重视发展学生思维能力的典型素材

【摘 要】本文从概念教学、思想教学和解题教学三个方面阐述了“排列与组合”这一内容几个教学方面的要点，并分别举例加以分析。从概念教学和思想教学的过程中总结出一些解题策略，从而将抽象的数学问题转化为具体问题来进行解决。

【关键词】排列；组合；概念；思想渗透；教学

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）18-0042-02

【作者简介】葛海燕，江苏省泗阳致远中学（江苏泗阳，223700）教师，中学一级教师。

“排列与组合”是高中数学中内容抽象、概念和原理不多，与其他数学内容联系较少的一个相对独立的教学单元，在教学中是一个难点。但正因为它的概念比较抽象，思想方法比较独特，且多以实际问题为模型，所以笔者认为，它是发展学生抽象思维能力和逻辑思维能力的好素材。抓好本节教学，能够培养学生逻辑思维能力及数学知识应用能力，形成良好的数学素养。笔者以为，对本节内容的教学，重点需把握三个方面：一是对基本知识的掌握；二是在教学中渗透教学思想；三是促使学生形成解题策略。

一、理清概念，打好知识基础

1.正确区分排列与组合。

“排列”“组合”是两个比较抽象的概念，要分清一个具体问题是排列问题还是组合问题，主要是看从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素是否与顺序有关——排列与顺序有关，而组合与顺序无关。

在学生了解排列组合以后，为了能够较好地提高他们的识别能力，强化“排列既取又排，组合只取不排”的意识，可以把内容相似但一个用“排列”来解而另一个用“组合”来解的两道题目放在一起，进行对比分析。例如：从10人里选出一个班长，一个学习委员，一个干事，一共有多少种不同的选法？从10人里选三个代表，一共有多少种不同的选法？

2.正确区分两个原理。

分类计数原理和分步计数原理是排列组合这一节的两个基本原理，是解决排列和组合问题的主要依据。分清使用的关键在于明确事件需要“分类”还是“分步”完成。两个原理的共同点都是将一个原事件分解成若干个事件来进行计算。不同点是：在使用加法原理时，每一个分事件完成了，原事件也就完成，即各分事件之间是相互独立的；在使用乘法原理时，如果分事件完成了，并不是原事件的全部完成，只是完成了其中的某一步，各分事件之间不是相互独立的，而是相互制约的。通过这两个概念的比较，让学生在解决问题时正确地运用这两个原理，将问题分类和分步解决。

二、精选例题，渗透数学思想

数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决无不是在数学思想的指导下进行的，同时，数学思想又是对数学知识融会贯通的理解和升华，是更深层次的内容。教学中只有从某些具体教学内容中去挖掘更深层次的数学思想，数学知识才真正有了核心，学生头脑中才会形成完整的知识体系，而排列组合这一节所蕴含的数学思想极其丰富，是进行数学思想方法教学训练的好题材，教学中要重视渗透数学思想方法，使学生形成良好的思维品质，培养学生的创新思维能力。

1.分类讨论思想。

分类讨论是指按一定的标准，把研究对象分成若干部分后逐一解决的方法策略。当研究的对象在不同情况下有不同的结论时，一般要采用分类讨论。对于复杂的排列组合问题，灵活地运用分类思想，将问题转化为若干简单的排列组合问题，非常有利于问题的解决。

例1：将一个四棱锥P-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，现有五种颜色，那么不同的染色方式有多少种？

分析：可以先给P点染色有C 种方法，再分别给A，B，C，D四点染色，根据A，C点颜色的异同来进行分类。若A，C两点同色，那么染色方法共有：C ×C ×C 种；若A，C两点异色，那么染色方法共有：A ×C ×C 种；所以，满足题意的染色方法共有：C （C ×C ×C +A ×C ×C ）种。

本题是只有在区分不同情况后才能确定计算方法的一个实例，可以促使学生理解分类讨论的必要性。

2.化归思想

化归思想是将研究的问题通过数学的内部联系和矛盾运动转化为规范问题的思想方法。其实质是化繁为简，化难为易，化陌生为熟悉，化未知为已知的一种思想方法。在排列和组合中，需要进行化归的问题比比皆是，化归的手法也是多种多样，某些问题的解决过程就是应用化归思想的过程。

例2：有5个小电灯排成一排，每一个电灯都有亮或不亮两种状态，那么一共可以表示多少种不同的信号？

分析：假设有排好位置的5个空位置，把5个电灯分别以亮和不亮两种状态依次填入5个空位，那么每一种填法就唯一对应着一种信号，反过来，任一信号总可以由一种填法得到，这样，信号问题就转化为更具体的“填空问题”。完成“填空问题”这件事可以分为5个步骤，每一个步骤都有两种填法，由乘法原理共有：2×2×2×2×2=32种，故可以表示32种信号。

运用化归思想可以沟通不同数学内容之间的联系，有利于学生更清楚地认识数学本质，培养学生思维的灵活性。

3.整体思维。

整体思维就是把需要解决的问题看作是一个整体，通过研究问题的整体结构、整体形式来使问题得以解决。在排列组合的问题中常常会遇到这样的情况，所以，有时要有意识地放大看问题的视角，从而寻找更适合的方法。

例3：有5个男生和6个女生排成一排，男女分别排在一起，问共有多少种不同的排法？

分析：5个男生排在一起可以看作一个整体元素A，6个女生排在一起可以看作一个整体元素B。元素A，B的全排列共有A 种，而整体A中男生再排共有A 种排法，整体B中女生再排共有A 种排法，所以，一共有A ×A ×A 种排法。

4.逆向思维。

逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的、似乎已经成为定论的事物或观点反过来进行思考的一种思维方式。它要求学生敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索。

例4：袋中装有4个白球，6个黑球，现从中取出4个，如果取到一个白球记2分，取到一个黑球记1分，问总分不低于5分的取法有多少种？

分析：总分不低于5分的取法有很多种，一一列举很繁琐，这时，可以考虑总分低于5分的取法，只有当取出的都为黑球这一种取法。总取法有C 种，而总分低于5分的取法有C 种，所以总分不低于5分的取法一共有：C -C =195种。

三、归纳总结，形成解题策略

解题虽然不是教学的最终目的，但它却是达到教学目的的一种手段。解决排列组合问题，首先要清楚是属于哪一种题型，然后再进一步分析。常用的排列组合的解题策略有两条：①特殊元素，位置优先考虑，然后再考虑其他的元素和位置；②“捆绑法”和“插空法”，对于要求几个元素相邻的排列问题，可以把这几个元素看作一个整体捆绑起来与其他元素一起进行排列，然后再对这几个元素内部进行排列，而对于要求几个元素不相邻排列的问题，可以先将其他元素排好，然后将这几个元素插入排好的元素之间（包括首位和末位两个位置）。当然，中学数学中涉及排列组合教学的注意点还有很多，其教学方法亦多种多样，这就要求我们进一步积极思考，不断地探索研究和总结归纳。

【参考文献】

[1]高小荣.关于排列组合问题教学的思考和实践[J].延安教育学院学报，2004（02）：51-52.

[2]魏平.“排列组合和概率”教学三落实[J].中学数学杂志，2003（11）：17-18.