逆向“倒换”,解题“法宝”

2016-05-30 00:18丁晨洋
中学课程辅导·教学研究 2016年10期
关键词:逆向思维数学教学

丁晨洋

摘要:加强逆向思维的训练,可改变其思维结构,培养思维灵活性、深刻性和双向能力,提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力,正是数学能力增强的一种标志。因此,我们在平时训练中务必要加强逆向思维能力的培养与塑造。在此,笔者浅要谈谈逆向思维方法中的倒换法。

关键词:数学教学;逆向思维;“倒换”

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2016)05-0110

在数学学习中,逻辑思维能力和空间想象能力是学生学习的基础,是对学生数学认知特点的概括,是在数学活动中表现和培养的、带有数学的特点,因此被认为是数学能力。而数学思维能力是数学能力的核心,除了掌握必须的基础知识、基本技能和数学思想方法以外,决定高考数学成绩的关键是数学思维能力。所以,在平时学习过程中,教师应该有意识、自觉地培养学生自身的数学思维能力,优化思维品质,把思维能力的培养和提高放在一个重要的位置,在学习的全过程中长抓不懈。

逆向思维是指由果索因、知本求源,从原问题的相反方向着手的一种思维。它是数学思维的一个重要原则,是创造思维的一个组成部分,也是进行思维训练的载体,培养逆向思维过程也是培养思维敏捷性的过程。现在有许多学生之所以处于低层次的学习水平,有一个重要因素,即逆向思维能力薄弱,缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神。因此,加强逆向思维的训练,可改变其思维结构,培养思维灵活性、深刻性和双向能力,提高分析问题和解决问题的能力。迅速而自然地从正面思维转到逆向思维的能力,正是数学能力增强的一种标志。因此,我们在平时训练中务必要加强逆向思维能力的培养与塑造。在此,笔者谈谈逆向思维方法中的倒换法。

一、倒换法的定义及必要性

以颠倒、变换为手段,从反面对问题进行分析、思考,这种逆向思维的解题方法称为倒换法。解题是一项系统的工程,有许多因素影响它的成败。具有扎实的解题基础,解题不一定获得成功。因为数学解题中,程序化的问题是极少的,要把问题中的条件与结论沟通起来,判断利用什么知识,选择什么方法,这就必须对问题进行解剖、识别,对各种信息进行筛选、加工和组装,以创造利用知识、方法和经验的条件,这种复杂的、创造性的分析过程就是数学思维过程。这一过程能否顺利进行,取决于数学方法是否正确。就像当今社会,我们人与人之间的交流一样,换位是经常洞察一个人,解析一个事件的常用手段,因此对一些特殊的数学题型采用一些倒换技巧是可行的,也是必要的。

二、倒换法的几种不同的表现形式

1. 常量与变量间的“倒换”

在解题实践中,发现题目自身各部分之间隐含的特定的数量关系——变量与常量的互依关系,常常是解决问题的突破口。但由于习惯思维之势,人们往往抓住变量不放,有时会陷入困境。为了解题的需要,可暂时视某一变量为常量,这样可以从“动”中求“静”,以“静”制“动”,促使问题向有利于解决的方向转化。

例:已知函数y=(log2m-1)log32x-6log2mlog3x+log2m+1,当1≤m ≤2时,恒有y>0,试求x的取值范围。

分析:如果在本题中,m视为参数,x为主变元,按常规方法,需分log2m=1与log2m≠1两种情形分别研究log3x的一次函数,二次函数取正值的条件,十分繁琐,若以log2m为主元,将参数升格为主变量,可使问题的解答变得相当简捷。

妙!此题解法打破常规。这种“常量”与“变量”间的倒换,往往会在处理多变元对称问题、含有参数与主变量的有关问题时,若能突破常规思维,在解题时选取参变量为主变量,反客为主,就能实现问题轻松解决。显然,这种变换思考角度,将问题进行“倒换”处理,让我们从“山重水复疑无路”的困境,进入到“柳暗花明又一村”的美好景色中来。

2. 正面与反面间的“倒换”

从正面直接解决问题时,很难有进展,如果能够改变思维的方向,从问题的反面去进行逆向思考,往往会收到意想不到的效果。

例:已知二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+(1+iλ)=0(i为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充要条件是的取值范围为 。

可知当且仅当λ=2时,原方程有实根,于是方程有两个虚根(无实根)的充要条件是λ≠2。

由此可见,对一些正面分类较繁,反面则很简单的这种“至少型”“至多型”等带有否定字眼的问题,若能借用“正反倒换”的技巧,便能开拓思路,提高分析问题和解决问题的能力,从而化难为易、化繁为简。

3. 结论先后顺序的“倒换”

在解有关存在探索型问题时,我们往往是直接从题目本身出发,想方设法地利用条件向目标靠近,但往往比较困难。但若能将问题所发生的先后顺序进行适当的倒换,从不同的角度思考问题,就会使问题迎刃而解。

其实,在我们高中数学这种“倒换术”是经常利用的,特别是像上例所示的存在探索性问题更是得利用这种“倒换”,将先后顺序倒换,同时借助数形结合、转换命题、构造法等实现解题。

4. 分子分母的“倒换”

分式函数求最值,是数学问题中的常見题型。虽然用常规方法能解题,但对知识的要求比较高。我们若能将其分子分母倒换一下,再解题,定会让人耳目一新,想法颇多。

综合上述可知,所求函数的最大值为1。

这种分子分母间的“倒换术”,特别适用于分式函数,尤其是分母的表达式比分子要复杂或者含无理根式的函数,若能巧妙实施分子分母的倒换,解题自然方便可操作。

从以上几个例题可以说明,虽然倒换法不是常规的思维方法,但我们如果能突破常规思维方法,能够将一些常规的数学问题采用逆向思维——“倒换”来解题,也会收到非常不错的效果,既提高了大家的思维能力,又培养了大家的创新意识。其实,我们在解题时特别是练习中,考试时只会用一种方法做到底,时间大量浪费不说,而且效率极低,得不偿失。因此,我们在平时的训练中,也有必要把一些好的技巧、好的思维策略,辩证地渗透到数学解题过程中,让我们也能体会到“倒一倒,问题轻松解决了”的乐趣。

(作者单位:浙江省龙游中学 324400)

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