一道练习题所想到的结论

赵宪君

（吉林省四平市伊通满族高级中学数学组）

圆锥曲线知识是现行高中解析几何学的重要内容之一，既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。在每年的全国高考题中，有关圆锥曲线的试题占解析几何总分值的三分之二，约占全卷总分的13%。有关圆锥曲线的试题每年一般有两到三道，其中两道为选择题或填空题，一道为解答题，是高中数学的重点内容之一。随着新课改的进行，其重要性应该不会下降。而解析几何问题的解答又非常烦琐，计算量又非常的大，所以学生在解答解析几何问题时会浪费很多时间还会出现很多失误导致解答的失败。那么一些有用的数学结论就显得尤为重要，它能帮助学生快速地解题。那么教师就要在平时讲课时注意发现一些有用的结论教给学生并注意在平时注意应用。

例如：2015 届高三第三次月考题，选择题第12 题：椭圆=1 的左、右顶点分别为A1，A2，点P 在椭圆C 上且直线PA2的斜率的取值范围是［-2，-1］，那么直线PA2的斜率的取值范围是（ ）此题解答比较麻烦，学生不易得到正确的答案。

但它与人教版选修2-1 教材中的两个例题有关。人教版选修2-1 教材第41 页例3 如右图，设点A，B 的坐标分别为（-5，0），（5，0）直线AM，BM 相交于点M 且它们的斜率之积是-，求点M 的轨迹方程并判断轨迹形状。

人教版选修2-1 教材第55 页探究如右图，设点A，B 的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM 相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M 的轨迹方程并判断轨迹形状。

由这两个例子可以看出，分别过两个定点的直线斜率之积等于一个常数，那么这两个直线的交点的轨迹就是双椭圆或双曲线。这个结论是不是一个一般的结论教师就要把这个结论给学生做一个总结，得出一个普遍的结论。

设点A，B 的坐标分别为（-a，0），（a，0）（a＞0），直线AM，BM 相交于点M，且它们的斜率之积是t（t 是常数，且t≠0），求点M 的轨迹方程并判断轨迹形状。

解：设点M 的坐标为（x，y）

所以，（1），当t=-1 时，方程为x2+y2=a2，则点M 的轨迹是个圆心在原点，半径为的圆。（2）当t=1 时，方程为x2-y2=a2，则点M的轨迹是中心在原点的等轴双曲线。（3）当t＜0 且t≠-1 时，方程为=1，则点M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴的椭圆。（4）当t＞0 且t≠-1 时，方程为=1，则点M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴的双曲线。

这是一个一般的结论，再把这个结论做一个推广，那就是：如果分别过两个定点的直线交于一点斜率之积等于常数t，那么交点的轨迹是个椭圆其方程为=1，那么这个常数t 与a，b 的关系为

应用这个结论，上面的12 题就好做了。

这就是一个普通结论在解题中的应用。在数学中这样的结论有很多教师要善于给学生总结，有了一个一般的结论，学生在解题时加以应用，就可以大大提高学生的解题速度。