共晶生长的溶质扩散解＊

陈 溯，王海丰，刘 峰

（西北工业大学 凝固技术国家重点实验室，西安710072）

共晶生长是共晶材料成型过程中非常重要的一环，直接影响材料的性能，其生长机理已经得到了广泛的研究．Jackson和 Hunt（JH）［1］首次建立了描述规则层片共晶稳态生长的经典理论模型，其假设共晶界面是平界面且液相溶质成分与共晶成分相同．JH模型经后人不断修正后，目前仍广泛应用于多相共晶生长［2］和共析转变［3］．但这些模型［1-3］由于仅考虑小Peclet数情形而只适用于小过冷度情况．Donaghey和 Tiller［4］通过考虑平界处的溶质成分变化对JH解进行了改进．为了定量揭示快速共晶凝固的物理本质，Trivedi-Magnin-Kurz（TMK）［5］将 DT 解简化到两种相图，即共晶温度以下两相液固相线相互平行的雪茄形相图和两相平衡分配系数为常数且相等的相图．由于其简单明晰，TMK模型目前仍被广泛应用于快速凝固［6-7］．此外，Galenko和 Herlach［8］通过考虑液相溶质扩散局域非平衡对TMK解进行了拓展．需要特别指出的是，上述工作［1-8］仅严格适用于液固相线为线性的稀固溶体合金系．

共晶的组成相可分为固溶体（Solid-Solution Phase，SSP）、化 学 计 量 化 合 物 （Stoichiometric Compound，SC）和非化学计量化合物（Non-Stoichiometric Compound，NSC），故二元共晶可相应分为6种共晶系，即SSP-SSP，SSP-SC，SSP-NSC，SC-SC，SC-NSC和NSC-NSC型共晶．共晶种类如此丰富以至于共晶相图往往远远偏离线性液固相线假设，从而使DT［11］和TMK 模型［12］在实际应用中失效．此外，在经典论著［9-10］以及JH［1］、DT［4］和TMK模型［5］中均有三相交界线（Triple-Junction，TJ）处成分偏离共晶点成分这一结论，这显然与TJ动力学理论相矛盾．如对于共晶反应L→α＋β，TJ同时属于α／L和β／L界面，因而应同时遵循α／L和β／L的界面动力学，由此所计算出的动力学共晶点（或TJ点）成分和温度也将随界面移动速度的变化而变化．对于平界面情形，TJ位于固相两相相交生长处，此时两相的L／S界面前沿具有相同的溶质浓度和摩尔Gibbs自由能曲线的液相线切线，即TJ动力学可以确定溶质浓度．但上述经典模型并不能准确描述此现象，故文中将TJ动力学条件作为共晶模型的边界条件之一，建立快速凝固时的规则层片共晶模型，有效解决TJ处成分偏离共晶成分这一现象．

1 共晶生长的溶质扩散

共晶生长示意图如图1所示，片层间距为λ，α相和β相的半层片宽度为Sα和Sβ

图1 共晶生长示意图Fig．1 A schematic diagram for modeling eutectic growth

在动坐标系中，当平界面以常速V沿Z轴正方向移动时的溶质扩散方程为

远场边界条件为

周期边界条件为

式中：CL为溶质成分；C∞为液相无限远处溶质成分；DL为液相溶质扩散系数．

根据DT模型［4］，扩散方程式（1）满足边界条件式（2）和式（3）的通解为

如若α相和β相均为SC，那么固相溶质成分Cα和Cβ均为常数，此时联立式（4）和式（5）得

由式（4）和式（8）可得

可见，TJ动力学条件式（8）是推得SC-SC共晶系精确解式（4）、式（7）和式（9）的一个必要条件．如若共晶相为SSP或NSC，固相和液相溶质成分沿界面均会发生变化且其分配系数与成分有关，此时溶质扩散方程不存在解析解．为了获得解析解，本文沿用了共晶理论中的平均界面动力学条件［1-10］的思想，引入了界面处的平均溶质守恒条件

利用类似方法也可以通过TJ动力学条件式（8）得到系数B0式（9），继而得到通解式（4）、式（9）和式（12）．此处再次证实了TJ动力学条件是溶质扩散解的一个必要边界条件．

此前工作［1-10］所采用的不合理的界面溶质守恒条件是造成TJ成分偏离共晶成分的原因，如JH模型［1］采用

其中Cα，Cβ和CE均可通过平衡或非平衡相图获得．如果给定V和T，ΔCα和ΔCβ为常数，进而联立式（4）和式（13）得

JH模型并未考虑成分沿平界面的变化，从而造成了JH解式（4）、式（14）和式（15）在Pe数较大时TJ成分CTJL远远偏离共晶成分CE，见第2节．

DT［4］和TMK模型［5］中界面溶质守恒条件为

其中kα和kβ为平衡或非平衡分配系数．如果分配系数为常数但成分却沿平界面发生变化，那么根据界面动力学，界面温度或速度必然沿界面发生改变．这就意味着DT和TMK模型所采用的界面溶质守恒条件与等温稳态共晶生长的前提相矛盾．文中假设沿界面发生的成分变化为两个液固界面的平均成分，避免了式（16）所带来的理论问题，但此时刚好引入新的边界条件，即TJ动力学条件．

2 CuZr-Cu5Zr8（γ-δ）共晶生长

图2给出了不同Pe数和位置处的成分分布．其中粗线、中线、细线分别表示X＝0，X＝SE，X＝λ／2处的溶质浓度，实线、虚线、点线分别表示JH解、精确解、通解．如图2（a）和（b）中虚线和点线所示，在Pe＝0．001时通解与精确解几乎重合，在Pe＝1时偏差甚小；而由图2（a）～（d）的实线和虚线可知无论Pe数大或小，JH解的预测值明显偏离精确值．这说明求共晶生长的溶质扩散解时必须考虑成分沿界面的变化．

由图2也可以看出通解在Pe＜1时，与JH解、精确解都几乎重合，但随着Pe的增大，与JH解类似都与精确值发生偏离，且偏离量小于JH解．这是因为通解和精确解建立在不同的假设上，精确解建立在平界面假设上，通解则建立在界面处的平均溶质守恒假设上．

图2 不同Pe＝0．001（a），1（b），5（c），10（d）时，X＝0，X＝Sα＝SE，X＝Sβ＝λ／2处的液相溶质成分分布Fig．2 The liquid concentration profiles at X＝0，X＝Sα＝SE，and X＝Sβ＝λ／2for different Peclet numbers Pe＝0．001（a），1（b），5 （c）and 10 （d）during the CuZr-Cu5Zr8lamellar eutectic growth

图3 CuZr-Cu5Zr8片层共晶生长时Pe数对界面上液相平均溶质浓度和TJ处液相溶质浓度的影响

3 结 论

1）将TJ动力学耦合入共晶生长理论，得到了稳态片层共晶生长扩散方程的通解，通解适用于任意共晶系与共晶相图的快速凝固．

2）Ni5Si2-Ni3Si（CuZr-Cu5Zr8）共晶生长的模拟结果表明通解具有收敛性，在小过冷情形下（Pe＜1）与精确解和JH解具有很好的近似．在大过冷情形下（Pe＞1），JH模型失效，此时通解缺少合理的参照．

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［2］ CHOUDHURY A，PLAPP M，NESTLER B．Theoretical and Numerical Study of Lamellar Eutectic Three-Phase Growth in Ternary Alloys［J］．Phys Rev E，2011，83：051608．

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