马克思社会发展观的数学模型

孔 迪

(鲁美艺术学校，山东济南250014)

罗素认为马克思的《资本论》不合条理，他这样说:“这个学说十分复杂，从纯理论的角度看，它并不是很有条理的。我们还不如把它看成是马克思以抽象的语言在对资本主义制度的控诉。信从这一学说的人也是以这种态度来读这部著作的，而不是作冷静的学术分析”②《罗素自述》黄晶中编译，天津人民出版社2012年版。。罗素为什么这么认为呢?他说:“在我看来，黑格尔体系采纳普通逻辑随后又对它加以批判，其做法可以通过他自始至终使用的‘范畴’这个普遍概念来举例说明。我认为，这个概念本质上是逻辑混乱的产物，但他似乎在某种程度上代替了‘作为全体的实在之诸性质’概念。”③《我们关于外在世界的知识》第二讲＜逻辑是哲学的精髓＞，东方出版社1992年版，第33页。那么罗素认为什么样的逻辑才是有条理的逻辑呢?罗素说到:“在另一个完全不同的方向，逻辑有了很大的技术性方面的发展，我指的是所谓逻辑斯蒂或数理逻辑那个发展方向。这种逻辑在两种不同的意义上是数学的:它本身是数学的一个分支，它又是特别适用于其它更带有传统特征的诸数学分支的逻辑。”④同上，第33－35页。“整个物理概念的理论都受到了数理逻辑的激励，没有数理逻辑，它们是不可想象的”⑤同上，第37页。。也就是说，在罗素看来，马克思的思想只有用数理逻辑系统表述出来才是有条理的。

那么马克思的理论是否真的不符合数理逻辑呢?我们看到，上世纪下半叶，东西方都有理论家开始用数学方法求证马克思的经济学理论，例如西方的毛里西马建立的劳动价值论的模型。克里曼的动态分析中，认为剩余劳动是利润的唯一来源。西恩让用矩阵把马克思的两大部类模型扩展到了L x L个部门。中国则有丁保俊、白暴力、张忠任、何祚庥、朱奎、冯金华等人关于马克思经济学数学原理。可见马克思的经济学理论是符合数理逻辑的。而马克思还讲到了经济基础变化会引起上层建筑变化的理论，这个理论是否也符合数理逻辑呢?需要数学做出解释。

一、生产要素及其关系

首先的问题是从哪里开始证明?恩格斯给了一个提示:“根据唯物史观，历史过程中的决定性因素归根结底是现实生活的生产和再生产。无论马克思或我都没有谈到比这更多的东西。”⑥《马克思恩格斯选集》第四卷，人民出版社1995年版，第695页。马克思在《政治经济学批判导言》中指出:“面前的对象，首先是物质生产”①《马克思恩格斯选集》第二卷上，人民出版社1995年版，第86页。并指出:“生产一般是一个抽象……这个一般……本身就是有许多部分组成的、分别有不同的规定性”②同上，第88页。那么都有哪些规定性呢?“把生产和消费看作一个主体的或者许多单个人的活动，它们无论如何表现为一个过程的两个要素”，③同上，第97页除此之外还有:“在社会中，产品一经完成，生产者对产品的关系就是一种外在的关系，产品回到主体，取决于主体对其他个人的关系。他不是直接获得产品。如果说他是在社会中生产，那么直接占有产品也不是他的目的。在生产者和产品之间出现了分配，分配借社会规律决定生产者在产品世界的份额，因而插在了生产和消费之间”(同上)。并有:“既然交换只是生产以及生产决定的分配一方和消费一方之间的媒介要素，而消费本身又表现为生产的一个要素，交换当然也就当做生产的要素包含在生产之内”④同上，第101页。总的说，生产要素应该包括:生产、消费、分配、交换这样几项内容。

关于生产和各要素之间的关系，马克思这样说:“生产既支配着生产的对立上的自身，也支配着其他要素。过程总是从生产重新开始。交换和消费不能是起支配作用的东西，那是自明之理。分配，作为产品的分配，也是这样。而作为生产的分配，它本身就是生产的一个要素。因此，一定的生产决定一定的消费、分配、交换和这些不同要素相互间的一定关系。当然生产就其片面形式来说也决定于其他要素。……最后，消费的需要决定着生产不同要素之间存在着相互作用。每一个有机整体都是这样。”⑤同上，第102页把这些用数学形式表现出来:

马克思继续说:“看看普通的经济学，首先令人注目的是，在这些著作里，什么都被提出了两次。举例来说，在分配上出现的是地租、工资、利息和利润，而在生产中作为生产要素出现的是土地、劳动、资本。一看就清楚了，它被提出了两次:(1)当做生产要素;(2)当做收入来源，当做决定一定的分配形式的东西”⑥同上，第97页。再看交换，“首先很明显，在生产中发生的各种活动化和各种能力的交换，直接属于生产，并且从本质上组成生产。第二，这同样适用于产品的交换，只要产品交换是用来制造供直接消费的成品的手段。在这个范围内，交换本身是包含在生产之中的行为。第三，所谓实业家之间的交换，从它的组织方面看，既完全决定于生产，而且本身也是生产行为。只有在最后阶段上，当产品直接为了消费而交换的时候，交换才表现为独立于生产之外，与生产莫不相干。”⑦同上，第101页。

还有生产和消费:经济学家们把直接与消费同一的生产，直接与生产合一的消费称作生产的消费。提出生产的消费这个规定性，只是为了把它与生产同一的消费跟原来意义上的消费区别开。“消费的生产(人吃喝就生产自身)经济学家却说，这种与消费统一的生产是第二种生产，是靠消灭第一种生产产品引起的，在第一种生产中生产者物化，在第二种生产中生产者创造物人化。”⑧同上，第93页可见生产和消费也都被提出了两次，如用数学表示:

二、生产的初始阶段

原始社会是没有交换的，因此(2)就变为:

再早还没有人类社会，因此也没有社会分配，

后来，生产由量变到质变出现了

Z的定义是什么?从生产消费发展史看，最大的事件莫过于出现了人的生产和消费。什么是人?按照马克思的观点:人的本质是人的社会性。即Z代表的是人的社会性，那么r就应代表不同社会形态。应代表社会消费，X应代表自然人的消费。社会消费是劳动耗费，“劳动是人的脑、肌肉、神经、手等等的生产耗费”①《资本论》节选本，西南财经大学出版社，1990年版，第8页。。社会消费始终离不开分配，首先是生产资料的分配，然后是生活资料的分配，“分配借社会规律决定生产者在产品世界的份额，因而插在了生产和消费之间”(见注⑤)用数学表示即=F，代入(4)得

根据唯物史观，人先得吃喝，然后才能从事其他诸如宗教哲学艺术之类的活动。如果我们以wa表示原始社会里人们所能得到的物质分配，令F=wa，代入(5)，得

后来生产发展了，有了交换。交换和(5．1)是什么关系?

三、交换规律

马克思指出:“如果没有分工，……也就没有交换”②《马克思恩格斯选集》第二卷上，人民出版社，1995年版，第101页。。“商品交换关系的明显特点，正在于抽去商品的使用价值。在商品交换中，只要比例适当，一种使用价值就和另一种使用价值完全相等。作为使用价值，商品首先有质的差别;作为交换价值，商品只能有量的差别，因而不包括任何一个使用价值的原子。”③《资本论》(选节本)，第3页。。就是说，如果一种商品为wa，另一种为wb，只要价值比例适当，就会有wa=xbwb，以公式表示:

其中W代表一般等价物，G代表价值符号。显然，它们都是些有着不同使用价值的产品，由于私人生产的原因，所以需要交换，要交换首先必须证明自己对对方具有使用价值，一旦它们都能与一种具有广泛使用价值的货币G取得互换，它们的使用价值便等于得到了对方的承认，因此货币G在交换中的地位便凸显出来。

四、资本主义生产方式

G的地位凸显，表现为历史上出现了商人，如果G的作用只是产品交换的媒介而不增值，就不会对商人形成吸引力，这些资本所有者之所以会热切关注G，是看到了它会增值。资本怎样才会增值?马克思指出，资本增值劳动力起了关键作用。由于劳动力在现代社会成了可以在市场上买卖的商品，资本所有者向劳动者支付一定量的预付款，购买他们的一段劳动时间，(因为如果劳动力将自己的所有时间都给了资本所有者就成了奴隶)，资本所有者还买来生产资料，这些构成了资本所有者的生产成本。如果用pm代表生产资料，用A代表劳动力，资本所有者的货币就转化成了物质形态的商品，当它们全部卖出后资本所有者就会获得货币的增值，整个过程是:

“从价值形态方面看，资本主义社会的总产品是由这样三个部分组成的:(不变资本)pv(可变资本)M(剩余价值)”①《政治经济学教材》，上海人民出版社1980年版，第117页。。即:

(7)表明不能出现pc+pv+M＞S，否则就不会有实在的消费。所以当资本所有者投资到一定程度，不但

一个行业无利可图时资本所有者会考虑把资金投向其他行业，但马克思指出:“从再生产的角度看，社会总产品可分为两大类，用于满足生产消费需要的生产资料和用于满足个人消费需要的消费资料。与此相适应，整个社会生产可划分为两大部类:生产生产资料的第一部类(I)和生产消费资料的第二部类(II)②《政治经济学教材》上海人民出版社1980年版，第117页。。如果两个部类的产品都没有了利润，到处都是积压产品，资本的周转就停止了。然而，“商品会自然消灭。因此，如果商品没有按照它们的用途，在一定时期内进入生产消费或个人消费，换句话说，如果它们没有在一定时间内卖掉，它们就会变坏，并且在丧失它们的使用价值的同时，也就丧失作为交换价值的承担者的属性。商品中包含的资本价值，资本中增长的剩余价值，都将丧失”③《资本论》(选节本)，西南财经大学出版社1990年版，第237页。。如果用数学表示这种情况则是将国民收入全部纳入到(7．1)中得:

由于资本主义生产是剩余价值的生产，因此当社会全部产品都无利可图时资本主义生产必将陷入停顿。而资本主义生产是不能停下来的，他必须继续增长和扩大，否则必定死亡。④《马克思恩格斯选集》第四卷，第283页。

五、马克思的生产观

怎样避免上述情况发生呢?马克思认为，只有生产资料掌握在劳动者手中，让劳动者充分发挥自己的聪明才智才可解决上述问题。为什么?

假设某种商品出现了市场饱和，比如说便盆。此时的资本所有者应处于公式(7．1)的状态，这时，来了画家杜尚，他买了一个便盆，把它带去参加艺术展览会，这个便盆的价值自此有了增值。在这个劳动过程中，生产资料是那只便盆，劳动者是杜尚本人。为什么没有利润已经让资本家失去兴趣的(7．1)在杜尚手中却能化腐朽为神奇呢?且看下面分析:

请注意式中的“2pcpv”，由于pc和pv只表示它们是不同的价值量，因此谁先谁后都不会对分配有丝毫影响，然而，实际上当它们从价值量的形态变成物质形态进入生产领域后，即当pc=pv(生产资料)，pv=A(劳动者)后，(7．2)就变成:

由于pm和A是有着不同使用价值的东西，根据马克思的观点，劳动者A是价值增值的关键。“假定一个十二小时工作日表现为6先令的货币价值。或者是定价交换，这样，工人以12小时劳动获得6先令。他的劳动的价格就要等于它的产品的价格。在这种情况下他没有为他的劳动的购买者生产剩余价值，这6先令不转化为资本，资本主义生产的基础就会消失，然而正是在这个基础上 ，工人才能出卖他的劳动，而他的劳动也才成为雇佣劳动。或者工人在12小时劳动中获得的少于6先令，也就是说，少于12小时劳动。12小时劳动同10小时劳动、6小时劳动等等相交换。不等量的这种相等，不仅消灭了价值规定。这种自我消灭的矛盾甚至根本不可能当作规律来阐明或表述。”⑤《马克思恩格斯选集》第四卷第283页，第174页。。但是，由于生产资料被私人控制，使得分配有利于私人，劳动者要改变这种分配制度，就要建立一种与之相反的制度——生产资料公有制，如果用数学来表现马克思的这一思想，则是使用格拉斯曼维，“这种维数有一个特点，即:A×B=－B×A。关于它的科学性，上世纪七十年代已经获得了证实”①转引自霍金的《果壳中的宇宙》，湖南科技出版社2002年版，第49页。。现在我们把它应用到(7．3)中，如果2pm×A=－2A×pm，代入得:

(9)显示，无论劳动者A，还是生产资料pm每一个单项的发展都不再受生产S的约束，唯一的条件是(A－pm)＜S。这里有一个疑问，(pm+A)2=(A－pm)2，继而pm+A=A－pm，2pm=0，这符合格拉斯曼维的法则吗?回答是，不能静止和孤立地看待A和pm，它们只有在劳动过程中才能实现格拉斯曼维那样的转化。总之它让我们弄清了马克思的社会发展说的逻辑。由于最大的生产资料是国家机器和自然资源，它们被资本家控制表现为(8．2);它被劳动者控制表现为(9)，由于(9)比(8．2)有了广阔的发展空间，可见马克思的劳动者掌控生产资料的公有制社会必将战胜资本家掌控生产资料的私有制社会的观点在数理逻辑上是成立的。根据马克思的这一理论，二十世纪初，世界上出现了轰轰烈烈的社会主义运动。

六、问题及解释

但随后的社会实践却有意外。资本主义并没有像社会主义的预言家所预言的那样已经到了垂死阶段。社会主义也没有“从一个胜利走向另一个更大的胜利”。而是相反，资本主义反而从严重的经济危机中挺过来;而第一个社会主义国家苏联却发生了解体，原来的东欧社会主义阵营也随之瓦解。这怎么解释?

美国现代经济学家J·K·熊彼特在他的《从马克思到凯恩斯》一书中给出的解释是:“资本主义经济不是也不可能是静态的，更不会以静态的方式扩大。它不断地被任何时候都存在的新企业、新商品、新的生产方法或产业结构的新的商业机会从内部革新。……以生产新产品或以更便宜的价值生产旧的产品以获取利润的可能正变为现实，这就要求有新投资。……资本主义的发展就是这样取得的”②同上，第30－31页。但被熊彼特当作解决资本主义危机的根本手段实际上却是从公式(9)中获得的。因为既然资本主义标榜自己是自由经济，就不能排除部分个体劳动者会在一些新创企业中掌控生产资料的可能性。而劳动者掌控生产资料的企业若以数学形式表现出来，则是公式(9)的形式。比如爱迪生、比尔·盖茨、乔布斯等人本身就是具有复杂能力的劳动者，他们一旦拥有了生产资料，会产生巨大的价值。但他们以后会怎样呢?中国历史上有一个著名的氏族首领叫大禹，曾对中华民族做出过巨大贡献，历史教科书告诉我们，他以前的中国还不属于私有制社会，但他之后中国就进入了私有制社会，原因是大禹的子孙由于“继承了财产和显赫地位而变成了和氏族对立的力量。(此后)财富被当作最高福利受到赞美和崇敬，(社会)开始出现这样一个机关(国家)，它可以保护单个人新获得的财富不受氏族制度和共产制的侵犯，不仅可以使以前被轻视的私有财产神圣化，并宣布这种神圣化是整个人类社会的最高目的”③恩格斯《马克思恩格斯选集》第四卷，第104页。。既然这是人的最高目的，为什么还要采用共产党人的主张，收取遗产继承税以限制继承权④同上，第198页呢?可见私有制社会发展到如今已经不得不走向自己的反面，它们不得不用社会主义的手段来挽救自己的制度。

那么，东欧社会主义阵营和苏联的解体又怎么解释?按照社会主义新中国的缔造者毛泽东的说法，这应是资本主义复辟的典型案例。毛泽东晚年极为担心的就是这个问题，为此，他不惜七十多岁了还要发动“文化大革命”，结果让自己的国家蒙受了巨大的经济和民心损失。那么，资本主义复辟问题究竟存在不存在?解决这个问题到底采用什么方法呢?

从数学上说，2pm×A=－2A×pm是可以互变的，所以社会主义担心资本主义复辟和资本主义担心社会主义胜利都不是无根据的。但数学也是在发展的，以新的数学理论来解释，当社会主义发展到一定水平时，资本主义复辟是能够避免的，详情如下。

七、马克思的美学观

由于一个能包含社会总产品的生产不能不包含美的生产，所以(9)中理应包含着美的生产。又由于(9)是根据马克思的理论推导出来的，所以关注马克思对美的观点对解决上述问题非常重要。根据中国美学家李泽厚的研究，马克思在《手稿》中有一段话涉及到美:“人类能够依照任何物种的尺度来生产，并且能够到处适用内在的尺度到对象上，所以人类也依照美的规律来造型”①参见李泽厚《美学四讲》，三联书店1989年版，第65页。。李泽厚认为这句话最能体现马克思的美学观。既如此，那(9)就应是它的数学形式。但从这个形式看，它不很完善。比如当我们问什么是内在尺度时马克思讲得很详细，不仅告诉我们“劳动是价值的实体和内在尺度”②《资本论》(选节本)，西南财经大学出版社，1990年版，第174页。，并且告诉我们“劳动的价值量是用“生产使用价值的社会必要劳动时间决定的”③同上，第5页。，甚至还在《资本论》中提供了具体的计算方法，使我们把(9)中的劳动者A与联系起来(V是可变资本总数，m表示一个劳动力每天平均提供的剩余价值，v表示购买一个劳动力每天预付的可变资本)④同上，第119页。代入(9)得:

再将X=λsinλS代入(11．1)得:

拿(12)与(11)一比就会发现，由于(11)的生产S可以随意取值，这就给资本主义主义复辟提供了依据。然而在(12)中，生产S有了定义域，它的增长不可以随意，特别是当(ncv－pm)中的每个单项都大于sinλS/1－S的情况下，回到(pm+ncV)意味着会出现不真实的消费。而(ncv－pm)中的两个单项都大于sinλS/1－S的情况只会发生在社会主义高级阶段，这意味着毛泽东在社会主义初级阶段就想解决资本主义复辟问题是不切实际的。不过以邓小平为代表的新中国第二代领导人及时制止了这种徒劳无益，通过搞改革开放，大力发展中国的生产力，经过三十多年的励精图治，终于缩小了我国与资本主义发达国家间的差距。当然，就目前来说，中国还不能下断语说已经摆脱了资本主义复辟的危险，作为执政党的中国共产党非常清醒，认识到我国将长期处于社会主义初级阶段。比如中国的小农经济还是占相当大比重的经济，按照恩格斯的观点，社会主义不能强制他们转入社会主义经济，只能花更多时间等待他们转变。

八、社会主义内部矛盾

按照马克思主义的观点，社会主义除了要消除城乡差别以及工农差别之外还要消除体力劳动和脑力劳动等差别。差别就是矛盾，解决这些矛盾要分阶段。比如新中国建立初期，农民占到了我国人口的90%以上，虽然也是劳动者当家做主，但用管工厂制订生产计划的办法管农村就会出问题。改革开放三十多年后，中国的城镇人口与农村人口持平并略多一点，这个时期也是劳动者当家作主，但是既不能用管城市的方法管农村，更不能用管农村的方法管城市，具体办法需要探索。总之社会主义社会的管理办法应是与时俱进的，会随着农村人口的不断减少，工人数量的不断增加，且随着工人受教育程度而变化，最终目的是消除三大差别。但在还没有消除三大差别之前，今后的突出矛盾将是体力劳动者和脑力劳动者围绕着如何管理生产资料产生的矛盾，如用数学表现这种关系，设体力劳动者、脑力劳动者、城市为三角形ΔGNC的三个顶点，它的边长分别是g与G对应，n与N对应，c与C对应，可根据数学中的余弦定理得:

到此，我想人们已经可以就马克思的理论是否符合数理逻辑做出判断了。当然，按照马克思主义的观点，上层建筑中还应包括艺术上层建筑，由于篇幅受限，我只能在其他文章阐述。