中考压轴题的一种价值取向：平实、简约

☉江苏省泰州市苏陈中学 韩新正

中考压轴题的一种价值取向：平实、简约

☉江苏省泰州市苏陈中学 韩新正

今年是《义务教育数学课程标准（2011年版）》实施以来的第一次中考，中考试题发生了哪些变化？近日，笔者认真研究了江苏省泰州市2015年数学中考试题，其中的压轴题给了笔者很大的触动，压轴题均来源于课本题内容的挖掘、整合、拓展与延伸，清新自然，平实而不平庸，简约而不简单.现结合具体的试题分析，以期能管中窥豹，对今后的教学提供帮助，仅供参考.

一、压轴题特色简述

泰州市2015年数学中考试卷延续以往的框架结构，选择题6题，填空题10题，解答题10题，共计26题，其中填空题最后一题（第16题），解答题第25题，第26题是压轴题，区分度适中，试题均来源于课本题内容的挖掘、整合、拓展与延伸，压轴题难度不大，学生感觉比较熟悉，命题者没有在新、奇、特上做文章，但对学生思维能力提出较高要求，要求学生在充分理解基本题的基础上，形成较为系统的解题思路，否则，即使这些试题对学生来说似曾相识，也无法下手.试题风格平实、简约，关注学生基本素养和数学思想是今年泰州卷最大的亮点.

1.平中出奇，平实而不平庸

泰州卷的两道压轴题给笔者留下深刻的印象，一道是第16题，该题是把矩形和轴对称（翻折）相结合，命题者在常规的基础上加上OE=OD这一条件，提高了对考生思维的要求；另一道是第25题，取材于苏科版教材八年级下册第九章“中心对称图形——平行四边形”例5原题，当考生面对这两题时，首先感受到的是熟悉，是来自心理上的放松，不会出现面对陌生情境的慌张，体现了命题者对考生的人文关怀，但细细分析，又不是简单的陈题照搬，命题者充分重视和挖掘例、习题的价值，在常规背景下，对学生的思维提出更高的要求，真是平实而不平庸，令人赞叹.

图1

例1（2015年泰州卷第16题）如图1，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE= OD，则AP的长为_________.

感悟：矩形中的翻折问题是常见题型，在平时的练习中经常见到，如果我们不做深入的思考，做一题，丢一题，那么对这类问题就不会有深刻的理解，面对中考题中似曾相识的问题，也会无从下手，这就要求我们注重对平时所做题目的积累、归类和思考，本题一般按照折痕的位置进行分类，如图2～图7.

图2

图3

图4

图5

图6

图7

同时对解题方法进行归纳：通过翻折得到全等三角形（图4中可能有两对）、等腰三角形（如图5中的△AFC），然后应用勾股定理解题.

例2（2015泰州卷第25题）如图8，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.

（1）求证：四边形EFGH是正方形；

（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；

（3）求四边形EFGH面积的最小值.

简析：（1）易证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，所以EH=EF=FG=GH，所以四边形EFGH是菱形，易证∠HEF=90°，所以四边形EFGH是正方形.

（3）设正方形EFGH的面积为y，AE=x，则AH=8-x，所以EH2=AH2+AE2，所以y=（8-x）2+x2，即y=2x2-16x+64，即y=2（x-4）2+32.所以当AE=4时，四边形EFGH面积的最小值为32.

感悟：问题（1）是取材于苏科版教材八年级下册第九章“中心对称图形——平行四边形”例5原题，问题（2）中直线EG过正方形ABCD的中心，这一点在平时的学习中很容易知道，但如何证明需要思量，本题除了“简析”中的证法外，还可以先证明梯形AEDG和梯形CGEB全等，且关于正方形ABCD的中心对称，其中点E、G是对称点，则直线必经过对称中心.问题（3）构建面积关于边长的函数关系，并利用函数关系式求出面积的最小值，这是求最值的通法，在平时的学习中就应该深刻理解，牢固掌握.本题从课本原题出发，对思维进一步拓展，坚持通法解题，这就要求我们平时要加强对课本例、习题的重视，要对其教学价值进行挖掘，对其解题通法进行研究，举一反三.

2．通法解题，简约而不简单

数学压轴题难，通常体现在知识点间的跨度大、联系广，图形复杂、阅读量大、干扰因素多，解题思路灵活，数学思想综合运用难度大，所以不少学生对压轴题望而生畏，只感觉到数学的“冰冷”，从没感受到数学的“美丽”，进而影响着学习数学的兴趣，这固然与数学本身较难有关，但我们的命题导向也加剧了数学的难度，增加了学生学习数学的困难，如果命题者立足于知识跨度小一点，图形简单一点，阅读量少一点，解题思路多一点的价值取向，试题就会变得简约而不简单，但思维会更加深刻.这一点，泰州试题的压轴题可圈可点！

例3（2015泰州卷第26题）如图9，已知一次函数y=2x-4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P在该函数的图像上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2.

（1）当P为线段AB的中点时，求d1+d2的值；

图9

（2）直接写出d1+d2的范围，并求出当d1+d2=3时点P的坐标；

（3）若在线段AB上存在无数个P点，使d1+ad2=4（a为常数），求a的值.

简析：（1）易知OA=2，OB=4，由三角形中位线定理得d1+d2=3.

（3）因为点P在线段AB上，所以d1+ad2=4可以转化为-y+ax=4，即-（2x-4）+ax=4，所以（a-2）x=0.因为在线段AB上存在无数个P点，即x有无数个解，所以a-2=0，即a= 2.

感悟：本题呈现方式比较简洁，阅读量小，三个问题梯度明显，且以上一小题为铺垫，逐层深入，着重考查函数的本质和科学的探究方法，题目简约，但思想却不简单，对学生思维的深刻性有较高要求.问题（2）的转化思想和分类思想比较明显，首先，要把d1、d2转化为在不同的象限对应的x和y；其次，要分类讨论点P在不同位置时d1+d2的范围.而问题（3）中转化思想的运用比较隐蔽，考生可以从问题（2）中得到启迪和借鉴，在数学思想上问题（2）、（3）是一脉相承的，本题三个问题层次分明，对数学知识、解题方法、数学思想层层深入.在今后的学习中，我们不能仅满足于会解具体的题目，而应该在解题中体会数学思想的运用，本题中知识的难点不多，只要把函数转化为一元一次方程即可，但这一转化过程对学生的思维要求较高，所以，转变我们的学习方法刻不容缓.

二、对教法、学法、解题方法的影响

相比较往年，泰州中考数学试题压轴题的阅读量小了（全卷总字数只有1949个），区分度也降低了，通篇看不到难、新、奇的题目，试卷少了一份高冷，多了一份清新和熟悉.在目前的大背景下，泰州的数学试题无疑是大胆的，也许会遭到一些人的诋毁（创新不够，难度不大），但这却是数学教育前行的方向，切实减轻学生过重的课业负担，让数学回归本真，让数学学习走出重复，让学生跳出题海，让笑容重新回到孩子们的脸上，也许这才是数学教育的归属.泰州今年的数学中考试题至少在教法、学法、解题方法三个方面影响着我们.

1.理解课标，用好教材是教学的底线

章建跃教授说：“教之道在于‘度’，学之道在于‘悟’.”在课改实验中，许多老师觉得这个“度”不好把握.笔者认为这主要是对课标、教材的研读还不够深入所致，不领悟教材就不可能把握好“度”.课本、课本，一科之本.课堂教学应“以课本为本”.理解好教材是当好数学教师的基本前提.教师组织教学本应深刻理解课程标准，理解教材，用好教材.现在许多“讲学稿”、“导学案”已经完全抛开课标和教材，变成了赤裸裸的习题集，学生在重复、机械的训练中变成了学习工具.2015年的泰州中考试题在命制过程中尊重课本，凸显教材的主体地位，90%的试题源于课本题内容的挖掘、整合、拓展与延伸.如第16题是比较常见的课本题的改编，第25题取材于苏科版教材八年级下册第九章“中心对称图形——平行四边形”的例5原题等，所以教学的底线必须是理解课标，用好教材.

2.积累题组，形成数学思想是学习的主线

学生该如何学习？是跳进题海，大量训练，所谓见多识广，还是精练多思，积累题组，归纳解题方法，形成稳定数学思想呢？显然，前者有做不完的题目，且学而不思，即使相同、相似的题目也不会归类，找不到共同的解法，学习效率必然低下，永远也跳不出题海，从而苦不堪言，通过2015年泰州的数学试题，我们发现90%的试题源于课本题内容的挖掘、整合、拓展与延伸，这就告诉我们不必跳进题海，以课本例、习题为根，把每次见到的新题目进行归类，形成题组，不断丰富题组，归纳题组的解题方法，进而养成用数学思想解题.科学学法如图10所示.如例1，我们平时注意对基本题目进行归类，形成图2至图7的题组，找到解决这类题目的规律就是全等三角形、等腰三角形、勾股定理，这样有利学生形成良好的学习习惯，而不必跳进题海不能自拔.

图10

3.掌握通法，少玩技巧是解题的核心

如何解题？方法和理论很多，但最核心的方法还是掌握解决问题的通性通法，运用通法解题，再难的题目我们都可以“回到原点，从概念出发”解题，在宏观层面上运用数学思想解题是我们追求的目标，但灵活运用数学思想解题非一日之功，需要平时的不断积累，在解题过程中不断感悟和内化，形成稳定的思维模式.本案例中的通法比较明显，例2、例3的几个问题都是以上一小题为铺垫，逐层深入，通过转化、分类等思想解题.尤其是例3先通过把d1、d2转化为在不同的象限对应的x和y，再分类讨论点P在不同位置时d1+d2的范围，然后再把函数巧妙地转化为一元一次方程，从而求出参数a的值，这样的解题方法不是通过简单的多做题就可以习得的技巧，而是通过长期的训练形成的良好的数学思维，是内化的数学思想在此处的灵活应用.这不是简单的技巧，是数学思想，是解决数学问题的通法，我们学习解题一定要抛开玩技巧的心态，立足通法解题，唯有大视界才有大智慧.

1.章建跃．中学数学课改的十个论题［J］．中学数学教学参考（中），2010（1～2）.

2.蔡映红．数学加工，让教材“活”起来——以苏科版八年级上“1.3探索三角形全等的条件（1）”为例［J］．中学数学（下），2015（6）.

3.蔡新春．回归数学本真富含数学韵味——2013年南通市中考数学第28题赏析［J］．中学数学（下），2013（10）.Z