探讨初中数学教学中如何运用规律解题

朱启东

数学问题是为一个数学思维而存在的，要完全解决这个思维必须发现其规律和掌握其方法. 在初中的教学中，要让学生通过解题活动去发现解题规律和掌握解题方法. 而提高教学质量就是要把最好的解题方法教给学生. 在数学的解题教学中，解题方法要简单自然，兼顾学生的可接受性和可操作性，学生学习之后就能顺利“再生产”. 然而，在实际的教学中，解题教学有时会处于两难的境地，即教学的深度、尺度的把握. 教的简单，就显得解法从天而降，缺少了生成性；顺着学生的思维走，可能难把握重心，显得琐碎. 最后还是以学生能接受、可操作的方法才是最适合的方法.

一、例题讲解

例1 按下图的方式，用火柴棒搭三角形.

搭1个三角形需要火柴棒_____根；

搭2个三角形需要火柴棒_____根；

搭3个三角形需要火柴棒_____根；

搭10个三角形需要火柴棒_____根；

搭100个三角形需要火柴棒_____根.

解法一 根据图形可知：前三个空应填3，5，7，因为搭第1个三角形需要3根火柴棒，每增加1个三角形就增加2根火柴棒，所以搭10个三角形需要火柴棒3 + 9 × 2 = 21根，搭100个三角形需要火柴棒3 + 99 × 2 = 201根.

解法二 可以将搭1个三角形看作1 + 2根火柴棒，像这样搭2个三角形需要1 + 2 × 2 = 5火柴棒，搭3个三角形需要1 + 3 × 2 = 7火柴棒，搭10个三角形需要火柴棒1 + 10 × 2 = 21根，搭100个三角形需要火柴棒1 + 100 × 2 = 201根.

解法三 可以将搭每1个三角形看作用3根火柴棒，搭2个三角形需要2 × 3 - 1 = 5火柴棒，搭3个三角形需要3 × 3 - 2 = 7火柴棒，搭10个三角形需要火柴棒10 × 3 - 9 = 21根，搭100个三角形需要火柴棒100 × 3 - 99 = 201根.

解法四 根据图形：可得一组数列：3，5，7，9，…

用作差法（从第二个数开始，将每个数和它的前一个数作差），可得差值始终是2，所以可猜想第n个数为2n + ？，再取一个n的值代入，例如取n = 1代入可得2 × 1 + ？= 3，则？ = 1，所以第n个数可表示为2n + 1. （再任取几个n的值代入验证. ）

变式训练：

求下列各组数列中的第100个数.

（1）2，4，6，8，…

（2）1，4，7，10，…

（3）1， ， ， ，…

例2 剪绳子：

（1）将一根绳子对折1次后从中间剪一刀（如图），绳子变成 段；

将一根绳子对折2次后从中间剪一刀，绳子变成 段；将一根绳子对折3次后从中间剪一刀，绳子变成 段.

（2）将一根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成 段.

解 根据操作可知：

将一根绳子对折1次后从中间剪一刀，绳子变成3段；

将一根绳子对折2次后从中间剪一刀，绳子变成5段；

将一根绳子对折3次后从中间剪一刀，绳子变成9段；

将一根绳子对折4次后从中间剪一刀，绳子变成17段；

按此规律可得一组数列：3，5，9，17，…

解法一 作差法. 可得其差值分别为：2，4，8，…，其数值增长的速度超过之前数列的数值增长的速度，所以应该比n2的变化更快，而且其差值是以2的乘方在增长，因此，尝试用2n + ？来描述；再取一个n的值代入，例如取n = 2代入可得22 + ？ = 5，则？= 1. 所以，第n个数可表示为2n + 1. （再任取几个n的值代入验证. ）

解法二 对比序号. 把变数和序号放在一起进行对比，本题中将3，5，9，17对应①②③④可以发现数列中的数，都可以表示为2乘方数多1. 由此可得第n个数可表示为2n + 1.

变式训练：

求下列各组数列中的第n个数.

（1）2，4，8，16，32，64，…

（2）5，7，11，19，35，67，…

（3）1，- ， ，- ，…

二、教学反思

（一）归纳思想的运用

解以上这道规律题都是先通过图形的直观性，得出几个特殊的例子的数据，再由特殊到一般探索这类问题的规律、提出猜想，这个过程运用了一个重要的数学思想——归纳. 归纳思想是数学探索发现的一种重要的思想，学生的创造力在很大程度上都是依赖于归纳的能力. 没有归纳就相当于没有创新的源泉. 推广到将来的工作、生活中，如果一个人将归纳应用于生活中，那么他也将更好的完善自我，更可能实现自己的奋斗目标. 所以，归纳思想不仅仅是重要的数学思想，更是使人终身受益的重要思想.

（二）转化思想的运用

就解题的本质而言，解题既意味着转化：即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，等等. 在解这些题目的过程中，先将图形信息转化为数据信息，再将数据信息转化为符号语言，有了符号就又可以对应所要求的任意一个具体的问题.

总之，在解一个数学问题中，可以通过先发现它的解题规律再掌握它的解题方法. 如何发现解题规律，是解题的关键所在. 因此，通过仔细观察，了解其结构特点，通过比较，发现相互之间的内在联系，再归纳出一般规律. 这种由特殊到一般的思维方式，不仅是发现解题规律的重要方法，而且是数学创新的重要思想基础.