超越算术教数学

洪亮

一、从学生“方程会列不会解”现象说起

五年级学习列方程解应用题：果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍。桃树和杏树各有多少棵？在教学中，学生往往举一反三地列出“不会解的方程”来：

设桃树有x棵：180-x=3x；180-3x=x；

设杏树有x棵：180-x=x÷3；

……

遇到这些情况，教师往往会表扬学生的求异思维，但同时指出，这些方程虽然好列，但现在不太好解，希望大家学会列我们会解的方程。

诸如此类学生“方程会列不会解”的现象在小学数学教学中经常遇到，尤其在小学毕业总复习阶段。因此有必要讨论一下，学生真的就“会列不会解”吗？

原小学数学修订大纲曾明确指出：“简易方程的内容只讲到ax±b=c，ax±bx=c，不讲等式的基本性质和移项法则。”而课程标准在第二学段“式与方程”中却提及：“理解等式的性质，会用等式的性质解答简单的方程（如3x+2=5，2x-x=3）。”两者的表述有很大差别。第一，课程标准一改大纲所“不讲等式的基本性质”为要求“理解等式的性质”。这是一个很大的进步。第二，课程标准未明确提出“只讲”，而是提出“如……”形式，这给我们的教学提出了新要求。那我们应怎样来领会并落实课标这一新理念呢？

二、对一道解方程题的两次教学尝试

第一次教学描述：

教学内容：解方程：ax±b=cx。

教学对象：五年级（上学期）。

教学目的：能进行简单的恒等变形，即把ax±b=cx变形为ax±cx=b，同时沟通两者之间的联系；培养学生运用已有的知识经验解决新问题的意识与能力。

教学过程：

复习：解方程：7x-4x=6。（略）

改题：解方程：4x+6=7x。

学生尝试解答：

4x+6=7x

解 7x-4x=6

3x=6

x=2。

师生讨论：

师：说说为什么把4x+6=7x写成7x-4x=6？

生：我感觉4x+6=7x这道方程的等式左右两边都有未知数x，不好直接求。而原来的方程，未知数都在等式的一边，可以直接合并相加减。

师：也就是说，这两道方程是有联系的。那比较两个方程有什么联系呢？

生：在原来的方程里，6是7x与x的差，在新方程里6是一个加数，也正好是7x与4x的差。

师：这给我们一个启发，当未知数不在等式的同一边时，我们应怎么办？

生：我们应想办法把未知数改写到同一边。

师：改写的时候，要保证原来等式两边依然相等，这叫作恒等变形。

巩固练习：将下列方程进行恒等变形：

x+7=2x，80-2x=3x。（略）

教学反思：

应该说，上面的教学尝试还是比较成功的。学生能主动借助所学过的加减关系进行恒等变形，完全适应他们的认知能力。但这种基于加减关系的恒等变形，并未对他们所具有的对方程的认知结构产生影响，没有树立起“恒等”的思想认识，距离课程标准所提倡的“理解等式的性质，会用等式的性质解答简单的方程”还很远。

什么是等式的性质？第一，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；第二， 等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。对于这两条性质，现在的五年级学生从未接触过，现在又怎样来实施新的教学呢？由此，我进行了第二次教学尝试。

第二次教学描述：

出示方程x+2=5，要求学生口答。

师：这道方程大家都会解答。比较原来的方程与现在方程的解x+2=5，x=3。你们能不能发现，我们要求出这个方程的解，就是要把这个方程最后变成怎样的等式？

生：等号一边是未知数x，另一边是得数。

师：比较等号左边，原来是x+2，怎样就变成x了？右边又要进行怎样的运算？

生：只要把等号左右两边都同时减去2就行了。

师：也就是说，等式两边都减去同一个数，所得结果仍是等式。

再出示：x-2=5。

师：这道方程，大家只要怎么办就能使得等号左边只有未知数x了？

生：只要在等号两边同时加上2就行了。

师：大家刚才实际上发现了一个关于等式的重要性质，谁来说一说，你有什么发现？

生：等式两边都加上（或减去）同一个数，所得结果仍是等式。

出示两道方程：4x-6=2x和4x-2x=6。

提出要求：比较这两道方程，哪一道容易解答？为什么？

生：第二道，因为第一道方程中的未知数在等号两边，不好直接求未知数x。

师：那你们能不能应用等式的性质把第一道方程变形为第二道方程呢？

生：只要把等号两边都去掉2x再加上6就行了。

师：说得好，板书如下：

4x-6=2x

4x-6-2x+6=2x-2x+6

4x-2x=6

练习：（略）

教学反思：

“方程”是什么？很多学生都知道：含有未知数的等式就叫作方程。但真正让学生判别诸如ax±b=cx此类方程时，许多学生总有一丝疑虑，这种方程我们没有遇到过呀，怎么解呢？在他们心里能不能解这道方程与判别这是不是方程似乎有着非常重要的联系。诚然，这种思维是有局限的，但这种思维又恰恰就是学生的思维。我们不应该总是以承认的观点来看待学生，看待学生的数学。现行修订版教材遵循原来的教材体系，给学生限定方程的形式与内容，看起来是减轻学生的学习负担，其实是给学生一个残缺的认识。因此需要我们站在一个较高的层次上用现代数学的观念去审视与处理教材，向学生传递一个完整的数学思想，帮助学生建立一个融会贯通的数学认知结构。上面对“ax±b=cx”方程的教学尝试，对于学生来说，可能就是一扇窥探数学世界的窗口，也许这样的尝试对所有的学生来说可能有些难度，但我想这样的尝试对学生的所得来说要远远大于这一点难度造成的障碍。