厘清“分配”，建构乘法分配律

张范辉

前段时间，尤其是苏教版小学数学四年级下册教学进度要推进到“乘法分配律”那几天，教研组里的各位老师已把乘法分配律作为一个话题在讨论了。有过循环教学经验的严老师提醒，“乘法分配律”是易错内容，但又很重要，试卷命题则往往将此作为常设内容。孩子在中学的王老师补充道，乘法分配律是孩子到七年级学习合并同类项内容的基础。年轻的黄老师则提出，咱们开展一次计算比赛，让学生通过计算比赛这样的形式来感悟到乘法分配律的优越性……言谈之中，老师们的话语昭示了乘法分配律这一素材在数与代数以及数的运算中的重要性，同时也感受到学生对此的易错性。

但组内各位老师在这样日常性讨论的过程中却没有就此素材进行知识本身方面的挖掘，讨论的环节给我的感觉就是乘法分配律是一项很重要又很易错的内容，但对教师而言，这个素材的理解与认识已是不成问题，没有必要再在备课、思考上下多少工夫，做好适当的素材准备或者课件准备工作，就可以进入班级执教了。我认为这样较为浅表化的讨论无助于老师们深入认识乘法分配律这一独立于乘法交换律、乘法结合律之外的重要素材。这样的讨论虽能引起老师们主观上的重视，但对于教学乘法分配律这个富有营养价值的数学美食有可能无法起到推进作用。鉴于此，我在思考这节课时向组内的老师们提出这样一个问题：如何理解乘法分配律中“分配”一词？话题一出，各位老师又开始七嘴八舌起来。平日里话语不太多的胡老师先提出，“分配”应该这样来理解，即把括号外的因数分别分配给括号中的另外两个数，比如（5+8）×9，就是把9分别分配给5与8，得到5×9+8×9。话音未落，顾老师即刻反对，不能这么认为，这里的9就是一个因数，怎么能够说成分别分配？应该说成把加数5与8分配给因数9，得到5×9+8×9；陈老师则认为，分配的要义是搭配，即5×9+8×9就是共有9个5共有9个8，然后1个5搭配1个8得到1个13，共能搭配9个13……办公室里热闹一片。

是夜，独坐书房，我继续回味白天的话题：乘法分配律中的“分配”难道就像老师们在办公室里所讨论的那样，只从其字面意义理解成把算式中的一个数或几个数按规则分配来去？或者分配也可以理解成像陈老师所说的那样的搭配，那么既然内涵是搭配，那为何其名称不是乘法搭配律？难道这个精炼的词语所凝练出的定律名称不存有其他更为丰富的数学内在意义？难道乘法分配律中的“分配”只能作为一词理解就不能分而理解成“分”与“配”两个不同之义？如果分开理解，那么何谓“分”、又何谓“配”？乘法分配律这个名称如何对应解释a×c+b×c=（a+b）×c这条字母表达式？

由于对“分配”这个词存有困惑，因此我决定从词典入手，看看平日里所熟悉的“分配”一词到底是什么意义。于百度词典中输入“分配”一词，检索出如下三种意义：①按一定的标准或规定分（东西）；②安排、分派；③经济学上指把生产资料分给生产单位或把消费资料分给消费者。这样的三种意义更多的是解释“分配”一词在日常生产生活与经济学上的用途与安排，因此不能让我释然，无法从中获得数学的启示。转而目光下移，百度词典又将分配一词作分字理解。分：分区划开，分开，划分，分解。配：两性结合、配合，用适当的标准加以调和。

至此，我眼前一亮。这与我此前独自思考时把分配不作为一个完整的词而是分而理解为“分”与“配”有些吻合，再重读品味——“分”意味着分开，“配”意味着结合，心中已然有了感悟。随即翻阅教材，参阅教师用书，慢慢地，就有了今天乘法分配律的备课思路：

如果有两个同样行数的长方形团体操队形，通过乘法运算，可以采用分开计算的办法求出各个队形的人数，从而得出总人数，也可以将两个队形合并为一个完整的队形，从而直接算出总人数；如果有两个同宽的长方形，可以通过分开计算的办法求出各自的面积，从而得出总面积，也可以将这两个长方形合并为一个完整的长方形，从而直接算出总面积；如果有几套共同的上装和裤子，可以通过分开计算的办法分别求出几件上装的价钱与几条裤子的价钱，从而得出总价钱，也可以将一件上装和一条裤子合并为一套衣服，求出一套衣服的价钱后再求出总价钱……而在这过程中，通过分开计算部分量再算总量的方法即是“分”，通过合并为一个整体计算总量的方法即是“配”，而“分”与“配”之间的关联即是长方形队形上相同的行数，是两个长方形上相同的宽，即是上装与裤子相同的件数……如此，字母表达式中的“a×c+b×c”即应该是乘法分配律“分”而求的方法，即是分开计算；“（a+b）×c”对应着的“配”而求的方法，即是合并计算。而此前陈老师所认为的搭配，其数学内涵也是合并，即a×c+b×c中，c个a与c个b相加，其中1个a与1个b合并得到1个（a+b）。

有了这样的思考与解读，即有了以下的教学组织实施。

【课前谈话】

师：孩子们，今天咱们研究的课题是——

生：乘法分配律。

师：课题中的“乘法”同学们都很熟悉，“分”，大家认为它的意思是？

生1：平均分。

生2：分离。

师：是的，“分”的意思很简单，就是分开的意思。那么，“配”又是什么意思呢？

生：我认为和“分”正好相反，可以理解成合并的意思。

师：张老师课前查阅了百度词典，大家看。

这个解释能否给今天的研究带来启示呢？咱们一起来看学习素材。

一、出示情景

师：同学们看到了怎样的信息？

生：黄衣服同学队形，每行13人，有8行。红衣服同学队形，每行11人，有8行。

师：围绕这样的信息，谁能提出相应的问题？

生1：黄衣服同学队形有多少人？红衣服同学队形有多少人？

师：可以一句话概括成两个队形各有多少人？

生2：两个队形一共有多少人？

生3：黄衣服队形比红衣服队形多多少人？

师：好的。同学们都提出了很好的数学问题，为了研究的方便，咱们确定解决这个问题：出示：参加团体操表演的学生一共有多少人？谁有解决办法？

生：我的方法是：13×8+11×8。

师（板书算式）：哎，别急着坐，你能对照情境图，说说算式是什么意思吗？

生：13×8求到的是黄衣服同学队形的人数，11×8求到的是红衣服同学队形的人数，再加起来就求到团体操队形的总人数。

师：好的。老师听出来了，你是把主题图中的两个队形分开思考求出人数后再求出总人数的。（板书：分）

许多学生踊跃举手。

师：这么多孩子高高举手，还有别的方法么？

生：（13+11）×8。

师（板书算式）：哎，别急着坐，也来对照情境图，说说算式是什么意思。

生：13+11求出的一行总共有多少人，再乘8就求到总人数了。

师：嗯？这两个队形不是分开着么？怎么想到“13+11”？

生：我是把这两个队形结合起来了。

师：那这两个队形能否顺利地合并呢？（板书：合）

生（齐）：能！

师：那为什么能顺利地合起来？

生：因为这两个队形的行数相等，所以能够合并起来。

师：在这里，正因为行数相等，所以我们可以说两个队形能一行一行匹配，合并成一个完整的队形。[板书：配（合）]

师：那这两个算式结果相等么？

生（齐）：相等。

师：猜的。谁有办法来说明或验证为什么相等？

生1：因为分开求与合并求，求出的都是团体操的总人数，所以结果是相等的。

师：好的，你是结合主题图，两种方法求出的都是总人数，所以相等。

生2：我认为看两个算式是否相等，得要计算。

师：嗯，好的，那同学们都可以来算一算。

学生计算，得出结果相等。

师：同学们通过计算来验证刚才的猜想，这方法很好。我们以前学习过乘法，知道乘法的意义，还有谁有自己的方法来说明？

生3：我认为，13×8表示13个8，11×8表示11个8，13个8与11个8合起来就是24个8。而（13+11）×8也正好是24个8，所以两个算式是相等的。

（教室里响起了掌声）

师：非常好。你站在乘法的意义角度来证明了这两个算式是相等的。（板书：乘法的意义）

师：刚才，我们用分与配这两种方法解决了这个问题，咱们回头看主题图，分与配中什么是相同的？

生：行数相同，总人数相同。

师：那在计算时又有什么不同？

生：一个算式有括号，一个没有括号。

师：有没有括号意味着什么？

生：意味着运算顺序不同，没有括号的要先算乘法，再算加法；有括号的应该先算加法，再算乘法。

二、深化认识

师：好，看来同学们对分与配这两种方法有了一些感悟。在数学上，数与形是紧密联系的。大家接着看屏幕。

（课件出示）：张老师用两个长方形来表示刚才的两个队形。谁能根据这两个算式给这两个长方形配上相关的数学信息？

生：黄色长方形的长是13厘米，宽是8厘米；红色长方形的长是11厘米，宽是8厘米。

师：你的思维敏捷，信息补充得很不错。但考虑到这两个长方形表示的是团体操队形，张老师把单位改成“米”。（课件出示）根据信息，你想到的问题是……？

生1：这两个长方形的周长一共是多少米？

生2：我不同意，应该求的是这两个长方形的面积一共是多少平方米？

师：同学们同意哪种观点？

生3：我同意求面积，因为算式求到的是面积。

师：好的，那你来说说这两个算式分别表示什么意思。

生3：13×8求到的是黄色长方形的面积，11×8求到的是红色长方形的面积，再加起来就求到两个长方形的总面积。

师：可以继续说。

生3：方法2中的13+11求到的是黄色长方形和红色长方形的长一共多少米，再乘8也就求到两个长方形的面积和。

师：那看起来，这两个分开的长方形也能够配成一个图形喽？

生（齐）：能。

师：为什么能够配？

生：因为它们的宽是相等的。

（课件演示，两个长方形拼成一个完整的长方形）

师：这两个算式相等么？

生（齐）：相等。

师：这会儿两条算式表示的是两个长方形，怎么也相等啊？

生：是相等的。用乘法的意义来理解，13×8表示13个8，11×8表示11个8，13个8与11个8合起来就是24个8。而（13+11）×8也正好是24个8，所以两个算式是相等的。

师：听起来很顺，但我有疑问。刚才团体操队形，黄衣服同学队形里有13个8，大家都很明白。但在这里，我就有些不懂：13×8求出的黄色长方形的面积，这里，黄色长方形不就是一个长方形么，哪来的13个8？

（生面面相觑）

师：大家可以在小组里讨论讨论。

慢慢的，有学生举手。

生：我觉得可以把长方形横着分割。（边说边手势比划着）

生2：我认为还可以竖着分割。（也比划手势）

师：随意分割吗？

生：不是的，是1米1米地分割。

（出示课件）在大家的理解中是不是这个样子？

生（大声）：是的。

师：那这里的1格表示的是？

生：这里的1格是1平方米。

师：我们把这1格叫做1个单位，这会儿大家理解13个8表示什么？

生：13个8个单位。

师：哎，好的。这会儿回过去看算式，你再来看乘法的意义，你们认为算式相等么？

生：两个算式是相等的。

师：大家观察黑板上与屏幕上的这组算式。你们能照着样子在本子上也来举一道这样的例子么？

生1： 8×7+9×7=（8+9）×7

生2： 15×4+17×4=（15+17）×4

生3：12×5+18×5=（12+18）×5

师：张老师觉得刚才的一位同学所举的例子比较巧。你们觉得呢？

生：我听出来了，他中间12+18正好凑成整十数，这样算式就巧了。

师：你认为的巧是什么意思呢？

生：就是计算简便了。

师：就是啊。那这样的例子写得完么？那大家能不能用自己的话把这共同的规律写出来？

生1：a×c+b×c=（a+b）×c

生2：甲×乙+丙×乙=（甲+丙）×乙

生3：○×△+☆×△=（○+☆）×△

师（分别板书学生的回答）：同学们概括的非常好，在数学上，我们确定字母表达式。大家读读。而且，这个规律还有一个新的名称。

生（齐）：乘法分配律。

师：哎，大家怎么想到的？觉得为什么用这个词？

生1：因为这里的两个算式，一种是分的方法，一种是配的方法。

师：那为什么把它命名为乘法分配律而不是加法分配律呢？

生2：我觉得这两种方法能用乘法的意义说明相等，而不是加法的意义。

此次教学旨在提供简洁却有趣的学习素材，通过深入挖掘，让学生充分经历乘法分配律建模的过程，深入体悟乘法分配律的数学内涵与知识本质，从而在学习乘法分配律这一素材的过程中，体会到数学学习的智趣与理趣。

数学课堂是儿童智慧生成与理性发展的主阵地，但面对儿童，教师如何立足与把握好课堂？或者简而言之，教师如何更好地拿着教材教数学，如何面对儿童对于数学智慧理性的学习却各有不同？我想，一名出色的有思想的数学教师理应站在儿童成长的角度来反复考量数学知识的内在理性本质，通过深入的挖掘与叩问来呈现数学知识的特有理性价值与独特内在文化，从而达成儿童优秀数学素养的形成。而这，也正是笔者所倡导的“智理”数学课堂的内涵所在。