依托“分解”揭示“联系”提高“能力”——2016年高考全国Ⅰ卷理科数学试题例探

福建省宁德第一中学 陈梅芳

依托“分解”揭示“联系”提高“能力”
——2016年高考全国Ⅰ卷理科数学试题例探

福建省宁德第一中学 陈梅芳

自2016年起，福建省高考告别自主命题模式，统一使用全国Ⅰ卷.在备考教学过程中，教师全面认识新高考，研究新高考，掌握新高考规律则尤为重要.文中结合2016年高考全国Ⅰ卷理科数学第17题和21题的分解探析，并充分利用教材，关注数学概念教学，努力探寻高考试题与教材基础知识和基本思想方法的有机联系，以此促进学生知其然更知其所以然，更好地获取数学知识，提高数学综合解题能力.

高考数学 试题 分解 联系 能力

2016年高考全国Ⅰ卷理科数学试题严格遵循《课程标准》基本理念和《考试大纲》基本要求，注重以“坡式”结构设计难度，其预设难度要比我省自主命题的难度高，更侧重对学生的基本数学素养的考查，试题的综合性较高，阅读量、思维量和计算量也较大.学生面对这些试题常有极大困惑，难以顺利作答.主要原因是我们学生对试题涉及的数学基础知识、基本技能和基本思想方法还未能深入把握，对题目无法进行有效分析、分解，更无法灵活把握试题中体现的联系，从而影响了数学解题能力的提高.

一、例题评析与分解

2016年数学高考试题注重对基础知识、基本技能、基本思想方法的考查，试卷基础题、中等题和难题的梯度明显，有良好的区分度.如在基础题方面，要求学生掌握必要的基础知识，能按规范步骤进行准确运算；而中档题则要求学生能利用有效的方法，并根据具体试题情况应用必要的数学方法来加以解决；在难题方面，要求学生在掌握基础知识、基本技能、基本思想方法的基础上，能进一步认清数学问题的本质，灵活地将复杂问题有效转化为难度较低的基础题.

例1：（2016年高考全国Ⅰ卷理科第17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos C（a cos B+b cos A）=c.

（Ⅰ）求C；

评析：试题涉及正弦定理、余弦定理及三角形面积公式等考点，应特别注意引导学生熟练应用三角形中的三角变换，尤其注意一些常用的诱导公式.在本题中，学生首先要了解主要考查的是解三角形知识和相应公式的运用能力，然后将题目分解开来.第（Ⅰ）小题题目等式涉及三角形的边和角，应从边角互化公式入手；通过分析发现，题目公式中既含有角的余弦又含有边的一次式，所以利用正弦定理或余弦定理来解题均可.第（Ⅱ）小题由于c=只需求出a+b即可求出周长.结合题目已知条件及第（Ⅰ）小题的结论将解题分为两步，第一步由三角形面积公式得出 ab的值，第二步联立余弦定理求出a+ b的值即可得到三角形的周长.

解（Ⅰ）：思路一：由2cos C（a cos B+b cos A）=c联立正弦定理可得2cos C（sin A cos B+ sin B cos A）=sin C，要求角C须将角A，B转化为角C，因此利用三角诱导公式转化为方程2cos C sin（A+B）=sin C，从而得出

思路二：由2cos C（a cos B+b cos A）=c联立余弦定理可得化简得a2+b2-c2=ab，结合余弦定理得从而

例2：（2016年高考全国Ⅰ卷理科第21题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2.

评析：试题涉及导数及其应用等考点，应注重引导学生关注含有参数的函数单调性、极值、零点等问题，学会善于根据参数开展分类讨论，并注意互斥、无漏、最简等分类讨论原则，理解解决函数不等式的证明问题的有效思路就是巧妙构造适当的函数，借助导数来研究函数的单调性或极值等.本题属于压轴题，主要考查学生的运算解答能力以及逻辑思维能力.每当学生们看到卷子后面的解答题时，往往表现得不知所措、一头雾水，不知道从哪里开始动笔，慢慢地学生们也对此丧失了兴趣，甚至害怕遇见类似的题目，因此教师要引导学生学会将复杂的问题简单化.考生要了解本题主要是以函数的零点、导数等基础知识来作为背景，考查学生对这几个知识点的理解和运用.第（Ⅰ）小题中函数f（x）有两个零点，可联系教材知识转化为函数f（x）的图像与x轴有两个交点，须结合函数的单调性来判断函数f（x）图像的形状.由于f'（x）=（x-1）（ex+2a），因此可将解题步骤分解为讨论a=0，a>0，a<0三种情形，其中a>0，a<0的讨论是解题的难点,须结合零点存在性定理进行判断；第（Ⅱ）小题要从题目及第（Ⅰ）小题的结论中理解到应如何分解题目，不等式x1+x2<2的证明本质上是比较大小，由2-x2<1可将所证不等式转化为证明x1<2-x2，注意到x1，x2是函数的自变量，通常自变量的大小比较要借助于函数值，故须由函数的单调性及题目的条件转化为证明f（x1）>f（2-x2），即证明f（2-x2）<0，从而再构造函数进行求解.

解（Ⅰ）：由于f'（x）=（x-1）（ex+2a）可知：

（1）当a=0时，f（x）=（x-2）ex，故f（x）只有一个零点；

（2）当a>0时，由f'（x）=（x-1）（ex+ 2a）可知f（x）在区间（-∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，因此根据零点存在性定理可选取f（1）=-e<0， f（2）=a>0，取 b<0且则 f（b）=（自变量b的取值范围的确定是难点，须易于判断其函数值的正负），由此可以判断出函数f（x）存在两个零点.

（3）当a<0时，由f'（x）=（x-1）（ex+2a）=0可得 x=1或 x=ln（-2a），要判断f（x）图像的大致形状须比较1与ln（-2a）的大小，故须分类讨论：①当ln（-2a）≤1即时，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当 x≤1时，f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2<0，故此时函数f（x）不存在两个零点.②当ln（-2a）>1即时，由导函数可判断f（x）在区间（1，ln（-2a））上单调递减，在区间（ln（-2a），+∞）上单调递增，且f（x）在区间（-∞，1]上小于0，故函数f（x）不存在两个零点.综上a的取值范围为（0，+∞）.

解（Ⅱ）：不妨设x11，故2-x2<1.又由函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，所以x1+x2<2等价于f（x1）> f（2-x2），即 f（2-x2）<0.由于 f（2-x2）= -x2e2-x2+a（x2-1）2且f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0，所以f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2.设函数g（x）=-xe2-x-(x-2）ex（x>1）则g'（x）= （x-1）（e2-x-ex）.所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，且g（1）=0，故当x>1时，g（x）<0.从而g（x2）=f（2-x2）<0故x1+x2<2.

二、善于揭示知识间的联系

1.揭示“联系”的重要性.

纵观多年高考全国Ⅰ卷数学试题，我们可以找到许多源于教材例题或与教材例题相似的试题，这些试题考查的一个重要原则是“立足基础、考查能力”，多数涉及到教材中的基础知识、基本技能和基本思想，所用的方法也是最普遍和一般的方法.因此在解题过程中很关键的一步是揭示教材知识的联系.由于高考答题时间有限，拿到题目时不要急着去解题，而是将题目彻底理解透彻，分解成几个小问题，在脑海里搜寻知识点，细致分析与哪些知识点有联系，并快速准确地找到解题方法，稳妥地得到分数.

2.找寻试题关联知识点.

在学习中更重要的是做到针对性学习，学生做好“指哪打哪”针对性的补差，尤其是在试题分解后清晰地梳理好所涉及的章节内容和知识点以及联系，有利于弥补他们相对薄弱的环节.如试题与哪些知识点有关，是否都理解到位了，还有哪些未弄懂的等等.如在案例1，第一小题中由题可知涉及到解三角形的知识，必须用正弦定理和余弦定理将题目已知的式子进行转化，进而利用诱导公式进行解答；第二小题由题目可联系三角形面积公式及余弦定理进行求解.案例2第一小题由题目两个零点可联系到教材中有关函数零点和函数单调性的知识；第二小题则要从所求证的式子出发，联系到比较函数值的大小，进而构造函数进行求解.在解题中涉及到的细节问题是学生思维发展的落脚点，更是思维方法的落脚点，能充分地培养学生的思维能力，对学生的发展起重要的作用.我们发现，学生相对缺乏的是对知识点的整体认识和对问题的综合分析能力，因此教师要善于“教”学生有效提取题目信息，贯通相关知识以及各部分知识之间的联系，指引他们更好地关注、理解概念“细节”，为有效培养思考、分析和解决问题的能力做准备.

三、提高综合解题能力

在高中数学教学中，许多学生存在着上课听讲很清楚，教材例题看得明白，而当解题时却又无从下手的问题.这一方面原因是学生对教材知识的理解和掌握只停留在表层上，知识应用还未达到熟练程度；另一方面是没有形成和掌握必要的数学思想方法，独立解题时便易于陷入解题困境.那么有效提高学生的解题能力，需要做到哪些？

1.梳理知识、形成完整知识体系.

高中数学各个模块的知识是相互联系不是单一存在的，教师在教学中应该在夯实基础知识和基本技能的基础上进行更高层次的抽象和概括，并将其进行归纳、梳理，帮助学生完善教学模块知识，建立模块知识间的联系，形成完整知识体系.只有学生掌握数学各模块知识间的联系，在解题上才能由一个知识点联系到相关的知识，从而实现更好的应用，提高综合解题能力.

2.理解掌握、活用数学思想方法.

实际上，数学学习困难总是发生在学习过程中，相应地，数学思想方法则在促进数学知识的发生、发展和应用进程上尤显重要了.数学思想方法即被用来解决数学问题的有效程序和必要策略.在数学教学中，教师指引学生学好数学知识、用好数学技能、解决好实际问题，就必须积极优化教学方式、途径和手段，促进学生更好地解决具体数学问题.我们观察发现，全国卷高考数学始终重视对数学思想方法的考查，检验学生对数学思想方法的理解、掌握和应用程度，特别是试题设计中还充分体现出考查的层次性，并在同一试题中可能蕴含着两种以上的数学思想方法.所以，教师在试题教学中要选取灵活应用数学思想方法的角度，积极引导学生、有效渗透数学思想方法，突出通性通法，带领他们在学会应用思想方法的学习活动中促进思维、思想、方法的良性生成，不断提高解题能力.

3.勤于思考、总结解题经验策略.

有效学习要求学生在掌握数学知识、方法和思想的同时，还必须学会有目的地思考，反观自己的学习过程和状态，感悟体会自己的学习活动.由此要提升学生思维能力，培养解题能力，教师必须把试题讲解的过程有效转化成学生的思维过程，通过启发、诱导等让学生能自主自觉地发现和创新，总结获取属于自己的解题思路，熟练地养成解决问题后及时反思的习惯，以及对题目的深层剖析，从中提取出有益的经验和策略，进一步培养独立分析、解决问题的能力和素质.

4.重视讲演、加强典例运算训练.

运算能力是历年全国卷高考试题考查的重要考点.但是我们发现，学生在高考或平时的解题活动中计算能力普遍下降.因此，教师在平时教学中要注重培养学生的运算能力，同时要借助典例的演示和讲解，引导学生掌握计算技能技巧，重视解题思路，要舍得花时间在典例的分析和总结上，学会在汲取优秀经验和强化运算训练中努力提高自己的解题能力.

总之，在数学课堂教学中，教师应始终坚持以提高学生的学习能力为目标，巧借试题评析和分解，积极引领学生找寻知识联系，利用有效教学手段来持续提高学生的数学解题能力.

[1]许兴震.回归本源，让复习更有效[J].福建中学数学.2015.(5)：50

[2]吴水文.回归基础，用好教材[J].福建中学数学.2015.(1)：11-13

[3]陈碧珍.“先学”之后应该“教什么”[J].福建中学数学.2015.(1)：10

[4]沈文锦.渗透数学思想方法 优化学生知识结构[J].福建中学数学.2015. (1)：16