基于概率论与微积分的知识关联的教学研究

宋殿霞

(上海海洋大学信息学院数学基础教学部,上海201306)

0 引言

概率论与微积分是数学的两个重要的分支,它们之间有着本质的区别,但是又有紧密的联系。高等数学是学习概率的基础,其极限、连续、导数、积分、级数等重要的概念和数学思想在概率论中都有着充分的体现;而概率的思想方法又可以反过来为微积分中一些比较复杂的问题提供了方法。

1 高数是概率的基础

1.1 集合论是概率论公理化体系的基础

随机事件的定义及事件间的关系和运算,采用了集合的观点,将集合赋予了概率的含义,从而事件之间的运算其实是集合之间的运算,进而概率的公理化定义是以集函数的方式给出的。从教学的角度,微积分中求函数定义域的课题应加以强调与考核。

1.2 随机变量的引入,使微积分思想与级数思想得到充分的应用

分布函数的定义及性质,连续型随机变量的概率密度的定义及性质,是以极限与连续的概念及变上限积分与广义积分作为工具的。有了分布函数、概率密度作为工具,求概率的问题,实际就转化为了计算积分的问题,在求概率的积分方法中,用的最多的是凑微分法与分部积分法;离散型随机变量的定义与性质和数列密切相关,其性质与有关概率计算会用到无穷级数求和。而概率密度和分布函数之间的关系,是被积函数与原函数的关系,涉及到将变上限积分求导问题与求变上限积分表达式的问题。

因此从教学上,为了使微积分更好地为概率论服务,应该把函数的左右极限、左右连续、变上限积分等概念作为考查重点,特别地,诸如求分段函数分段点处的极限值、讨论连续性,求变上限积分表达式等要重点讲解与考查,例如形如：

1.3 大数定律与中心极限定理体现了极限的思想和作用

极限的思想,解释了自然界与社会中的大部分随机现象稳定性的本质。总之,微积分的重要思想和方法及其知识点在研究概率时,起着重要的作用,使得概率论与数理统计可以用系统的数学分析的方法来解决概率问题。概率论就是用微积分的知识作为基础和工具的一门学科。特别是定积分、反常积分、二重积分、极限等知识的熟练掌握能大大提高学习概率的效率。

2 微积分中的概率论方法

下面简略地以举例的形式说明概率论对于解决微积分中的问题所起的作用。

解：构造如下概率模型,设ξ1、ξ2,…,为一列独立的随机变量且均服从参数为1的泊松分布,则根据泊松分布的可加性服从参数为 n的泊松分布,从而有：

另一方面,由中心极限定理及标准正态分布函数的性质有：

概率模型解决微积分问题的技巧有很多,在这里不再赘述,仅提供几个例子体会。

3 结语

本文重点研究微积分知识对概率教学的影响,并对影响进行了详细的分析。高等数学的重要思想和方法及其知识点在研究概率时,起着重要的作用,使得概率论与数理统计可以用系统的数学分析的方法来解决概率问题。概率论就是用高等数学的知识作为基础和工具的一门学科。特别是定积分、反常积分、二重积分、极限等知识的熟练掌握能大大提高学习概率的效率。另外,以举例的方式简单地阐述了概率对微积分问题的解决提供了巧妙的概率模型。关于二者关系的分析还可以更深入的讨论,有待于进一步研究。

[1]盛骤等.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社,2009,(8).

[2]同济大学数学系.高等数学(同济第七版)[M].2014,(7).

[3]王大胄.例谈概率论与微积分的联系及相互间的应用[J].沈阳工程学院学报(自然科学版),2008,(7).

[4]张德然.概率论思维论[M].北京：中国科学技术大学出版社,2004.