基于Laplace谱的点模式匹配方法研究

鲍新雪，王晓红

（1.贵州大学 矿业学院，贵州 贵阳 550025；2.贵州大学 林学院，贵州 贵阳 550025）

图像匹配就是指通过一定的匹配算法在两幅或多幅图像之间识别同名点。遥感图像匹配是指将取自同一目标区域的两幅或多幅图像在空间位置上最佳匹配起来［1］。就当前的图像匹配技术水平，基于特征的影像匹配较基于灰度的影像匹配体现出了较高的可靠性和鲁棒性等诸多优势，而且点特征又是诸多特征中较为稳定且易于识别的特征，因此，点模式匹配技术在一定程度上可以很好地实现图像的匹配，对它的研究具有极大的理论意义和实践价值。点模式匹配技术在诸多领域都有广泛的应用，总结起来包括以下三点［2］：

1）实现从不同的角度拍摄同一地物的多视点影像的三维重建。

2）对来自不同传感器、不同时间获取的同一场景的影像数据进行融合和建模，或者在医学成图中（MRI／CT影像）在不同条件、不同应用程序控制下对同一部位获取的影像数据进行融合和建模。

3）用基于模型的方法跟踪和识别在图像中涉及的模块，以及在民事、农业、地质、军队等应用的遥感数据。

Scott和Longuet－Higgins最早提出将图谱知识应用到点模式匹配中，但仅适用于较为简单的图像在理想条件下的匹配［3］。直到特征点邻域灰度矩阵相关系数这一概念的引入，使得真实图像的匹配效果得到极大地改进。后来，Shapiro和Brady通过构造特征点集，引入邻近矩阵等相关概念，在极大程度上克服了旋转情况下图像匹配效果差的缺点［4－5］。随后，谱束的引用较好地克服了点集的不同结构带来的问题；容错核函数代替高斯函数又改进了对点抖动的健壮性［4，6］。Wang又提出用Laplace矩阵来代替邻近矩阵完成图像匹配。最近Carcassoni又把EM算法和谱图理论结合起来，这一结合使得运用谱方法进行匹配的准确度有了很大地提高。

1 基于Laplace谱的点模式匹配

基于特征点的匹配问题一直以来都是遥感应用领域内比较关注的问题，如在实现地物的三维重建时，常采用点模式匹配的方法实现图像匹配，重建地物。而基于谱图理论的点模式匹配方法可以简单地描述为：从两幅选定的待匹配图像中提取出各自的特征点，分别形成特征点集，然后在此基础上建立两个特征点集中相应点之间一一对应的关系［7］。具体进行该方法的匹配操作时，首先要把图用集合的形式表示，集合中的点元素与选取的特征点一一对应，且两个点元素之间的关系可用来表示相应的图中的边。根据集合表示的图形，就可以通过对矩阵进行特征分解的方法得到特征点之间的几何关系。这样就可以把原来图像中的重要信息都反映到一个空间里，便于对两幅图像的特征点间的对应关系进行比较。下面介绍基于Laplace谱的匹配算法。

1.1 基于Laplace谱的点模式匹配算法描述

假设两幅待匹配图像I，J，且从图像I中提取出n 个特征点（k1，k2，…，kn），那么，以这n 个特征点作为节点构造出图像I的完全图，根据得到的完全图即可获得图像I的Laplace矩阵［8－10］

式中：σ是一个常数。同理，对图像J也可以得到相应的Laplace矩阵L（J）。

对得到的矩阵L（I）和L（J）分别进行奇异值分解，有

式中：ΔI、ΔJ分别是由矩阵L（I），L（J）的奇异值组成的对角阵，且对角线上的元素自左上角至右下角依次递减排列（元素值均大于或等于0）；U和V均为n阶正交矩阵。

值得注意的问题是，为了使矩阵U和V的列向量间距离尽可能小，不能对矩阵L（I）和L（J）进行同一约束条件的奇异值分解。因此，往往采用在第一个处理好的基础上再处理第二个，即先把矩阵L（I）分解完成得矩阵U，再以矩阵U的列向量为基础，完成矩阵L（J）的分解，得矩阵V。然后，对矩阵V的列向量进行相应的符号校正，在校正过程中会形成一个最佳符号矩阵S，把校正后的矩阵记做V＊，即V＊＝VS。分别记U 和V＊的行向量为u（i）和v＊（i），且它们分别对应图像I和J的第i个点和第j个点，则

可知，u（i），v＊（i）间 距 与 u（i）（v＊（j））T负 相 关，也 即u（i）（v＊（j））T越大，则图像I中的第i个特征点和图像J中的第j个特征点有最大可能性的匹配关系。有匹配关系矩阵P如下

假设矩阵中的任一元素P是其所在行和列中的最大值，就可认为图像I中的第i个特征点和图像J中的第j个特征相匹配，但这种方法仅适用于提取的特征点数相同的两幅图像。如果从两幅图像中提取出的特征点数目不同，分别为m和n，且m＜n，对于提取出n个特征点的图像只处理前（m－1）个特征点和最后一个特征点的特征向量；对于提取出m个特征点的图像则处理全部特征点的特征向量。

1.2 基于Laplace谱的点模式匹配算法流程

第一步：分别从两幅待匹配的图像中提取出各自的特征点，并把它们作为节点组成各自的结构图，然后根据结构图分别生成各自相应的Laplace矩阵；

第二步：对得到的Laplace矩阵分别进行奇异值分解，而后把其中任一分解结果作为基准，对另一分解结果进行相应的符号校正；

第三步：根据前面的结果构造出能够反映图像匹配程度的矩阵P，通过比较矩阵P中的任一元素在其所属行和列的大小，可得两幅图像中相应特征点的匹配结果，据此完成匹配。

2 实验及结果

2.1 实验设计

为了验证基于Laplace谱的点模式匹配算法的准确度及稳定性，明确如下实验思路：

首先选择特征鲜明的仿真图像（纹理稀疏，无明显的灰度梯度信息）作为实验数据，在Matlab环境下分别实现在理想和存在噪声情况下的图像匹配，并分析匹配结果，通过匹配结果验证该算法的准确度及稳定性［11］。其中，特征点是通过 Harris角点检测法获取的，其检测公式为

然后利用该匹配技术完成真实影像的匹配，分析匹配结果验证该匹配技术的可行性。最后通过和基于灰度的图像匹配技术的对比分析，验证该匹配技术的优势。匹配技术实现流程如图1所示。

图1 匹配技术流程

2.2 技术实现及结果分析

2.2.1 仿真数据技术实现及结果分析

在理想情况下的匹配结果如图2所示，匹配结果分析如表1所示。

图2 理想情况下的匹配结果

表1 理想情况下匹配结果分析

存在噪声情况下的匹配结果如图3所示，匹配结果分析如表2所示。

图3 存在噪声情况下的匹配结果

表2 存在噪声情况下匹配结果分析

旋转变换矩阵：

根据三组仿真数据匹配结果可知该算法的匹配成功率都非常不错，对于平移匹配的成功率则为100%。虽然当图像发生仿射变换以及存在噪声时的匹配效果不是非常理想，但是在一定程度上也是很好地完成了图像的匹配，稳定性高。

2.2.2 利用该技术实现真实图像匹配及结果分析

真实图像匹配结果如图4所示，匹配结果分析见表3；遥感影像匹配结果见图5，匹配结果分析见表4。

图4 真实图像匹配结果

表3 真实影像匹配结果分析

图5 遥感影像匹配结果

表4 遥感影像匹配结果分析

以上实验表明，基于Laplace谱的点模式匹配算法具有不错的匹配效果，但也存在一定的弊端，虽然把复杂的图像简化成了简单的求解特征值和特征向量的问题很方便，但是，该匹配算法对提取特征点的准确度要求较高，因此，在进行特征点的提取时，一定要先对待匹配影像的形变以及噪声等因素引起的特征点位的变化做相关的预测，以便选取合适的特征点提取算法，确保特征点提取的准确性。在进行基于谱分析方法的匹配时，以待匹配图像的结构图的矩阵为基础来完成两幅图像匹配，而结构图是以提取的特征点为依据的，因此，对特征点的提取要十分注意。

2.2.3 与基于灰度的图像匹配技术实现及结果分析

1）基于灰度的图像匹配实现。如图6及表5所示，基于灰度的图像匹配算法是以像素为基础的，所以该算法实现较为简单，但是计算量很大［12－15］。通过这一组实验结果可知，随着匹配模板尺寸的增大，即像元数量增多，匹配所用的时间就会越长，匹配误差增大，匹配吻合度下降，效果变差。

图6 基于灰度的图像匹配结果

表5 基于灰度的图像匹配结果分析

2）基于Laplace谱的点模式匹配实现。如图7及表6所示，这一组基于Laplace谱的匹配技术的实现表明，该匹配算法把复杂的图像信息转化为简单的相关矩阵求解问题，不仅使复杂的问题简单化，在一定程度上减轻了计算负担，且匹配精度高而稳定。

图7 基于Laplace谱的点模式匹配结果

表6 基于Laplace谱的点模式匹配结果分析

通过上述两种不同匹配技术的实现对比可知，在一定程度上基于Laplace谱的匹配算法比基于灰度的图像匹配算法减轻了计算负担，节约了计算时间，提高了匹配的精度，且稳定性较好。该算法的匹配精度满足当前对图像匹配精度［7］的要求。

3 结束语

本文实验表明基于谱分析方法的点模式匹配算法在很好地概括影像中所包含的信息的前提下，把复杂的图像简化成简单的求解特征值和特征向量的问题，在一定程度上使复杂的问题简单化，减轻计算负担，不仅在很大程度上减少工作量，而且解决传统意义上基于图像局部灰度信息匹配效果差的问题，很好地实现图像的匹配。

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