浅谈线性规划在合理下料中的应用

黄宝义

【摘 要】材料费用在企业成本管理中占有非常重要的地位，如何运用科学的手段与方法，合理利用材料，减少不必要的浪费与消耗，做到材料利用最大化，在降低造价、节约成本方面尤其重要。应用线性规划理论，对一些有固定规格的原材料选择最优化的下料方式，对于提高材料利用率、降低成本有着非常重要的意义。

【关键词】线性规划 合理下料 应用

一、线性规划问题简介：

线性规划是运筹学中研究较早、应用较早、比较成熟的一个重要分支，他研究的问题主要有两个方面：一是如何统筹安排一项任务，以尽量用最少的资源来完成它。二是如何利用一定的人力、物力和资金等来完成最多的任务。所有的线性规划问题都要把具体的实际问题建立起数学模型，通过对数学模型的计算以求得最优化的解决方案。在工程经济中可以解决资金资源的最优利用、人力物力的最佳分配、物资运输的合理调配等。特别是在现场材料加工中的合理下料问题，利用本方法能够有效的解决材料的浪费问题，有着非常重要的现实意义。

二、建立线性规划问题数学模型的一般步骤：

1）、明确问题中有待确定的未知量，也称决策变量，并用数学符号表示。

2）、明确问题中所有的限制条件，也称约束条件，并用决策变量的一组线性方程或线性不等式表示。

三、案例

下面我们通过一个工程中的实例了解如何建立数学模型，并利用计算机应用工具进行计算，通常情况下，模型的建立与考虑问题的全面需要一定的经验与相关的专业知识，并且要通过不断的实践应用才能得心应手的建立模型，因此模型的建立是解决所有后续问题的前提与关键。

某单位机厂准备加工一批U29金属棚子，每架棚子分别需要2.9m，2.1m，1.5的U29金属梁二根、二根、一根，这些材料要全部从长度为9m定尺材料上截取，如果要加工100架U29金属棚子，现场材料足够满足要求，应如何安排下料，才能使用料最省？

建立模型

对于每一根9m长的U型钢，可有若干种下料方式把它截取成我们需要的加工梁，比如可在9m的钢材上截取3根2.9m的梁，合计用料2.9×3=8.7m，余料为0.3m；也可以截取1根1.9m的、2根2.1米的和一根1.5米的，合计用料1×2.9+2×2.1+1×1.5=8.6m，余料0.4米。现把所有可能的下料方式列表，如下表：

1、问题所要解决的是每种下料方式下应各用多少根9m的U型钢以至于用料最少，于是可以设X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，X10，X11分别为按B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9，B10，B11方式下料的U型钢根数。

2、由于每架钢棚所需不同长度的U型钢的的根数是确定的，即生产100架钢棚共需2.9m的梁200根，2.1m的梁200根，1.9M的梁100根，如果按B1的方式下料，每根U型钢可截取2.9m的梁3X1根；同样地，分别按B2，B3，B4，B5，B6方式下料可在X2，X3，X4，X5，X6根U型钢上分別截取2.9m的梁2X2，2X3，X4，X5，X6根，因此所截下的2.9m长的梁的总数应不少于200根，即满足约束条件

3X1+2X2+2X3+X4+X5+X6>=200

同样的，所截取的2.1m长的梁的总数应满足约束条件

X2+2X4+X5+X6+4X7+3X8+2X9+X10 >=200

所截取得1.5m长的梁的总数应满足约束条件

2X3+X4+2X5+4X6+X8+3X9+4X10+6X11>=100

显然，按照每种下料方式的U型钢根数应满足非负要求，且为整数，及X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，X10，X11 >=0且为整数。

3、目标是使总的下料根数最小，即

Z=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11

达最小，综合起来，该下料问题的数学模型为求一组变量Xj（j=1，2，….11）在满足约束条件

3X1+2X2+2X3+X4+X5+X6>=200

X2+2X4+X5+X6+4X7+3X8+2X9+X10 >=200

2X3+X4+2X5+4X6+X8+3X9+4X10+6X11>=100

Xj >=0 （j=1，2，….11）且为整数

使总的下料根数Z=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11

取得最小值。

四、问题的解决

线性规划问题的求解有多种方法，如图解法、单纯型法。但对于复杂的多参数规划求解问题相当复杂，同时要把一些约束条件由非标准形式变换成标准形式，加入松弛变量，建立单位矩阵等，通过表上作业手工计算难度相当大，且步骤繁琐、容易出错。计算机的普及与应用为解决复杂的规划求解问题提供了便利，大大减轻了计算人员的工作负担，下面介绍如何利用EXCEL办公软件对该问题进行求解。

1、建立初始表

表格中变量Xj可以用数字1代替，需要注意的是“约束条件左边值”以及“目标函数值”必须用公式计算，不可直接输入数字。

2、点击“工具”-“规划求解”选中“目标函数值”。

3、点击“求解”即可求得最终结果

最终结果为：分别采取B1、B7、B11种方案，即在每根9米定尺的U型钢上2.9m的截取3根，需67根；2.1m的截取4根，需50根；1.5m的截取6根，需17根，合计需用9m定尺的U型钢134根可满足要求。

五、结束语

运筹学是一门应用于管理有组织的科学，它为人们提供了决策目标与数量分析的工具，通过对管理系统中人、财、物等有限资源的统筹安排，为决策者提供有依据的决策方案，其理论与方法在建设工程施工与企业管理中得到了广泛的运用，产生了巨大的经济效益。通过上述事例可以看出，运用科学的方法进行优化，合理解决现场加工下料问题，在节约材料方面有着非常大的潜力，为企业提供了一种科学的节约材料、降低成本的手段，是一种值得推广应用的好方法，有着重要的现实意义。

参考文献：《运筹学基础》李苏北 编著 四川大学出版社