，（sinα-cosα）2=1-2sinα·cosα=，所以sinα-cosα=，所以sinα=，cosα=-，得tanα=-.