提高“高等代数”教学质量的几点措施

辛大伟　田雪

摘要：本文从改革教学模式、教学内容和教学评价体系等方面，给出了提高高等代数教学质量的几点措施：我们在高等代数的部分章节的教学中尝试运用了新的教学模式——问题教学模式；将解析几何融入到高等代数代数中，加入高等代数的背景与应用的介绍；加强数学软件在高等代数课程教学中的作用；尝试改革考评体系。

关键词：高等代数；教学模式；教学内容

中图分类号：O151文献标识码：A文章编号：1671—1580（2015）10—0067—03

高等代数是数学专业的三大专业基础课之一，对后继课程的学习起着至关重要的作用。然而，从我院近几年的考试成绩和考研情况看，高等代数课程的教学效果并不是很好。原因是多方面的，例如，由于我校是地方高师院校，地理位置不佳，生源质量肯定会有所影响；由于实行绩效工资，对科研考评的比重加大，教学只需完成额定工作量即可，一定程度影响了教师的教学积极性；高等代数理论性强，定理多、定义多，令人感到枯燥乏味；学生的学习积极性不高，自学能力差，课前不预习，课后不复习，不愿意做习题。基于上述原因，我们在高等代数教学过程中，做了一些探索，力求提高高等代数的教学质量。

一、改革传统的教学模式

传统的高等代数教学是以教师讲授为主，学生被动学习，参与性不强，进而导致学生学习积极性不高，学习效果不理想。为了改变这一局面，我们在高等代数部分章节的教学中尝试运用了新的教学模式——问题教学模式。该模式首先由教师布置任务，提出问题，然后让学生讨论，寻求问题的答案。在这个过程中培养了学生自己发现问题、解决问题的能力，也使学生在问题解决中感受到学习的乐趣。

下面以行列式的定义教学为例介绍问题教学模式。行列式的概念比较抽象，对于刚进入大学的文科生来说，难度可想而知。在处理这个问题上，我们先来介绍行列式的起源，从解二元一次方程组入手，给出一个二元一次方程组：

a11x1+a12x2=b1

a21x1+a22x2=b2

先让学生用中学所学的消元法求出解：

x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21

x2=a11b2-a21b1a11a22-a12a21

之后观察解，提示学生引入行列式的本来目的就是为了解n 元一次方程组，当n充分大以后，再用这个方法来解，难度相当大，为此定义二阶行列式：

a11a12

a21a22=a11a22-a12a21.

同理，从解三元一次方程组入手，定义三阶行列式：

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32.

接下来引导学生观察二阶和三阶行列式的定义，从中找出规律，问二阶行列式有多少项？每一项几个元素乘积？这些元素的取法满足什么规律？三阶行列式呢？经过讨论，学生得出结果，二阶行列式有2！项，每一项2个元素乘积，三阶行列式有3！项，每一项3个元素的乘积，这些元素均取自不同的行、不同的列。再问学生，怎么定义n 阶行列式呢？经学生讨论后，得出结论，n 阶行列式有n！项？每一项有n个元素，且这n个元素取自不同行不同列。那么每一项取正号还是负号呢？学生肯定很想知道，这时告诉他们，这需要学习排列的知识。显而易见，学生的学习积极性被调动起来了，对知识有着某种渴望。

再以线性变换的对角化为例来谈一下问题教学模式。先给出线性变换可对角化的定义，设φ是数域K上n维线性空间V的一个线性变换，如果存在V中的一组基，使φ的矩阵为对角形，就称φ可对角化。再问学生：为什么研究线性变换的对角化呢？给定一组基后，线性变换和矩阵一一对应，线性变换构成的线性空间和矩阵构成的线性空间同构，因此可以用矩阵来研究线性变换。问题是给定一个线性变换后，如何恰当地选择一组基，使某个矩阵和它对应。当然我们希望和线性变换对应的矩阵越简单越好。经过前面的学习，大家会发现对角矩阵是足够简单的。自然地，我们考虑如何选取一组恰当的基底，使线性变换和对角矩阵建立起对应关系。这就是研究矩阵对角化的理由。继续提问，是否每个线性变换都可以对角化呢？能否举例？可以对角化的线性变换要满足什么条件呢？回答。那么怎么对角化呢？不能够对角化的矩阵怎么办？准对角化。

二、改革教学内容

1.将解析几何融入到高等代数教学中

高等代数中有些概念、结论很抽象，对于初学者来讲是个很大的障碍，如向量组线性相关、向量组等价等。如果将解析几何与高等代数相结合，那么几何将给代数提供了直观模型，同时代数也给几何提供了研究方法。其中有关向量的内容、直线、平面，和线性代数结合是很自然的，对代数与几何的融汇，相互影响是有利的。例如，三维向量组α1，α2，α3 线性相关，不妨假设α1 可以由α2，α3线性表出，从几何角度看，实质就是α1在α2，α3所确定的平面上。又如几何中的二次曲线与二次曲面的分类，实际上就是实二次型的分类的几何背景。

2.加入高等代数的背景与应用的介绍

上好第一堂课非常重要。加入高等代数的背景介绍，能激发学生的学习兴趣。实践中，我们在高等代数的第一节课先来介绍代数学的发展史，使学生对高等代数有一个粗略的认识。我们是这样介绍的：18世纪前的代数学主要研究中学阶段所学的初等代数。18世纪～19世纪关心的是怎么解方程。方程有两类：

一类是一个未知数的2次、3次等的高次方程，如：

anxn+…+a0=0

关心的问题是找根式解。根式解是指用加减乘除开方及系数来表的解。一元2次、3次、4次方程都有根式解。1824年，Abel证明了一元5次及5次以上的方程无根式解。1830年，Galois 给出方程能否根式求解的判别方法。至此方程求解告一段落。

另一类方程是多变量的、次数为1的线性方程组。中学学过2、3个变量的，这门课学习一般情况，n 个变量的。在研究过程中产生了一些新的概念，如行列式、矩阵（重要的数学分支，应用广）、向量空间等。1930年，范德瓦尔登的著作《代数学》是划时代的，是代数发展的里程碑。从这以后代数学研究的是代数运算系统，如群环域。研究对象不仅仅是数了，很抽象，当然也有稍微具体点的，如置换，矩阵等，主要研究它们的运算性质。

为了进一步调动学生的积极性，笔者帮助学生解决了下面两个问题：高等代数有什么用？ 为什么要学习高等代数？理由有如下几点：

（1）我校已实行学分制，高等代数共两个学期，8.5个学分，为了能拿到学位，必须学好高等代数，得到这个学分。

（2）作为师范专业的学生，毕业后绝大部分同学去做中学教师，而高等代数对于中学数学有指导作用，比如多项式的因式分解理论。

（3）我们学院考研氛围浓厚，每年都有20%左右的学生考取研究生，只要你考数学专业，初试基本上都是要考高等代数的。

（4）高等代数在物理、化学、生物、计算机、经济学等学科中都有着广泛的应用，如果要在这些行业中生存，学好高等代数是必须的。

3.加强数学软件在高等代数课程教学中的作用

高等代数课程应该注重与数学软件的结合。在高等代数教学中增加数学软件使用的实验课很有必要，特别是不完全按软件手册的方式介绍Matlab的各种用途，软件使用的介绍最好力求简单，不必讲得太多、太繁，最好围绕高等代数课程的教学内容来介绍如何使用Matlab。这有助于让学生学会如何应用数学软件以及用高等代数知识解决实际问题，同时通过对一些具体问题的计算，也能帮助学生理解一些抽象的代数概念，拓宽学生的视野和培养学生应用代数知识解决实际问题的能力。线性方程组是高等代数的主要研究对象，但是高等代数中主要是讨论线性方程组有解的情况下解的结构。事实上，无解的线性方程组可以有最小二乘解（最优的近似解），这在实际问题中会经常遇到的， 例如由实验数据建立起来的方程组很可能无解。Matlab函数库中已有最小二乘解的算法。因此，我们在实际教学中就介绍了如何利用Matlab求解线性方程组的最小二乘解。这样，既完备了线性方程组各种情况的处理方法，也对实用有利。

三、改革考试评价体系

高等代数课目前采用平时成绩+期末考试成绩的考评机制，但在实施中存在许多问题。主要体现在平时成绩的评定上。设置平时成绩的目的，是为了起到督促学生学习的目的，但实际上，平时成绩主要根据出勤和作业来给分，这很难能达到目的，比如作业这一块，现在市面上教辅资料非常多，网上也很容易就能获得电子版的习题解答，好多同学为了应付老师，直接引用。

鉴于此，我们将尝试改进考评体系。对于平时成绩这一块，不能像以往只是根据出勤和作业来给分，将引入随堂测验和小论文。具体操作上，可以在每周的最后一次课，留一点时间，布置几个题目，考察学生这一周的学习情况，这种方式虽说会占用课堂教学时间，但是能真实反映学生对知识的掌握程度，有助于教师根据学生对知识的掌握情况做相应的调整。同时，也要在每章结束后，布置一个小论文，让学生可以查阅资料，与他人合作完成，如讲完矩阵这一章后，可以布置可逆矩阵的判定与性质这样的题目；学完二次型之后，布置二次型化标准形的意义与方法等。这将充分调动学生的学习积极性，激发学习兴趣。

期末考试应严格按照教学大纲执行，题目要覆盖大多数知识点，题型要多样化，难度要适中，不能一味地考虑及格率，最好实行教考分离。

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