彰显向量魅力搞好数学教学

章建民

向量是既有大小又有方向的量，它代数形式与几何形式兼具，是数学中的一个重要概念.同时向量又是联系众多数学知识的媒介和桥梁.作为一个知识网络交汇点，向量既是解决数学问题的有力工具，同时也是高考考查的重点.因此向量题一直备受命题者的青睐，其中尤以浙江省的向量命题最富特色.从2004年浙江实施高考自主命题以来，向量题年年都考，而且都以填空题或选择题形式出现，题目短小精悍、内涵丰富、思想深刻、解法多样、别具一格，彰显浙江卷特色.本文以十年来浙江高考理科数学试卷中的向量题为例进行说明.

1.以向量的模和数量积为抓手，考查学生运用基础知识分析问题和解决问题的能力

概念是思维的基本单位，理解和掌握概念是学好数学的前提.正如李邦河院士所言：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不是道也！”以概念为核心的基础知识一直是高考考查的重点.向量的基础知识包括向量的概念、向量的表示、向量的加减法、数乘和数量积运算、向量的坐标运算、平面向量基本定理等.其中突出以向量的模和数量积为抓手，通过数量积和模取值的运算，考查学生运用基础知识分析问题和解决问题的能力.

例1 （2012年考题）在△ABC中，M是BC中点，AM=3，BC=10，则AB·AC=______ .

解析 如图1所示，AB·AC=（AM+MB）·（AM+MC）=

AM2+AM·（MB+MC）+MB·MC=9-25=-16.

2.以向量的几何意义为主线，考查学生数形结合、简洁运算的能力

向量可以用一条有向线段来表示，这赋予了向量“形”的特征，而向量的模与夹角、向量加（减）法的平行四边形（三角形）法则、向量的数乘和数量积、向量的平行与垂直的充要条件更丰富了向量几何意义的内涵，使得很多问题可以运用几何方法来求解.而通过对向量几何意义的理解和运用，考查学生对数形结合思想的领悟和把握是浙江高考命题的鲜明特点，十年来，浙江高考数学理科卷一共考查了十二道向量小题，几乎每一道题都可以挖掘几何背景，作出相关向量，构造特征图形，借助“形”的直观性，揭示隐蔽的数量关系，从而使问题简洁获解.

例2 （2010年考题）已知平面向量

α，β（α≠0，α≠β）满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则|α|的取值范围是 ______.

解析 作△ABC及其外接圆（如图2），使AB=β，

AC=α，

于是边AB=1，劣弧AB所对圆周角即∠ACB=π3，因此边AC最大值为外接圆直

径2R，而2R=1sinπ3=233，所以0<|α|=233.

此题若用代数方法也不难获解，但从向量几何意义的角度来思考，则会对代数运算的结果理解得更透彻.

3.以向量与其它知识的交汇为重点，深层次考查学生的思维能力

数学学科高考命题强调以“能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，考查学生对知识的理解和运用，尤其是综合和灵活的运用，以此检测学生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测学生理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.而在知识网络交汇点处设计试题，正是体现“以能力立意”命题的一个重要标志.向量作为联系代数、几何、三角知识的桥梁和纽带，处于知识网络的交汇点，自然成为命题者关注的对象.浙江卷中的不少试题，就是以向量为载体，着眼向量与其它知识的联系与交汇，通过知识的迁移与综合，深层次考查学生的思维能力和思维品质.

例3 （2009年考题）设向量a，b满足：|a|=3，|b|=4，a·b=0，设a，b，a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

解析1 根据向量减法的几何意义，a，b，a-b构成边长分别为3、4、5的Rt△（如图3），其内切圆半径为3+4-52=1.将内切圆向上或向下平移，可知该圆与三角形的边最多有4个交点.

解析2 在如图4所示的直角坐标系中，设OA=a=（3，0），OB=b=（0，4），则直线AB方程为

x3+y4=1

即4x+3y-12=0.再设圆方程为（x-a）2+（y-b）2=1，圆心到三边的距离分别为d1=|a|，d2=|b|，d3=|4a+3b-12|5，容易判断，d1、d2、d3均小于1不成立，d1、d2、d3中一个为1，另两个小于1也不成立，而d1、d2、d3中两个小于1，另一个大于1是成立的，所以最多有4个交点.

4.几点启示

（1）坚持狠抓基础知识不动摇.向量的概念、向量的表示、向量的运算、向量的几何意义、平面向量基本定理等基础知识既是高考对向量考查的重点，又是推理论证、运算求解、联系迁移的依据.俗话说：“基础不牢，地动山摇.”只有牢固掌握了基础知识，在分析问题时，才能看透本质、运用自如，从而唤醒学生的深层次思维;否则，解题便成了“无源之水，无本之木”了.因此我们要狠抓“三基”教学，即狠抓基本知识、基本技能、基本方法的教学.特别要坚持“过程的教学”，注重数学知识发生发展的过程，展示和暴露学生的思维过程，充分挖掘课本中每一个概念自然的内涵及与它相关联的知识之间的联系，形成知识网络.只有让学生充分地经历这个过程，才能使他们领悟数学概念的本质，感受数学的思想方法，从而提高分析问题、解决问题的能力.

（2）熟练掌握通性通法是硬道理.通性通法是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的思想方法，通性通法是解决问题的基本方法，也是学生应该重点掌握的方法.高考注重通性通法的考查.从上面高考题的解析来看，解决向量问题的基本方法不外乎三种，一是整体法，即通过公式a2=|a|2，沟通向量与实数的联系，将向量的运算转化为向量的模即实数的运算;二是坐标法，即依据向量满足的条件，把它们的坐标设出来，利用向量的坐标运算来处理问题;三是几何法，即利用向量的几何意义，构造图形，利用数形结合的思想解决问题，这些方法都是解决向量问题的最普遍、最本质的方法，并非特殊技巧.在教学中，教师要注重通解通法，引导学生从最常规、最本质、最自然的角度思考问题，使学生熟练掌握解决问题的基本方法.要切实淡化技巧，不追牛角尖，不将精力放在钻研偏题、怪题和难题上，要加强运算能力和数学推理能力的培养，在数学思想和方法上多下功夫.

（3）培养“数形结合”思考问题的好习惯.数学研究的对象是数量关系和空间形式，即“数”与“形”两个方面，它们之间并不是孤立的，而是有着密切的联系，使得对数量关系的研究可以转化为对图形性质的研究，反之，也可以使对图形性质的研究转化为对数量关系的研究.这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，即是数形结合的思想.在高考中，常利用填空题或选择题考查学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而对于解答题，考虑到推理论证的严密性，考查则以由“形”到“数”为主.向量有着丰富的几何背景，数形结合是解决向量问题的有效策略.这就要求我们在教学中应引导学生养成数形结合思考问题的习惯，遇到问题常想图形，要能画图、会画图，做到心中有图、脑中有图，借助图形的直观形象，达到解决问题的目的.